1 Formule de Taylor et notion de développement limité

Guillaume Laget - version du 23-06-2006 06:03 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/) - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées

mathématiques - S’1 Développements limités département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble

On rencontre fréquemment, dans les problèmes faisant intervenir des calculs de limites, des formes indéterminées du type0

0. L’objectif de ce chapitre est de décrire un outil, les dé- veloppements limités, permettant de lever la plupart de ces indéterminations en remplaçant des fonctions « compliquées » qui interviennent dans les formules par des polynômes plus faciles à manipuler et comparer.

L’exemple le plus simple qui soit est la détermination de la limite en 0 de sinx x : on a une forme indéterminée. Mais sinxest presque égal àxquandxest petit. Plus précisément, on dit quexest un développement limité d’ordre 1 de sinx: la différence entre sinxetx(le reste), négligeable devantx, n’intervient pas dans le calcul de limite, qui est donc égale à 1.

Effectuer un développement limité d’ordrende f, c’est donc déterminer un polynôme Pde degré au plusntel que f(x)−P(x)soit négligeable devantxⁿ.

1 Formule de Taylor et notion de développement limité

La formule des accroissements finis peut s’exprimer ainsi : si f est continue sur[a,b]

et dérivable sur]a,b[, il existec∈]a,b[ tel que f(b) = f(a) + (b−a)f⁰(c). Ainsi refor- mulée, elle se généralise : si f est de classe Cⁿ⁺¹ sur [a,b] il existe c∈]a,b[ tel que

f(b) = f(a) + (b−a)f⁰(a) +(b−a)²

2 f⁰⁰(a) +. . .+(b−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) +(b−a)ⁿ⁺¹

(n+1)! f⁽ⁿ⁺¹⁾(c).

Comme f⁽ⁿ⁺¹⁾est continue sur[a,b],|f⁽ⁿ⁺¹⁾|est majorée par une constanteM, et donc :

|f(b)−f(a)−(b−a)f⁰(a)−(b−a)²

2 f⁰⁰(a)−. . .−(b−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a)| ≤M(b−a)ⁿ⁺¹ (n+1)! . Ainsi, si l’on connait les dérivées successives de f ena, on peut approcherf(b)par un polynôme de degrénenb−a, avec une erreur de l’ordre de(b−a)ⁿ⁺¹. Cette « erreur » peut donc s’écrire(b−a)ⁿε(b−a),εétant une fonction de limite nulle en 0, et on a la :

formule de Taylor-Young

si f est de classeCⁿsur un intervalle contenantaetb, alors

f(b) =f(a) +(b−a)²

2 f⁰(a) +. . .+(b−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a) + (b−a)ⁿε(b−a), avec lim0ε=0.

Cette écriture est ledéveloppement limité à l’ordrende f ena.

f(a) +(b−a)²

2 f⁰(a) +. . .+(b−a)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁾(a)est lapartie principale(notéeDLn,a(f)) du développement limité et(b−a)ⁿε(b−a)en est lereste.

Le plus souvent, on se ramène à des développements limités en 0. La formule devient :

si f est de classeCⁿsur un intervalle contenant 0 etx, alors

f(x) = f(0) +x²

2 f⁰(0) +. . .+xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0) +xⁿε(x), avec lim0ε=0.

On n’a pas besoin d’expliciterε: le reste est là seulement pour rappeler que l’approxi- mation n’est pas une égalité, et pour donner l’ordre de grandeur de l’erreur commise si l’on remplace, pourxproche de 0,f(x)par la partie principale du développement limité.

exemple 1 :on sait que l’exponentielle est sa propre dérivée, donc pour toutn, exp⁽ⁿ⁾= exp, donc exp⁽ⁿ⁾(0) =exp(0) =1, et le développement limité d’ordrende l’exponentielle en 0 est donné par la formule de Taylor : exp(x) =1+x+x²/2+x³/6+. . .+xⁿ/n!+xⁿε(x).

exemple 2 :de même le développement limité d’ordre 1 de sin en 0 est sinx=x+xε(x), avec lim0ε=0. Généralement notée sous la forme plus imprécise sinx'x, cette approxi- mation est d’usage courant en physique.

