Formules de Taylor

(1)

Fonctions vectorielles d'une variables réelles

Dérivation

Exercice 1 [ 00564 ][Correction]

SoientE unK-espace vectoriel de dimension nie etf:R→E dérivable en 0. On suppose

∀x∈R, f(2x) = 2f(x). Montrer quef est linéaire

SoientE unK-espace vectoriel de dimension nie etf:C¹([a;b[, E).

Montrer quef admet un prolongement de classeC¹ à[a;b]si, et seulement si,f⁰ admet une limite enb.

Pour tout réelx, on pose :

D_n(x) =

x 1 (0)

x²/2! x 1 x³/3! x²/2! x ...

... ... ... 1

xⁿ/n! · · · x²/2! x .

(a) Montrer queDn est une fonction dérivable et calculerD⁰_n(x). (b) En déduire l'expression de D_n(x).

Soitf: [0 ; 1]→E dérivable à droite en 0 et vériantf(0) = 0. Déterminer la limite quandn→+∞de

Sn =

n

X

k=1

f k/n² .

Soitu, v, wtrois fonctions de classe C² de[a;b]versR(aveca < b). On suppose

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰(a) v⁰(a) w⁰(a)

= 0. Montrer qu'il existec∈]a;b[vériant

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰⁰(c) v⁰⁰(c) w⁰⁰(c)

= 0.

Formules de Taylor

(a) Montrer que pour tout0≤p < non a

n

X

k=0

(−1)^k n

k

k^p= 0et

n

X

k=0

(−1)^k n

k

kⁿ = (−1)ⁿn!

(b) En déduire, pour f: R→Ede classeCⁿ, la limite quandh→0 de 1

hⁿ

n

X

k=0

(−1)^k n

k

f(kh).

Soitf de classeC²sur Rtelle quef et f⁰⁰soient bornées.

Montrer, à l'aide d'une formule de Taylor, que kf⁰k²_∞≤4kfk_∞kf⁰⁰k_∞.

Soitf: [0 ; 1]→E de classeC² telle que

f(0) =f⁰(0) =f⁰(1) = 0et f(1)

= 1. Montrer en écrivant deux formules de Taylor quekf⁰⁰k_∞≥4.

(2)

Arcs paramétrés

Étudier la courbe paramétrée dénie par x= cos(3t)

y= sin(2t). Exercice 10 [ 03965 ][Correction]

(Astroïde)

(a) Étudier la courbe paramétrée dénie par x= cos³t

y= sin³t.

(b) On noteAet B les points d'intersection des axes(Ox)et(Oy)avec la tangente au point de paramètret6= 0 [π/2]de la courbe précédente. Calculer la distanceA(t)B(t).

(Cycloïde) Étudier la courbe paramétrée dénie par x=t−sin(t)

y= 1−cos(t). Exercice 12 [ 00585 ][Correction]

(Lemniscate de Bernoulli)

(a) Étudier la courbe paramétrée dénie par (x= _1+cos^sin(t)2(t)

y= sin(t) cos(t) 1+cos²(t) . (b) On introduit les points

F(1/√

2,0) etF⁰(−1/√ 2,0). Montrer que pour tout pointM de la courbe ci-dessus

M F×M F⁰ =1 2.

(Cardioïde) Étudier la courbe dénie par

x(t) = 2 cos(t) + cos(2t) y(t) = 2 sin(t) + sin(2t).

Soitt7→f(t)dénissant un arc régulier tel qu'en tout point de paramètretla tangente soit

D_t: (t³+ 3t)x−2y=t³.

Réaliser un paramétrage en coordonnées cartésiennes de l'arc étudié et le représenter.

(a) Étudier la courbe

x= 3t² y= 2t³.

(b) Donner une équation de la tangente et de la normale en le pointM de paramètret.

(c) Déterminer les droites qui sont à la fois tangentes et normales à cette courbe.

(a) Étudier et représenter la courbe dénie par x= 4t³ y= 3t⁴.

(b) Former une équation de la tangente au point de paramètret∈R.

