Formules de Taylor et Leibniz Feuille 9

Formules de Taylor et Leibniz Feuille 9

Exercice9.1

Calculer la dérivéen-ième dex7−→xe^−x.

Exercice9.2

En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de chx+ cosx−2

x⁴ lorsquextend vers0.

Exercice9.3

Soitf une applicationC² de[a, b]dansRtelle quef⁰(a) = f⁰(b) = 0. Montrer qu’il existec ∈ [a, b]tel que

|f⁰⁰(c)| ≥ 4

(b−a)²|f(b)−f(a)|.

Exercice9.4

Démontrer que la fonction tanest absolument croissante sur h

0 ; π 2 h

, c’est-à-dire que, pour tout n ∈ N, la dérivéen-ième detanest positive sur

h 0 ; π

2 h

.

Exercice9.5

Soitf:R−→Rune fonction continue. Pour toutn∈N^∗, justifier l’existence d’une primitiven-ième def sur R, notéef^[n], et démontrer que l’on peut prendre

∀x∈R, f^[n](x) = Z x

0

(x−t)ⁿ⁻¹ (n−1)! f(t) dt

Exercice9.6

Soitn∈N^∗et, pourt∈]−1 ; +∞[, posonsfn(t) =tⁿ⁻¹ln(1 +t).

Montrer que :∀t∈]−1 ; +∞[, f_n⁽ⁿ⁾(t) = (n−1)!

n

X

k=1

1 (1 +t)^k

Exercice9.7

SoitPun polynôme à coefficients réels, de degré impair, etf:R−→Rune application de classeC^∞telle que, pour toutx∈Ret pour toutn∈N, |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ |P(x)|. Montrer quef est identiquement nulle.

Exercice9.8

Pour toutn∈N, on poseα_n= Z 1

0

(1−t)ⁿe^t dt

1. Déterminer un équivalent deα_n.

2. En déduire un équivalent deun= sin(πen!).

Exercice9.9

Soitf:I −→ Rune application de classeC^∞, oùI est un intervalle deRde cardinal infini. On suppose qu’il existek∈N, tel que, pour toutt∈I, f^(2k+1)(t)6= 0.

Pour toutα∈Ietx∈I, on poseT_α(x) =

2k

X

h=0

(x−a)^h

h! f^(h)(α).

Montrer que les graphes des applicationsTαsont deux à deux disjoints.

Exercice9.10

Soitf une application deRdansRde classeC² telle quef etf⁰⁰sont bornées surR. Montrer quef⁰est bornée surRet que, si l’on pose pour touti∈ {0,1,2},M_i = sup

t∈R

f⁽ⁱ⁾(t)

, alorsM₁² ≤2M₀M₂.

Quentin De Muynck Sous licencecbea