Parfois, il est nécessaire d’utiliser un ordre plus élevé ; on calcule alors les termes sui- vants :(sin)⁰⁰(0) =0,(sin)⁰⁰⁰(0) =−1, donc le développement limité d’ordre 2 de sin en 0 estx+x²ε(x), le développement limité d’ordre 3 de sin estx−x³/6+x³ε(x).

exemple 3 :déterminer la limite dee^x−sinx−1 x² en 0.

L’expression présente une forme indéterminée en 0, avec un dénominateur enx²: dans ce cas, un développement limité d’ordre 2 devrait permettre de lever l’indétermination.

A l’ordre 2 expx=1+x+x²/2+x²ε1(x)et sinx=x+x²ε2(x): le développement d’ordre 2 dee^x−sinx−1 est doncx²/2+x²(ε1(x) +ε2(x)). Mais seul importe le fait que lesε tendent vers 0 en 0 : l’abus d’écriture consistant noter εtoutes les fonctions de li- mite nulle en 0 est courant, de même que les opérationsε(x) +ε(x) =ε(x),ε(x)²=ε(x), ε(x²) =ε(x),ε(√x) =ε(x), ...

1

On a donc :e^x−sinx−1= (1+x+x²/2)−x−1+x²ε(x) =x²/2+x²ε(x), et donc limx→0e^x−sinx−1

x² =limx→0x²/2+x²ε(x)

x² =limx→01/2+ε(x) =1/2.

remarque :les développement limités d’ordre 1 et 2 de sin ont la même partie prin- cipale, mais n’apportent pas la même information : à l’ordre 1, on affirme que sinxest à peu près égal à x, sans préciser si l’erreur est d’ordre 2, 3 ou supérieur. A l’ordre 2, le terme d’ordre 2 étant nul, on précise que l’erreur commise est d’ordre 3 ou plus. Dans l’exemple précédent, si l’on se contente d’un développement limité d’ordre 1, on obtient e^x−sinx−1

x² =1+x−x−1+xε(x)

x² =xε(x)

x² =ε(x)

x , forme indéterminée... !

Deviner l’ordre nécessaire est la principale difficulté des problèmes exigeant l’utilisa- tion d’un développement limité. Si l’ordre est trop bas, on conservera des formes indéter- minées. S’il est trop important, le résultat sera bon mais on effectue des calculs inutiles.

2 Calcul des développements limités

Il est rare d’avoir recours à la formule de Taylor : le calcul dendérivées successives d’une fonction est vite laborieux ! En général on combine la connaissance de développe- ments limités « de référence » avec les règles donnant les développements limités d’une somme, d’un produit, d’une dérivée, ... Ces règles, que l’on va énumérer, suivent un prin- cipe simple : pour calculer le développement limité d’ordrend’une fonction construite à partir de fonctions aux développements limités connus, on effectue les calculs sur les parties principalesen négligeant tous les termes d’ordre strictement supérieur àn; le résultat est la partie principale du développement recherché.

Ainsi, pour les sommes, produits, quotients :

si les développements limités d’ordrenen 0 de f etgsont f(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+xⁿε(x)et g(x) =b0+b1x+b2x²+. . .+bnxⁿ+xⁿε(x), alors : leDLn,0de f+gest la somme desDLn,0de f et deg: (f+g)(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x+. . .+ (an+bn)xⁿ+xⁿε(x);

leDLn,0de f gest le produit desDLn,0de f et deg,

dans lequel on « oublie » les termes d’ordre strictement supérieur àn: (f g)(x) = (a0b0) + (a1b0+a0b1)x+. . .+ (anb0+an−1b1+. . .+a0bn)xⁿ+xⁿε(x);

sig(0)6=0, le développement limité de f/gest le quotient

de la division selon les puissances croissantes à l’ordrendeDLn,0(f)parDLn,0(g).

exemple :si f(x) =1+2x+x²+x²ε(x)etg(x) =2−x²+x²ε(x), alors(f+g)(x) = 3+2x+x²ε(x),(f g)(x) =2+4x+x²+x²ε(x)et(f/g)(x) =¹₂+x+³₄x²+x²ε(x).

remarque :sig(0) =0,f/gn’a pas en général en 0 de développement limité en 0, mais un développement asymptotique : on verra cela en fin de chapitre.

