M ath ematiques ´ - ECS1
24
F ormules de T aylor et d eveloppements limit ´ es ´
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
24.1 Objectifs du chapitre
Fonction négligeable au voisinage dex0. Notation f =(g).
Fonctions équivalentes au voisinage dex0. Notation f ∼x0 g.
f ∼x0 g⇐⇒ f =g+(g).
Extension au casx0=±∞.
Compatibilité de l’équivalence avec le produit, le quotient et l’élévation à une puissance.
Comparaison des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes au voisinage de l’in- fini, des fonctions puissances et logarithmes en 0.
On présentera à nouveau les croissances comparées rap- pelées au premier semestre.
Formule de Taylor avec reste intégral.
Inégalité de Taylor-Lagrange.
Ces formules seront données à l’ordrenpour une fonction de classeCn+1.
Définition d’un développement limité. On fera le lien entre un développement limité à l’ordre 1 et la valeur de la dérivée.
On pourra introduire et manipuler la notationxnε(x) avant l’utilisation éventuelle de la notationo(xn).
Somme et produit de développements limités.
Formule de Taylor-Young à l’ordrenpour une fonction de classeCn.
Résultat admis.
Application de la formule de Taylor-Young au développement limité de fonctions usuelles (exponentielle, logarithme,x7→(1+x)α, sinus et cosinus).
24.2 Comparaison locale des fonctions
Dans cette section,Idésigne un intervalle deRou une réunion d’intervalles deR. Six0est un point deIou une extrémité finie deI, on appelle de voisinage de x0toute partie de la forme ]x0−η,x0+η[∩Ioùηest un réel strictement positif.
On appelle de voisinage de+∞toute partie de la forme [A,+∞[∩IoùAest un réel.
On appelle de voisinage de−∞toute partie de la forme ]− ∞,B]∩IoùBest un réel.
24.2.1 Prépondérance (négligeabilité)
Définition 1. Soit f,g:I−→Retx0un élément deIou une extrémité finie deI.
On dit que f est négligeable devantg(ou quegest prépondérante par rapport àf ) au voisinage dex0si :
— il existeη >0 et
— une fonctionε:I∩]x0−η,x0+η[\{x0} →Ravec lim
x→x0ε(x)=0 tels que
∀x∈I∩]x0−η,x0+η[\{x0}, f(x)=ε(x)g(x).
On note alors
f = o
(x0)(g) ou f(x)= o
(x0)(g(x)).
24.2 Comparaison locale des fonctions 3
Définition 2. Soit f,g:I−→RavecIde la forme|a,+∞[.
On dit que f est négligeable devantg(ou quegest prépondérante par rapport àf ) au voisinage de+∞si :
— il existeα >0 et
— une fonctionε:I∩]α,+∞[→Ravec lim
+∞ε(x)=0 tels que
∀x∈I∩]α,+∞[, f(x)=ε(x)g(x).
On note alors
f = o
(+∞)(g) ou f(x)= o
(+∞)(g(x))
La définition de la négligeabilité en−∞est analogue.
Conséquence :en pratique, signe s’annule pas surI\{x0}lorsquex0∈Ialors f = o
(x0)(g) ssi lim
x→x0
f(x) g(x) =0 Exemple 1. On considère les fonctions f,g,hdéfinies surRpar
f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x4. Pour toutx∈R,g(x)=x f(x) et lim
0 x=0 doncg= o
(0)(f).
De même, pour toutx∈R,h(x)=x2g(x) et lim
0 x2=0 donch= o
(0)(g).
Exemple 2. On a lim
x→+∞
lnx
x =0 donc lnx= o
(+∞)(x)
Exemple 3. On pose pourx>0, f(x)=e−1x etg(x)=x3. Pourx>0, f(x)
g(x) = e−1x x3 = 1
x
!3
e−1x et lim
x→0
1 x
!3
e−1x = lim
y→+∞y3e−y=0 donc f = o
(0)(g).
