U.P.N - Sup Galil´ee Ann´ee scolaire 2012-2013 Formation Ing´enieurs
Harmonisation Math´ematiques
Feuille d’exercices 2
Formules de Taylor et d´eveloppements limit´es
I. Formules de Taylor Exercice 1
La fonctionf v´erifiant les conditions de Taylor-Lagrange sur un intervalle contenanta, trouver la limite lorsque h tend vers 0 de f(a+h)+f(a−h)−2f(a)
h2 ·
Exercice 2
a.Ecrire la formule de Taylor avec reste int´´ egral `a l’ordre n≥1 pour la fonctionx7→ln(1 +x).
b. En d´eduire que :
n→∞lim
n
X
k=1
(−1)n−1
n = ln(2).
Exercice 3
Soitf : R→Rune fonction de classe C2. On suppose que, pour toutx∈R,|f(x)| ≤M0et |f00(x)| ≤M2. a.Montrer que :∀h >0, ∀x∈R, |f0(x)| ≤2Mh0+hM22. b. En d´eduire que :∀x∈R, |f0(x)| ≤2√
M0M2.
II. D´eveloppements limit´es Exercice 4
Soit f : ]−1,+∞[→ Rla fonction d´efinie par f(x) =
√1 +x.
a. Ecrire le d´´ eveloppement limit´e d’ordre 2 en 0 def. b. On cherche `a donner une valeur approch´ee de √
101 sans utiliser de calculatrice. Un ´etudiant se propose de poser x= 100 dans la formule obtenue `a la question a.
Que peut-on en dire ?
c. Proposer une m´ethode plus efficace en utilisant la mˆeme formule.
Exercice 5
D´eterminer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 : a. `a l’ordre 3 dex7→e−x,
b. `a l’ordre 4 dex7→2 cos(x)−1, c. `a l’ordre 5 dex7→2 sin(x)−sin(2x), d. `a l’ordre 3 dex7→ 1+xex ,
e.`a l’ordre 3 dex7→(x−x3)√ 1 +x,
f.`a l’ordre 4 dex7→esin(x), g.`a l’ordre 5 de x7→ exch(x)sh(x), h.`a l’ordre 4 de x7→(ln(1 +x))2, i.`a l’ordre 3 dex7→ln(cos(x)).
Exercice 6
a.D´eterminer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 1
`
a l’ordre 3 de la fonctionx7→x−2ln(x).
b.D´eterminer le d´eveloppement limit´e au voisinage de π3
`
a l’ordre 3 de la fonctionx7→ln(sin(x)).
Exercice 7
Soitgla fonction x7→ arctanx (sinx)3 − 1
x2. a.Donner le domaine de d´efinition deg.
b.Montrer queg se prolonge par continuit´e en 0 en une fonction d´erivable.
c. D´eterminer la tangente en 0 au graphe de cette fonc- tion et la position de ce graphe par rapport `a celle-ci.
Exercice 8
a.Trouver un d´eveloppement limit´e `a l’ordrenau voisi- nage de l’origine de :
(i) tanx (n= 5) (ii) q
1 +√
1 +x (n= 2) (iii) ex1 ln(1+x) (n= 3).
b. En utilisant un d´eveloppement limit´e, calculer les li- mites suivantes :
(i) limx→1x1+cos2−2x+1πx; (ii) limx→0tanarctanx−arcsinx−xx
(iii) limx→0x12 −sin12x; (iv) limx→∞
21x+3x1
2
x
·
Exercice 9
a. Donner le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 et
`
a l’ordre 4 des fonctions ln(cosx) et sin2x.
b.En d´eduire la limite de la suite un=n4 ln cosn1 +
n4 2 sin2 1n·
1
