Formules de Taylor
¦ Ces résultats sont valables pour des fonctions définies sur un intervalleIdeRet à valeurs dansR ouC.
Théorème 1 – Formule de Taylor-Young
Si I est un intervalle deRet f est de classeCnsur I , alors quel que soit a∈I : f(x)=
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ o
x→a((x−a)n) (c’est leDLn(a)de f ).
Théorème 2 – Formule de Taylor avec reste intégral
Si I est un intervalle deR, f est de classeCn+1sur I et a∈I , alors :
∀x∈I, f(x)=
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+ Z x
a
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt Remarque. Deux cas particuliers intéressants :
• Sia=0, on obtient :
∀x∈I, f(x)=
n
X
k=0
f(k)(0) k! xk+
Z x 0
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt
• Sin=0, on retrouve la relation :
∀a,x∈I, f(x)=f(a)+ Z x
a
f0(t) dt
B Il faut absolument comprendre que la formule de Taylor-Young ne donne des informations qu’au voisinage de a tandis que la formule de Taylor avec reste intégral est valablesur I tout en- tier.En particulier, on ne peut pas utiliser une formule de Taylor-Young pour établir le signe de la fonctionf surIpar exemple.
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¦ Dans la formule de Taylor avec reste intégral, la somme correspond en fait à la partie régulière du DLn(a) de f. En particulier, si ce développement limité est connu, on peut l’utiliser et éviter d’avoir à calculer explicitement cette somme comme le montre l’exemple suivant.
Exemple.Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonctionf :x7→ln(1+x) à l’ordren en 0.
ÞLa fonctionf est de classe Cn+1sur ]−1,+∞[ (et même C∞). On connait le DLn(0) def : f(x)=
n
X
k=1
(−1)k−1 k xk
partie régulière du DLn(0) def
+ o
x→0(xn)
La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit donc : f(x)=
n
X
k=1
(−1)k−1 k xk
partie régulière du DLn(0) def
+ Z x
0
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt
Pour aller plus loin, il faut malgré tout expliciterf(n+1)(t). Pourt> −1, on trouve : f0(t)= 1
1+t; f00(t)= −1
(1+t)2; f000(t)= 2
(1+t)3; f(4)(t)= −6 (1+t)4 On montre facilement par récurrence que :
∀p∈N∗,∀t> −1, f(p)(t)=(−1)p−1(p−1)!
(1+t)p de sorte que finalement :
f(x)=
n
X
k=1
(−1)k−1 k xk+
Z x 0
(x−t)n
n! · (−1)nn!
(1+t)n+1dt=
n
X
k=1
(−1)k−1 k xk+
Z x 0
(t−x)n (1+t)n+1dt
¦ La formule de Taylor avec reste intégral permet d’écrire (pour f de classe Cn+1surI eta∈I) :
∀x∈I,
¯
¯
¯
¯
¯ f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯ Z x
a
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt
¯
¯
¯
¯
Supposons que l’on connaisse un réelMÊ0 tel que :∀x∈I,|f(n+1)(x)| ÉM. Montrons comment majorer l’intégrale à l’aide deM(il faut savoir établir cette majoration). On distingue pour cela deux cas :
— PouraÉx(les bornes de l’intégrale sont « dans le bon ordre ») :
¯
¯
¯
¯ Z x
a
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt
¯
¯
¯
¯É Z x
a
¯
¯
¯
¯
Ê0
(x−t)n
n! f(n+1)(t)
¯
¯
¯
¯dtÉ Z x
a
(x−t)n
n! Mdt=(x−a)n+1 n+1! M
— Poura>x(les bornes de l’intégrale sont « dans l’ordre inverse ») :
¯
¯
¯
¯ Z x
a
(x−t)n
n! f(n+1)(t) dt
¯
¯
¯
¯É Z a
x
¯
¯
¯
¯ (−1)n
Ê0
(t−x)n
n! f(n+1)(t)
¯
¯
¯
¯dtÉ Z a
x
(t−x)n
n! Mdt=(a−x)n+1 n+1! M Dans tous les cas, on obtient :∀x∈I,
¯
¯
¯
¯
¯ f(x)−
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k
¯
¯
¯
¯
¯
É|x−a|n+1 n+1! M.
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