Exercice1.Comparer les fonctions suivantes pour la relation de négligeabilité, au voi- sinage de0, puis au voisinage de+∞:
f(x)= √
x, g(x)=x3−x2, h(x)= x
|lnx|
Exercice2.Comparer les fonctions suivantes pour la relation de négligeabilité, au voi- sinage de+∞:
f(x)=x2e−x, g(x)=xe−2x, h(x)=(1+x2)e−
√x
Proposition 1. Soit f,g:I−→Ret x0un élément de I ou une extrémité de I éventuel- lement infinie.
(1) si f = o
(x0)(g)et g= o
(x0)(h)alors f = o
(x0)(h) (2) si f1= o
(x0)(g1)et f2= o
(x0)(g2)alors f1f2 = o
(x0)(g1g2) (3) si f = o
(x0)(h)et g= o
(x0)(h)alors pour toutλ∈R, λf +g= o
(x0)(h)
Théorème des croissances comparées .Comparaison des fonctions de référence au voisinage de 0 et+∞.
(1) siα < βalors|x|β= o
(0)(|x|α)et xα= o
(+∞)(xβ) (2) si r>0,p>0alors
(a) (lnx)r= o
(+∞)(xp) (b) xr= o
(+∞)(epx) (c) (lnx)p= o
(0)
1
|x|r
!
Exercice3.Comparer les fonctions suivantes au voisinage de+∞: f(x)=(lnx)2, g(x)=xln(lnx)
24.2.2 Equivalence
Définition 3. Soit f,g:I −→Retx0un élément deIou une extrémité deIéventuel- lement infinie.
On dit que f est équivalente à g au voisinage de x0 si au voisinage de x0, on a f =g+ o
(x0)(g).
On note alors f ∼
(x0)gou f(x) ∼
(x0)g(x)
Traduction : f est équivalente àgau voisinage de x0 si et seulement si il existeη > 0 et une fonctionε:I∩]x0−η,x0+η[\{x0} →Ravec lim
x→x0
ε(x)=0 tel que
∀x∈I∩]x0−η,x0+η[\{x0}, f(x)=(1+ε(x))g(x) La traduction est analogue dans le casx0=±∞.
Conséquence :signe s’annule pas surI\{x0}lorsquex0∈Ialors f ∼
(x0)gssi lim
x→x0
f(x) g(x) =1 Exemple 4. On a lim
x→0
sinx
x =1 donc sinx∼
(0)x Exemple 5. De même, lim
x→+∞
x2−3x+√ x
x2 =1 doncx2−3x+√ x ∼
(+∞)x2
24.2 Comparaison locale des fonctions 5
Exemple 6. On a lim
x→0cosx=1 donc cosx∼
(0)1.
Exercice4.Déterminer un équivalent dex
√
lnx− √
xlnxau voisinage de+∞.
Proposition 2. Soit f,g:I−→Ret x0un élément de I ou une extrémité finie de I.
Si f ∼
(x0)g alors g ∼
(x0) f .
Equivalents classiques à connaitre
Proposition 3. Si x0∈I et si f est dérivable en x0avec f0(x0),0alors f(x)−f(x0) ∼
(x0)f0(x0)(x−x0)
Proposition 4. Equivalents classiques.
(1) sinx∼
(0)x, tanx∼
(0)x, 1−cosx∼
(0)
1 2x2 (2) ln(1+x)∼
(0)x, ex−1∼
(0)x (3) Pour toutα >0, (1+x)α−1∼
(0)αx.
(4) Arctanx∼
(0)x
Exercice5.Soit f une fonction tellelim
x→x0
f(x)=1. Montrer queln(f(x)) ∼
(x0)f(x)−1.
Exercice6.Déterminer un équivalent deln 1+x 1−x
!
au voisinage de0.
Exercice7.Soitf une fonction telle f(x)∼
(0)2x. Déterminer un équivalent de1−cosf(x) au voisinage de0.
Propriétés de la relation d’équivalenceSoit f,g :I −→Retx0un élément deIou une extrémité deIéventuellement infinie.
