Accroissements finis et formules de Taylor 1
Arthur LANNUZEL
le 11 Mars 2010
Th´ eor` eme des accroissements finis et formules de Taylor
Objectif.
Approcher localement les fonctions par des polynˆomes.
1 Th´ eor` eme de Rolles.
DESSIN
Th´eor`eme 1.1 Soit f : [a, b] ⊂ R −→ R continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ v´erifiant f(a) =f(b) alors f′ s’annule au moins en un point de ]a, b[.
Preuve.
i) Si pour tout x∈[a, b],f(x) =f(a) =f(b) alors ∀x∈]a, b[, f′(x) = 0.
ii)M = sup(f[a, b])̸=m= inf(f([a, b])) (rappel : on sait que f([a, b]) = [m, M]).
Or ou bien m̸=f(a) = f(b) (d’o`um =f(c)) ou M ̸=f(a) = f(b) (d’o`u M =f(c)).
Dans les deux cas, on a alors un extremum local en c∈]a, b[, ce qui implique f′(c) = 0.
CQFD
2 Th´ eor` eme des accroissements finis.
DESSIN
Th´eor`eme 2.1 (TAF : Th´eor`eme des accroissements finis)
Soit f : [a, b] ⊂ R −→ R continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que f(b)−f(a) = (b−a)f′(c).
Preuve.
rapide
On applique le th´eor`eme de Rolles `a ϕ(x) = f(x)−Eq(x), o`u x 7→ Eq(x) est est la fonction dont la courbe repr´esentative est la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)) :
Eq(x) =f(a) + f(b)−f(a)
b−a .(x−a).
CQFD
Accroissements finis et formules de Taylor 2
Exercice 2.2 i) Montrer que
∀x∈]0,+∞[, 1
x+ 1 <ln(x+ 1)−ln(x)< 1 x. ii) En d´eduire que ∑2n
p=n+1 1
p converge.
Corollaire 2.3 (Th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es)
Soient f, g : [a, b] ⊂ R −→ R continues sur [a, b], d´erivables sur ]a, b[ avec g′(x) ̸= 0 sur ]a, b[
alors il existe c∈]a, b[ tel que f(b)g(b)−−fg(a)(a) = fg′′(c)(c). Preuve.
En exo. Appliquer le th´eor`eme de Rolles `a h(x) =f(x)− f(a)g(a)−−f(b)g(b).g(x).
CQFD
Corollaire 2.4 (R`egle de l’Hospital)
Soient f, g : [a, b] ⊂ R −→ R continues sur [a, b], d´erivables sur ]a, b[/{c} (c ∈]a, b[) avec g′(x)̸= 0 sur ]a, b[/{c}.
Supposons f(c) =g(c) = 0 alors il existe
xlim→c
f′(x)
g′(x) =l =⇒ lim
x→c
f(x) g(x) =l.
Preuve.
En exo. `a partir du corollaire pr´ec´edent.
CQFD
Exercice 2.5 Trouver la limite en 0 de x−sin(x)x3 . Remarque 2.6 (exo)
La r´eciproque `a la r`egle de l’hospital est fausse.
Le v´erifier avec la fonction
f : R −→ R x 7→
{ x2.sin(1x) si x̸= 0
0 sinon
et g(x) = sin(x).
3 Formule de Taylor.
3.1 Formule de Taylor avec reste de Lagrange.
Notation 3.1
Cn([a, b],R) := {f : [a, b]−→R, n f ois d´erivablesavec f(n) continue sur [a, b]}
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Th´eor`eme 3.2 f : [a, b]−→R,f ∈ Cn([a, b],R),f n+1fois d´erivable sur]a, b[. soitx0 ∈[a, b]
i) Alors, pour tout x∈[a, b], il existe c0x compris entre x et x0 tel que f(x) =
∑n
p=0
(x−x0)p
p! f(p)(x0) + (x−x0)n+1
(n+ 1)! .f(n+1)(c0x).
c’est le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre n de f en x0 avec reste de lagrange.
ii) Alors, pour tout h∈R tel que x0 +h∈[a, b], il existe c0h compris entre x0+h et x0 tel que f(x0+h) =
∑n
p=0
hp
p!f(p)(x0) + hn+1
(n+ 1)!.f(n+1)(c0h).
Preuve.
Supposons x < x0. Soit
ϕ(t) := f(x)−f(t)−(x−t)f′(t)−...− (x−t)n
n! f(n)(t)− (x−t)(n+1).A (n+ 1)!
avec A∈Rtel que ϕ(x0) = 0.
Alorsϕ continue sur [x, x0], d´erivable sur ]x, x0[ et ϕ(x) =ϕ(x0) = 0.
Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Rolles, il existec∈]x, x0[ tel que ϕ′(c) = 0.
Or ϕ′(c) = −(x−n!c)n.f(n+1)(c) + (x−n!c)nA, d’o`u A=f(n+1)(c).
CQFD
3.2 Formule de Maclaurin.
Il s’agit de la formule de Taylor avec reste de Lagrange appliqu´e `a x0 = 0.
Th´eor`eme 3.3 Si f admet des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre n+ 1 sur un intervalle I contenant 0 alors :
∀x∈I,∀n ∈N∗,∃θ∈]0,1[/f(x) =
∑n
p=0
xp
p!f(p)(0) + xn+1
(n+ 1)!f(n+1)(θ.x).
Preuve.
´
evident avec le r´esultat pr´ec´edent.
CQFD
Exemples 3.4 i) Montrer que
sinx∼0 x− x3 3! +x5
5! − x7 7!.
sinx = x − x3!3 + x5!5 − x7!7 + x7.ϵ(x) (avec ϵ(x) qui tend vers 0 quand x tens vers 0) est le d´eveloppement limit´e de sin `a l’ordre 7 en 0.
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ii) Faire la mˆeme chose aveccos.
3.3 Formule de Taylor avec reste de Young.
Th´eor`eme 3.5 Soient f : [a, b]−→R et x0 ∈[a, b].
Supposons f n fois d´erivable en x0.
Alors il exist α >0 tel que, pour tout x∈]x0−α, x0+α[, on ait f(x) =
∑n
p=0
(x−x0)p
p! f(p)(x0) + (x−x0)n.ϵ(x).
avec limx→x0ϵ(x) = 0.
c’est le d´eveloppement de Tayor `a l’ordre n de f avec reste de Young en x0.
Preuve.
On raisonne par r´ecurrence. La formule est clairement v´erifi´ee pour n= 1.
Supposons la formule v´erifi´ee pour n∈N et posons
rn+1(h) = f(x0+h)−f(x0)−hf′(x0)−...−hn+1fn+1(x0) (n+ 1)!.
Soit ϵ >0. L’hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee `arn+1′ montre alors qu’il existeα >0 tel que
∀h < α,|r′n+1(h)|< ϵ|h|n.
On a alors, grˆace au th´eor`eme des accroissements finis,
|rn+1(h)−rn+1(0)|=|rn+1(h)|< ϵ|h|n+1. D’o`u le r´esultat.
CQFD
Exercice 3.6 Appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent pour x0 = 0 `a ln(1 +x), ex, 1+x1 .