Les développements limités des fonctions de classeCⁿs’intègrent et se dérivent bien :

si le développement limité d’ordrenen 0 de f est f(x) =a0+a1x+a2x²+. . .+anxⁿ+xⁿε(x),

on obtient leDLn+1,0 d’une primitiveF de f en primitivant terme-à-terme F(x) =F(0) +a0x+a1

2x²+. . .+ an

n+1xⁿ⁺¹+xⁿ⁺¹ε(x), et leDLn−1de f⁰en dérivant terme-à-terme f⁰(x) =a1+2a2x+. . .+nanxⁿ⁻¹+xⁿ⁻¹ε(x).

On détermine de même le développement limité d’une fonction composée : si f(0) =0, le développement limité deg◦f s’obtient en substituant dans celui degl’expression de ce- lui de f, en « oubliant » tous les termes d’ordre strictement supérieur àn. Si f(0)6=0, c’est le développement limité degen f(0)qu’il faut utiliser. Mais les calculs étant vite lourds, on ne procède en général ainsi que dans les cas les plus simples : si le développement limité de f est d’ordre 1 ou 2, ou s’il s’agit d’un développement « exact » f(x) =x^k, sans reste.

remarque 1 :on obtient parfois des résultats plus précis que ceux promis par ces règles.

Par exemple si f(x) =x+x²ε(x)etg(x) =x+x²+x²ε(x), on obtient par produit le développement limité d’ordre 3, et non 2, de f g:(f g)(x) =x²+x³+x³ε(x) +x³ε(x) + x⁴ε(x) +x⁴ε(x)²=x²+x³+x³ε(x): c’est dû au fait quef(0) =g(0) =0.

De même, si f(x) =x²+x²ε(x)etg(x) =1−x³/3+x³ε(x), on obtient directement un développement limité d’ordre 6 deg◦f :(g◦f)(x) =1−x⁶/6+x⁶ε(x).

Un peu de bon sens et de pratique seront plus utiles que des énoncés trop compliqués pour détecter ces situations.

remarque 2 :les développements limités n’apportent qu’une informationlocale. Rien ne dit queDLn,0(f)(a)est une bonne approximation def(a)sian’est pas proche de 0.

Par exemple, 1−x+x²−x³est une bonne approximation de 1

1+xquandxest proche de 0. Mais six=1, on ne peut pas dire que 1−1+1−1=0 soit une bonne approximation de 1

1+1=1 2. 2

3 Développements limités usuels

Le développement limité le plus important est certainement celui de (1+x)^α. Et c’est aussi un des plus simples à calculer : une récurrence évidente montre que la dé- rivéen-ième de (1+x)^α estα(α−1). . .(α−n+1)(1+x)^α−n, dont la valeur en 0 est α(α−1). . .(α−n+1).

Ainsi, la formule de Taylor-Young donne directement le développement limité :

pour toutαréel, pour toutnentier positif ou nul, (1+x)^α=1+αx+^α(α−₂¹⁾+. . .+^{α(α−1)...(α−}_n! ⁿ⁺¹⁾xⁿ+xⁿε(x).