(c) Déterminer un paramétrage du lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes à la courbe précédente orthogonales et gurer cette courbe.

SoitDle disque de centre (0,0)et de rayonR >0du planR².

Montrer que les vecteurs tangents àD aux points du cercle limite sont orthogonaux au vecteur rayon.

(3)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Notons quef(2×0) = 2×f(0)impliquef(0) = 0. On a

f(x) =f(2×x/2) = 2f(x/2). Par récurrence

f(x) = 2ⁿf(x/2ⁿ).

Donc f(x)

x =f(x/2ⁿ)−f(0)

x/2ⁿ →f⁰(0) puis

f(x) =f⁰(0)x.

Un tel résultat est déjà connu pour les fonctions à valeurs réelles par application du théorème des accroissements nis. En raisonnant via parties réelles et

imaginaires on peut étendre ce résultat au cas d'une fonction complexe. En raisonnant via les fonctions coordonnées dans une base deE, on prolonge ce résultat aux fonctions à valeurs dansE.

(a) NotonsA(x) = (ai,j(x))∈ Mn(K)la matrice dontDn(x)est le déterminant.

La fonctionx7→A(x)est dérivable car ses fonctions coordonnées le sont et par multilinéarité du déterminant, la fonctionDn est dérivable avec

D_n⁰ = det(C₁⁰, C₂, . . . , C_n) + det(C₁, C₂⁰, . . . , C_n) +· · ·+ det(C₁, C₂, . . . , C_n⁰) et donc

D_n⁰ = det(C₁, C₂, . . . , C_n⁰).

En développant par rapport à la dernière colonne ce dernier déterminant, on obtient :

D⁰_n(x) =D_n−1(x).

(b) SachantDn(0) = 0et D1(x) =xon peut conclure, par récurrence, Dn(x) = xⁿ

n!.

Par la dérivabilité à droite def en 0, on peut écrire f(x) =f(0) +x.f⁰(0) +xε(x) avecε−−→

0⁺ 0.

Puisquef(0) = 0, on obtient Sn= 1

n²

n

X

k=1

k.f⁰(0) + 1 n²

n

X

k=1

k.ε k

n²

. En exploitant

ε

k n²

≤ max

]0;1/n]

kεk

et _n

X

k=1

k=n(n+ 1) 2

on obtient

Sn−n+ 1 2n f⁰(0)

≤n+ 1 2n max

]0;1/n]kεk. Orε−−→

0⁺ 0doncmax_]0;1/n]kεk →0 puis Sn→ 1

2f⁰(0). Exercice 5 :[énoncé]

On introduit la fonctionf: [a;b]→Rdénie par f(x) =

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u(x) v(x) w(x) . Cette fonction est continue sur[a;b], dérivable sur]a;b[ avec

f⁰(x) =

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰(x) v⁰(x) w⁰(x)

.

De plus,f(a) =f(b) = 0et donc, par le théorème de Rolle, il existe d∈]a;b[tel quef⁰(d) = 0. Au surplus,f⁰(a) = 0et une nouvelle application du théorème de Rolle à la fonctionf⁰ cette fois donne l'existence dec∈]a;d[⊂]a;b[telle

f⁰⁰(c) =

u(a) v(a) w(a) u(b) v(b) w(b) u⁰⁰(c) v⁰⁰(c) w⁰⁰(c)

= 0.

(4)

(a) Procédons par récurrence surn∈N^∗. Pourn= 1,Pn

k=0(−1)^{k n}_k

= (1−1)ⁿ= 0et Pn

k=0(−1)^kk ⁿ_k

=−1. Supposons la propriété établie au rangn≥1.

Pour0≤p < n+ 1. Sip= 0alorsPn+1

k=0(−1)^{k n+1}_k

k^p= (1−1)ⁿ⁺¹= 0. Si0< p < n+ 1 alorsPn+1

k=0(−1)^{k n+1}_k

k^p= (n+ 1)Pn+1

k=1(−1)^k _k−1ⁿ k^p−1= (n+ 1)Pn

k=0(−1)^k−1 ⁿ_k

(k+ 1)^p−1= 0 après développement du(k+ 1)^p−1. Sip=n+ 1alors

Pn+1

k=0(−1)^{k n+1}_k

kⁿ⁺¹= (n+ 1)Pn

k=0(−1)^k−1 ⁿ_k

(k+ 1)ⁿ = (−1)ⁿ⁺¹(n+ 1)!. Récurrence établie.

