Formules de Taylor

Formules de Taylor

¦ Ces résultats sont valables pour des fonctions définies sur un intervalleIdeRet à valeurs dansR ouC.

Théorème 1 – Formule de Taylor-Young

Si I est un intervalle deRet f est de classeCⁿsur I , alors quel que soit a∈I : f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ o

x→a((x−a)ⁿ) (c’est leDLn(a)de f ).

Théorème 2 – Formule de Taylor avec reste intégral

Si I est un intervalle deR, f est de classeCⁿ⁺¹sur I et a∈I , alors :

∀x∈I, f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k+ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt Remarque. Deux cas particuliers intéressants :

• Sia=0, on obtient :

∀x∈I, f(x)=

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k+

Z x 0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

• Sin=0, on retrouve la relation :

∀a,x∈I, f(x)=f(a)+ Z x

a

f⁰(t) dt

B Il faut absolument comprendre que la formule de Taylor-Young ne donne des informations qu’au voisinage de a tandis que la formule de Taylor avec reste intégral est valablesur I tout en- tier.En particulier, on ne peut pas utiliser une formule de Taylor-Young pour établir le signe de la fonctionf surIpar exemple.

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¦ Dans la formule de Taylor avec reste intégral, la somme correspond en fait à la partie régulière du DLn(a) de f. En particulier, si ce développement limité est connu, on peut l’utiliser et éviter d’avoir à calculer explicitement cette somme comme le montre l’exemple suivant.

Exemple.Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonctionf :x7→ln(1+x) à l’ordren en 0.

ÞLa fonctionf est de classe Cⁿ⁺¹sur ]−1,+∞[ (et même C^∞). On connait le DL_n(0) def : f(x)=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k x^k

partie régulière du DLn(0) def

+ o

x→0(xⁿ)

La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit donc : f(x)=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k x^k

partie régulière du DLn(0) def

+ Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

Pour aller plus loin, il faut malgré tout expliciterf⁽ⁿ⁺¹⁾(t). Pourt> −1, on trouve : f⁰(t)= 1

1+t; f⁰⁰(t)= −1

(1+t)²; f⁰⁰⁰(t)= 2

(1+t)³; f⁽⁴⁾(t)= −6 (1+t)⁴ On montre facilement par récurrence que :

∀p∈N^∗,∀t> −1, f^(p)(t)=(−1)^p−1(p−1)!

(1+t)^p de sorte que finalement :

f(x)=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k x^k+

Z x 0

(x−t)ⁿ

n! · (−1)ⁿn!

(1+t)ⁿ⁺¹dt=

n

X

k=1

(−1)^k−1 k x^k+

Z x 0

(t−x)ⁿ (1+t)ⁿ⁺¹dt

¦ La formule de Taylor avec reste intégral permet d’écrire (pour f de classe Cⁿ⁺¹surI eta∈I) :

∀x∈I,

¯

¯

¯

¯

¯ f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k

¯

¯

¯

¯

¯

=

¯

¯

¯

¯ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

¯

¯

¯

¯

Supposons que l’on connaisse un réelMÊ0 tel que :∀x∈I,|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ÉM. Montrons comment majorer l’intégrale à l’aide deM(il faut savoir établir cette majoration). On distingue pour cela deux cas :

— PouraÉx(les bornes de l’intégrale sont « dans le bon ordre ») :

¯

¯

¯

¯ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

¯

¯

¯

¯É Z x

a

¯

¯

¯

¯

Ê0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

¯

¯

¯

¯dtÉ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! Mdt=(x−a)ⁿ⁺¹ n+1! M

— Poura>x(les bornes de l’intégrale sont « dans l’ordre inverse ») :

¯

¯

¯

¯ Z x

a

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt

¯

¯

¯

¯É Z a

x

¯

¯

¯

¯ (−1)ⁿ

Ê0

(t−x)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

¯

¯

¯

¯dtÉ Z a

x

(t−x)ⁿ

n! Mdt=(a−x)ⁿ⁺¹ n+1! M Dans tous les cas, on obtient :∀x∈I,

¯

¯

¯

¯

¯ f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k

¯

¯

¯

¯

¯

É|x−a|ⁿ⁺¹ n+1! M.

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