En particulier, pourα=−1, 1

1+x=1−x+x²−. . .+ (−1)ⁿxⁿ+xⁿε(x), pourα=¹₂, √

1+x=1+¹₂x−¹₈x²+. . .+ (−1)ⁿ⁻¹₂2n−1⁽²ⁿ(n⁻−^2)!1)!n!xⁿ+xⁿε(x),

pourα=−¹₂, 1

√1+x=1−¹₂x+³₈x²+. . .+ (−1)ⁿ_22n^(2n)!_(n!)2xⁿ+xⁿε(x),

et en remplaçantxparx², avecα=−1, 1

1+x²=1−x²+x⁴−. . .+ (−1)ⁿx²ⁿ+x²ⁿε(x)

En intégrant le développement limité de _1+x¹ , on obtient celui de ln(1+x).

On a déjà calculé celui de l’exponentielle, à l’aide de la formule de Taylor.

Ainsi :

ln(1+x) =x−x² 2 +x³

3 +. . .+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n +xⁿε(x), exp(x) =1+x+x²

2 +x³ 6 +x⁴

24+. . .+xⁿ

n!+xⁿε(x).

Pour trouver les développements limités de sin et cos, on peut soit utiliser directe- ment la formule de Taylor, soit se servir du résultat précédent sur l’exponentielle : comme

cosx+isinx=exp(ix), on remplacexparixdans le développement limité de l’exponen- tielle, puis on identifie les parties réelles et parties imaginaires.

Pour déterminer le développement limité de la tangente, on effectue la division du dé- veloppement de sinus par celui de cosinus. Mais on n’obtient pas de formule générale facile à retenir : contentons-nous de donner les 3 premiers termes non nuls, soit le développement limité à l’ordre 6.

sinx=x−x³ 6 + x⁵

120+. . .+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+1)!+x²ⁿ⁺²ε(x) cosx=1−x²

2 +x⁴

24+. . .+ (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)!+x²ⁿ⁺¹ε(x) tanx=x+x³

3 +2x⁵

15 +x⁶ε(x).

Attention, les développements de sin et cos ci-dessus ne sont pas les développements limités d’ordren, mais ceux d’ordre respectivement 2n+2 et 2n+1 : dans tous les cas, c’est sur le reste que l’on peut lire l’ordre d’un développement limité.

Par exemple sinx=x−x³/6+x⁴ε(x)est le développement d’ordre 4 du sinus. Bien entendu, si l’on souhaite utiliser seulement le développement limité d’ordre 3, il suffit de l’écrire sinx=x−x³/6+x³ε(x), puisque le restex⁴ε(x), négligeable devantx⁴, est a fortiori négligeable devantx³.

Il est (paradoxalement?) plus facile d’obtenir le développement limité de arctan que celui de la tangente : _1+x¹ =1−x+x²−. . .+ (−1)ⁿxⁿ+xⁿε(x), donc par substitution arctan⁰(x) =_1+x¹₂ =1−x²+x⁴−. . .+ (−1)ⁿx²ⁿ+x²ⁿε(x). En intégrant on obtient donc le développement limité d’ordre 2n+1, arctanx=x−x³/3+x⁵/5+. . .+x²ⁿ⁺¹ε(x).

La même technique consistant à prendre une primitive du développement limité de

√1

1−x² = (1−x²)¹² permet de calculer les développements limités de arcsin et arccos.

Ainsi,

arctanx=x−x³ 3 +x⁵

5 +. . .+ (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1+x²ⁿ⁺¹ε(x) arcsinx=x+x³

6 +3x⁵

40 +. . .+ (2n)!

2²ⁿ(n!)² x²ⁿ⁺¹

2n+1+x²ⁿ⁺¹ε(x) arccosx=π

2−x−x³ 6 +3x⁵

40 −. . .− (2n)!

2²ⁿ(n!)² x²ⁿ⁺¹

2n+1+x²ⁿ⁺¹ε(x)

3

4 Développements asymptotiques

En posantX=1

x, on remplace l’étude def(x)pourxau voisinage de l’infini par l’étude de f(1

X)pourX proche de 0, et utiliser les développements limités enX =1

x : on obtient donc une expression en 1

x, 1 x², . . ., 1

xⁿ. On parle dedéveloppement limité en l’infini.