(b) Par Taylor Young :f(x) =Pn p=0

f^(p)(0)

p! x^p+ o(xⁿ)donc Pn

k=0(−1)^{k n}_k

f(kh) =Pn p=0

f^(p)(0) p!

Pn

k=0(−1)^{k n}_k

k^p+ o(hⁿ)→ (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾(0).

Par l'inégalité de Taylor Lagrange avecx∈Ret h >0 f(x+h)−f(x)−hf⁰(x)

≤ h² 2 kf⁰⁰k_∞ donc

h f⁰(x)

≤

f(x+h) +

f(x) +h²

2 kf⁰⁰k_∞ puis

f⁰(x)

≤ 2kfk_∞

h +hkf⁰⁰k_∞

2 .

Sif ouf⁰⁰ est la fonction nulle, on peut conclure. Sinon, pour h= 2p

kfk_∞/kf⁰⁰k_∞>0, on obtient f⁰(x)

≤2 q

kfk_∞kf⁰⁰k_∞ et l'on peut à nouveau conclure.

Par l'inégalité de Taylor Lagrange :

f

1 2

−f(0)−1 2f⁰(0)

≤1 8kf⁰⁰k_∞

et

f

1 2

−f(1) +1 2f⁰(1)

≤ 1

8kf⁰⁰k_∞. On en déduit

f

1 2

≤ 1

8kf⁰⁰k_∞ et f

1 2

− f(1)

≤ 1 8kf⁰⁰k_∞ donc

1 = f(1)

≤ f(1)

− f

1 2

+ f

1 2

≤ 1 4kf⁰⁰k_∞ puiskf⁰⁰k_∞≥4.

L'applicationt7→M(t)est dénie et de classeC^∞surR.

M(t+ 2π) =M(t).

M(−t)est le symétrique deM(t)par rapport à l'axe(Ox). M(π−t)est le symétrique deM(t)par rapport au pointO.

On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ;π/2]. La courbe obtenue sera complétée par les symétries de centreOet d'axe(Ox).

Tableau des variations simultanées

t 0 π/4 π/3 π/2

x⁰(t) 0 − − 0 + 3

x(t) 1 & −1/√

2 & −1 % 0 y(t) 0 % 1 & √

3/2 & 0

y⁰(t) + 0 − − −2

m(t) ∞ 0 ∞ −2/3

.

Il y a deux points doubles. Pour des raisons de symétrie, ceux-ci correspondent à une abscisse nulle. On obtient un point double pourt=π/6 ett⁰ = 7π/6 de coordonnées(0,√

3/2). Par symétrie, l'autre point double est de coordonnées (0,−√

3/2).

(a) L'applicationt7→f(t)est dénie et de classeC^∞ surR.

f(t+ 2π) =f(t)sont confondus.

f(−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Ox) f(π−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Oy)

f(π/2−t)est le symétrique def(t)par rapport à la droit∆ :y=x.

(5)

Figure 1 La courbe paramétréex= cos 3t, y= sin 2t On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ;π/4]. La courbe obtenue sera complétée par les symétries d'axe∆,(Oy)puis(Ox).

x⁰(t) =−3 sintcos²t y⁰(t) = 3 costsin²t.

t 0 π/4

x⁰(t) 0 − −3/√ 8 x(t) 1 & 2^−3/2 y(t) 0 % 2^−3/2 y⁰(t) 0 + 3/√

8

m(t) ? − −1

.

Étude ent= 0, le paramètre n'est pas régulier. Cependant y(t)−y(0)

x(t)−x(0) ∼

t→0

t³

−3/2t² →0. La tangente est donc dirigée par l'axe des abscisses.

(b) L'équation de la tangente au point de paramètretest y=−tant(x−cos³t) + sin³t.

