Q3 Montrez que f est prolongeable par continuit´e `a droite de 0

Sup PCSI2 — Devoir 2006/05

IPetit rappel `a lireattentivement. Toute copie sans nom, ou trop ratur´ee, ou avec des ´ecritures dans les marges, ou avec des ´ecritures au crayon, ou avec un orthographe trop fantaisiste, ou avec des soustractions d’in´egalit´es (ou tout autre crime contre le bon sens math´ematique) recevra la note z´ero. Qu’on se le dise.

INotonsf : x >07→x^x.

Q1 Justifiez l’affirmation suivante :f est de classeC^∞ surR^∗+. Q2 Explicitezf⁰(x), puisf⁰⁰(x).

Q3 Montrez que f est prolongeable par continuit´e `a droite de 0. Nous noterons encore f la fonction ainsi prolong´ee.

Q4 f est-elle d´erivable `a droite de 0 ?

Q5 ´Etudiez rapidement les variations de f, puis tracez sa courbe repr´esentative.

IPourn>0, notonsan= f⁽ⁿ⁾(1) n! . Q6 Calculeza0, a1 et a2.

Q7 Montrez que f est solution surR^∗+ d’une ´equation diff´erentielle du premier ordretr`es simple. Q8 Pourk>1 etx >0, d´emontrez la formule d^k

dx^k ln(x)

=(−1)^k−1(k−1)!

x^k .

Q9 ´Enoncez la formule deLeibniz. Aucune d´emonstration n’est demand´ee ! Q10 Pourn>1, ´etablissez la relationaⁿ+1= 1

n+ 1

aⁿ− X

16k6n

(−1)^ka^n−k k

. Q11 Utilisez cette formule pour calculera3,a4 eta5.

Q12 Montrez que|aⁿ|61 pour toutn>0.

Q13 Montrez que l’on a mˆeme|aⁿ|<1 pourn>3.

Q14 NotonsHⁿ= X

16k6n

1

k. Montrez que|aⁿ+1|61 +Hⁿ n+ 1 . Q15 Quelle est la limite de la suite (an)n>0?

[Devoir 2006/05] Compos´e le 4 f´evrier 2007