On peut généraliser cela avec la notion de développement asymptotique: il s’agit cette fois de donner une approximation d’une fonction (au voisinage de 0, de l’infini ou d’un pointaquelconque) par une somme de termes de la formex^k(ou(x−a)^k),kétant un entier positif ou négatif : au contraire d’un développement limité, on ne suppose pas que leskqui interviennent sont tous positifs (pour un développement en un point fini) ou tous négatifs (pour un développement limité en l’infini).

Les développements asymptotiques permettent donc de considérer aussi des fonctions qui ont des limites infinies.

Ce terme de développement asymptotique est justifié car ils permettent de déterminer les asymptotes aux courbesy=f(x).

En effet, si f admet un développement asymptotique en+∞du type f(x) =ax+b+

cx+¹_xε(¹_x)(avec lim0ε=0), on voit que f(x)−(ax+b)tend vers 0 en+∞, donc la droite d’équationy=ax+best asympote à la courbey=f(x).

De plus,f(x)−(ax+b)est du signe decau voisinage de+∞. Ainsi, sic>0, la courbe est située au dessus de son asymptote ; sic<0, la droite est située au dessous. Et la situation est opposée au voisinage de−∞.

exemple 1 :déterminer la limite de√

x²+1−xen+∞.

Pour cela on factorise x²dans la racine, dans le but de se ramener à un développe- ment limité en 0 de√

1+X²:√

x²+1−x=x r

1+ 1

x²−x=x(1+ 1 2x²+ 1

x²ε(1

x))−x= 1

2x+1 xε(1

x): ce développement limité d’ordre 1 en l’infini de√

x²+1−xmontre que la limite de cette quantité y est nulle.

exemple 2 :on peut maintenant préciser sur un exemple le quotient de deux dévelop- pements limités en 0 quand le dénominateur s’annule en 0.

Considérons la fonctioncosx

sinx (c’est la fonction cotangente, l’inverse de la tangente).

A l’ordre 3, cosx=1−x²/2+x³ε(x)et sinx=x−x³/6+x³ε(x).

Pour calculer le quotient, on va commencer par factoriser xdans le développement du sinus, et faire la division usuelle par l’autre facteur (qui ne s’annule plus en 0) : cosx

sinx =1 x

1−x²/2+x³ε(x) 1−x²/6+x²ε(x).

Ici, attention au piège : on ne peut pas espérer, en divisant un développement à l’ordre 3 par un développement à l’ordre 2, obtenir mieux qu’un développement à l’ordre 2. On est donc obligé d’écrire cosx

sinx = 1 x

1−x²/2+x²ε(x) 1−x²/6+x²ε(x) = 1

x (1−x²/3+x²ε(x)) = 1

x−x/3+xε(x). C’est bien un développement asymptotique que l’on obtient comme quo- tient de développements limités.

exemple 3 :soitf(x) =x²ln(1+¹_x). Montrer que la courbe d’équationy=f(x)possède une droite asymptote en+∞; préciser la position relative de la droite et de la courbe.

On commence par donner un développement limité en l’infini de ln(1+¹_x)à l’ordre 3 (de manière à obtenir, après multiplication par x², un reste en ¹_xε(¹_x)) : ln(1+¹_x) =

1x−_2x¹2 +_3x¹₃+_x¹₃ε(¹_x). On a donc f(x) =x−¹₂+¹_x+¹_xε(¹_x).

La droitey=x−¹₂est asymptote à la courbe, et quandxtend vers l’infini,f(x)−(x−¹₂) est du signe de ¹_x, donc positif : la courbe est située au dessus de son asymptote.

exemple 4 :on considère la courbe d’équationy=x²e^−1x−x². Tracer la courbe, en précisant ses asymptotes et leur position relative.

Laissé à titre d’exercice...on doit trouver une asymptote verticale en 0⁻, et une asymp- tote en l’infiniy=−x+¹₂, située sous la courbe en−∞et au dessus en+∞.

En 0⁺la courbe admet une tangente horizontale.

On obtient le graphe suivant :

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 0 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 0 2

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