Figure 2 L'astroïde

On aA(t)

0

sint etB(t)

cos(t)

0 et donc A(t)B(t) = 1.

L'applicationt7→f(t)est dénie et de classeC^∞surR.

f(t+ 2π)est l'image def(t)par la translation de vecteur2π~i. f(−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Oy).

On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ;π]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Oy)et par les translations de vecteurs 2kπ~i aveck∈Z.

x⁰(t) = 1−cos(t) y⁰(t) = sin(t).

t 0 π

x⁰(t) 0 + 2 x(t) 0 % π y(t) 0 % 2 y⁰(t) 0 + 0

.

(6)

Figure 3 La cycloïde

Le paramètret= 0n'est pas régulier. Cependant y(t)−y(0)

x(t)−x(0) ∼

t→0

t²/2

t³/6 →+∞. La courbe présente donc une tangente verticale en l'origine.

(a) L'application t7→f(t)est dénie et de classeC^∞surR.

f(t+ 2π)etf(t)sont confondus.

f(−t)est le symétrique def(t)par rapport au pointO. f(π−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Ox)

On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ;π/2]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Ox)et la symétrie de centreO. Tableau des variations simultanées

On poset₀= arccos(1/√

3). On acost₀= 1/√

3 etsint₀=p 2/3. [Une gure]

[Une gure]

La lemniscate de Bernoulli (b) On a

M F²= sin² (1 + cos²t)+1

2−√

2 sint

1 + cos²t etM F⁰²= sin² (1 + cos²t)+1

2+√

2 sint 1 + cos²t donc

M F²M F⁰²=1 4.

L'applicationt7→f(t)est dénie et de classeC^∞surR.

f(t+ 2π)etf(t)sont confondus.

f(−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Ox).

On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ;π]. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Ox).

x⁰(t) =−2 sint−2 sin 2t y⁰(t) = 2 cost+ 2 cos 2t. x⁰(t) = 0 ⇐⇒ t= 0,2π/3, π

y⁰(t) = 0 ⇐⇒ t=π/3, π.

t 0 π/3 2π/3 π

x⁰(t) 0 − − 0 + 0

x(t) 3 & 1/2 & −3/2 % −1 y(t) 0 % 3√

3/2 & √

3/2 & 0

y⁰(t) + 0 − − 0

m(t) ∞ − 0 + ∞ − ?

.

Le point de paramètret=πest stationnaire. Cependant y(t)−y(π)

x(t)−x(π) ∼

t→πt−π→0. La courbe présente donc une tangente horizontale ent=π.

Posonsf(t) = (x(t), y(t))avecxety fonctions dérivables. Le point de paramètret appartient à la droiteDtet donc

(t³+ 3t)x(t)−2y(t) =t³ (1). Le vecteurf⁰(t)dirige la droite D_tdonc

(t³+ 3t)x⁰(t)−2y⁰(t) = 0 (2). En dérivant (1) et en exploitant (2) on obtient :

(3t²+ 3)x(t) = 3t² donc

x(t) = t²

1 +t² ety(t) = t³ 1 +t².

(7)

Figure 4 La cardioïde

L'applicationt7→f(t)correspondante est dénie et de classeC^∞surR.

f(−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Ox).

On peut limiter l'étude à l'intervalleR+. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Ox).

t 0 +∞

x⁰(t) 0 + x(t) 0 % 1

y(t) 0 % +∞

y⁰(t) 0 +

.

Étude ent= 0. Le point n'est pas régulier, cependant y(t)−y(0)

x(t)−x(0) −−−→

t→0 0.

Il y a donc une tangente horizontale en le point de paramètret= 0. Étude quandt→+∞

x(t)→1⁻ et y(t)→+∞

La droite est asymptote à la courbe et celle-ci est à gauche de la droite.

Figure 5 La courbe solution Exercice 15 :[énoncé]

Notonsf(t)la fonction dénissant ce paramétrage.

