L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚17 D´ eveloppements limit´ es
Exercice 207 (somme et produit de DL)
1. Calculer le d´eveloppement limit´e de √
1−x+√ 1 +x en 0 `a l’ordre 3, apr`es avoir justifi´e son existence.
2. Calculer le d´eveloppement limit´e de
cos(2x) ln(1 +x) en 0 `a l’ordre 2, apr`es avoir justifi´e son existence.
Exercice 208 (compos´ees de DL)
1. Calculer le d´eveloppement limit´e de
ln
sin(x) x
en 0 `a l’ordre 4, apr`es avoir justifi´e son existence.
2. Calculer le d´eveloppement limit´e de
esin(x) en 0 `a l’ordre 3, apr`es avoir justifi´e son existence.
Exercice 209 (Inverse et quotient de DL)
1. Calculer le d´eveloppement limit´e de
1 1 +x+x2 en 0 `a l’ordre 4, apr`es avoir justifi´e son existence.
2. Calculer le d´eveloppement limit´e de
tan(x) en 0 `a l’ordre 3, apr`es avoir justifi´e son existence.
Exercice 210 (DL en 3 et interpr´etation g´eom´etrique)
1. Calculer le DL de √
x en 3 `a l’ordre 2, apr`es avoir justifi´e son existence.
2. SoitCla courbe repr´esentative de la fonction racine carr´ee dans un rep`ereRdu plan et soitT la tangente
`
a C au point d’abscisse 3. Que d´eduire de 1. quant `aC etT ?
1
♥Exercice 211 (DL et ´etudes de limites)
Dans chacun des cas suivants, ´etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf enx0∈R.
1. f:x7→ sin(x)√
1 +x2−x
x3 ;x0= 0 ;
2. f:x7→ esin(x)−ex
sin(x)−tan(x);x0= 0 ;
3. f:x7→
1 + 1
x x
;x0= +∞;
4. f:x 7→ ex2+x−e2x
cos π2x ;x0= 1.
♥Exercice 212 (DL et ´etude d’un prolongement de fonction) Soitf la fonction d´efinie sur ]−1,0[∪]0,+∞[ par :
f:x7→ x ln(1 +x). 1. Donner le DL `a l’ordre 2 de la fonctionf au voisinage de 0.
2. En d´eduire que l’on peut prolonger f par continuit´e en 0 et que le prolongement de f `a ]−1,+∞[, abusivement not´ef, est d´erivable sur ]−1,+∞[. On pr´ecisera les valeursf(0) etf0(0).
3. On fixeRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def dansR. Donner une ´equation (relati- vement `a R) de la tangente T `aCf au point d’abscisse 0.
4. Pr´eciser la position de Cf par rapport `a T au voisinage de 0.
F Exercice 213 (D´eveloppements asymptotiques) Soitf la fonction d´efinie surRpar :
f:x7→2x−p
4x2+ 2x−3.
On fixeRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def dansR.
1. En utilisant la th´eorie des d´eveloppements limit´es, d´eterminer a, b, c∈Rtels que :
f(x) =
x→−∞ax+b+ c x+o
1 x
.
2. En d´eduire que Cf admet, en −∞, une asymptote oblique ∆ dont on donnera une ´equation cart´esienne relativement `a R.
3. Pr´eciser la position relative de Cf et de ∆ au voisinage de−∞.
2
