L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚17 D´ eveloppements limit´ es
Exercice 231 : Donner le d´eveloppement limit´e de la fonctionf d´efinie par : f: x7→
sin(x) x
2
au voisinage de 0 `a l’ordre 3.
Exercice 232 : Donner le d´eveloppement limit´e de la fonctionf d´efinie par : f:x7→ln(cos(x))
au voisinage de 0 `a l’ordre 4.
Exercice 233 : Donner le d´eveloppement limit´e de la fonctionf d´efinie par : f: x7→ 1
1 + sin(x) au voisinage de 0 `a l’ordre 3.
Exercice 234 : Donner le d´eveloppement limit´e de la fonction tangente au voisinage de 0 `a l’ordre 5.
Exercice 235 : Donner le d´eveloppement limit´e de la fonctionf d´efinie par : f:x7→ x+ 1
x2+x+ 1 au voisinage de 0 `a l’ordre 3.
Exercice 236 : Dans chacun des cas suivants, ´etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf enx0∈R. 1. f:x7→ sin(x)√
1 +x2−x
x3 ;x0= 0 ; 2. f:x7→ esin(x)−ex
sin(x)−tan(x);x0= 0 ; 3. f:x7→ x
x−1− 1 ln(x)
;x0= 1 ;
4. f:x7→(2x2−3x+ 1) tan(πx) ;x0=1 2; 5. f:x7→
1 + 1
x x
;x0= +∞; 6. f:x 7→ ex2+x−e2x
cos π2x ;x0= 1.
1
Exercice 237 : Soitf la fonction d´efinie sur ]−1,+∞[ par :
f:x7→
x
ln(1 +x) six∈]−1,0[∪]0,+∞[
1 six= 0
1. Donner le DL `a l’ordre 2 de la fonctionf au voisinage de 0.
2. En d´eduire que la fonctionf est d´erivable sur ]−1,+∞[.
3. On fixeRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def dansR. Donner une ´equation (relati- vement `a R) de la tangente T `aCf au point d’abscisse 0.
4. Pr´eciser la position de T par rapport `aCf au voisinage de 0.
Exercice 238 : Soitf la fonction d´efinie surD=R\ {kπ : k∈Z} par :
∀x∈ D f(x) = 1 sin(x)−1
x. 1. Donner le DL `a l’ordre 3 def au voisinage de 0.
2. Montrer que f se prolonge par continuit´e en 0 et que la fonction f ainsi prolong´ee, not´ee (abusivement)
´
egalement f, est d´erivable en 0.
3. On fixeRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def dansR. Donner une ´equation (relati- vement `a R) de la tangente T `aCf au point d’abscisse 0.
4. Pr´eciser la position de T par rapport `aCf au voisinage de 0.
F Exercice 239 : Soitf la fonction d´efinie surRpar : f:x7→2x−p
4x2+ 2x−3.
On fixeRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def dansR.
1. En utilisant la th´eorie des d´eveloppements limit´es, d´eterminer a, b, c∈Rtels que : f(x) =
x→−∞ax+b+ c x+o
1 x2
.
2. En d´eduire que Cf admet, en −∞, une asymptote oblique ∆ dont on donnera une ´equation cart´esienne relativement `a R.
3. Pr´eciser la position relative de Cf et de ∆ au voisinage de−∞.
Exercice 240 (oral du concours A-TB 2009) :Soitf la fonction d´efinie par : f:x7→ xln(x)
x2−1. 1. Pr´eciser l’ensemble de d´efinition def.
2. La fonctionf est-elle prolongeable par continuit´e en 0 et en 1 ?
3. Dans l’affirmative, pr´eciser l’´equation de la tangente `a la courbeC repr´esentative de la fonctionf en 0 et en 1.
4. Quel est le comportement deC en +∞?
2