Les points désignés parf(−t)etf(t)sont symétriques par rapport à(Ox). Étude limitée à[0 ; +∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Ox)

x⁰(t) = 6t y⁰(t) = 6t². x⁰(t) = 0 ⇐⇒ t= 0

y⁰(t) = 0 ⇐⇒ t= 0.

t 0 +∞

x⁰(t) 0 +

x(t) 0 % +∞

y(t) 0 % +∞

y⁰(t) 0 +

.

x(t)−x(0) −−−→

t→0 0. Il y a une tangente horizontale ent= 0

(b) Pourt6= 0, la tangenteDtenM a pour équation

−t²(x−3t²) +t(y−2t³) = 0

(8)

Figure 6 La courbex= 3t², y= 2t³

soit

tx−y=t³. Pourt6= 0, la normaleNtenM a pour équation

t(x−3t²)−t²(y−2t³) = 0 soit

tx−t²y= 3t³−2t⁵. Ces équations sont encore valables pourt= 0.

(c) La tangenteD_test normale à la courbe au pointN de paramètreτ si, et seulement si,

3tτ²−2τ³=t³ tτ+t²τ²= 0

ce qui traduitN ∈ Dt et l'orthogonalité des tangentes enM et N. Sit= 0alorsτ= 0mais le couple (0,0) n'est pas solution.

Sit6= 0alorsτ6= 0et τ=−1/tpuis ³_t+_t²3 =t³d'où(t²+ 1)²(t²−2) = 0 ce qui donnet=√

2,−√ 2. Exercice 16 :[énoncé]

Notonsf(t)la fonction dénissant ce paramétrage.

f(−t)est le symétrique def(t)par rapport à l'axe(Oy).

On peut limiter l'étude à l'intervalle[0 ; +∞[. La courbe obtenue sera complétée par la symétrie d'axe(Oy).

x⁰(t) = 12t² y⁰(t) = 12t³. x⁰(t) = 0 ⇐⇒ t= 0

y⁰(t) = 0 ⇐⇒ t= 0.

t 0 +∞

x⁰(t) 0 +

x(t) 0 % +∞

y(t) 0 % +∞

y⁰(t) 0 +

.

x(t)−x(0) −−−→

t→0 0. Il y a une tangente horizontale

(9)

Figure 7 La courbex= 4t³, y= 3t²

(b) Pourt6= 0, la tangente enM a pour équation : tx−y=t⁴. Ent= 0: cette équation convient encore.

(c) Les tangentes enM etN de paramètrestet τ etM(τ)sont orthogonales si, et seulement si,1 +tτ = 0

Si tel est le cas leur intersection est solution du système tx−y=t⁴

−¹_tx−y=_t¹₄. Après résolution

x=t³−t+¹_t −_t¹3

y=−t²+ 1−_t¹2.

Notonsg(t)la fonction dénissant le paramétrage de la courbe ainsi obtenue, t∈R^∗

g(−t)est le symétrique deg(t)par rapport à l'axe(Oy). Les pointsg(t)et g(1/t)sont confondus.

On peut limiter l'étude à l'intervalle]0 ; 1].

(x⁰(t) = 3t²−1−_t¹₂ +_t³₄ = ^(1+t²^)(3t_t⁴₄^−4t²⁺³⁾ y⁰(t) =−2t+_t²₃ = ^2(1−t_t₃⁴⁾.

t 0 1

x⁰(t) − 4

x(t) +∞ & 0 y(t) −∞ % −1

y⁰(t) + 0

.

Soitaun point du cercle limite de centre (0,0)et de rayon R >0. Soitγ: ]−ε;ε[→D une application dérivable en 0 avecγ(0) =a. Puisque l'applicationγest à valeurs dansD, on a

∀t∈]−ε;ε[, γ(t)

2≤R². Or

γ(0)

2=R²et donc l'applicationt7→

γ(t)

2admet un maximum ent= 0. Son nombre dérivé y est alors nul ce qui fournit

2hγ⁰(0), γ(0)i= 0.

Ainsi, le vecteur tangentv=γ⁰(0)est orthogonal au vecteur rayona=γ(0).

(10)

Figure 8 La courbe des points d'où l'on peut mener deux tangentes orthogonales