Proposition 5. Si f possède une limite finie`non nulle en x0alors f(x) ∼
(x0)`.
Proposition 6. Si f ∼
(x0)g et si lim
x→x0
g(x)=`∈R∪ {+∞,−∞}alors lim
x→x0
f(x)=`
Proposition 7. On suppose que f ∼
(x0)g.
(1) Si g ne s’annule pas au voisinage de x0alors il en va de même pour f au voisinage de x0.
(2) Si g est positive au voisinage de x0alors il en va de même pour f au voisinage de x0.
Opérations sur les équivalents Toutes les fonctions considérées sont définies surIetx0
un élément deIou une extrémité deIéventuellement infinie.
Proposition 8. Opérations sur les équivalents.
(1) Si f ∼
(x0)g et g ∼
(x0)h alors f ∼
(x0)h.
(2) Si f1 ∼
(x0)g1et f2 ∼
(x0)g2alors f1f2 ∼
(x0)g1g2. (3) Soit n∈N∗. Si f ∼
(x0)g alors fn ∼
(x0)gn. (4) Si f ∼
(x0)g et si au voisinage de x0, g ne peut s’annuler qu’en x0 alors au voisinage de x0, f ne peut s’annuler qu’en x0et 1
f ∼
(x0)
1 g.
Exemple 7. Pour toutx∈R,on pose f(x)= −2x3−3x3−2x+1
5x4−x2+1 . Alors f(x) ∼
(+∞)
−2 5 ·1
x. Exemple 8. cosx=cosx−cosπ2 ∼
(π2)
π
2−xet au voisinage deπ2, π2−xne s’annule qu’en π2 donc 1
cosx ∼
(π2)
1
π 2 −x.
Remarque1.Il n’y a pas de compatibilité avec la somme ! Par exemple,x+1 ∼
(+∞)x+2et
−x ∼
(+∞)
−xmais(x+1)+(−x)=1n’est pas équivalent au voisinage de+∞à(x+2)+(−x)=2.
Remarque2.Attention au passage à l’exponentielle ! Il n’est pas toujours vrai que f ∼
(x0)g impliqueef ∼
(x0)eg. Par exemple,x+1 ∼
(+∞)xmaisex+1n’est pas équivalent au voisinage de +∞àex. On a le résultat suivant :
ef ∼
(x0)egssi f−g= o
(x0)(1).
Exercice8.En utilisant les équivalents, déterminer la limitelim
x→0
2−cosx−cos 2x tan2x
Exercice 9.En utilisant les équivalents, déterminer la limite
x→lim+∞
√
4x+1 ln
1−
√ x+1 x+2
24.3 Formule de Taylor avec reste intégral 7
24.3 Formule de Taylor avec reste intégral
SoitIun intervalle deRnon vide. On rappelle que f est de classeCnsurIsi f estn fois dérivable et si f(n)est continue surI.
24.3.1 Formule de Taylor avec reste intégral
Formule de Taylor avec reste intégral .Si f est de classe Cn+1sur l’intervalle I alors pour tout a∈I, b∈I
f(b)= f(a)+(b−a)f0(a)+ f00(a)
2! (b−a)2+. . .+ f(n)(a) n! (b−a)n +Z b
a
(b−t)n
n! f(n+1)(t)dt ou encore
f(b)=
n
X
k=0
f(k)(a)
k! (b−a)k+Z b a
(b−t)n
n! f(n+1)(t)dt
24.3.2 Inégalité de Taylor-Lagrange
Inégalité de Taylor-Lagrange .Si f est de classe Cn+1sur l’intervalle[a,b]alors en posant M= max
x∈[a,b]|f(n+1)(x)|, on a
f(b)− f(a)+(b−a)f0(a)+ f00(a)
2! (b−a)2+. . .+ f(n)(a) n! (b−a)n
!
≤M|b−a|n+1 (n+1)!
ou encore
f(b)−
n
X
k=0
f(k)(a) k! (b−a)k
≤M|b−a|n+1 (n+1)!
Remarque3.Appliquée avecn=0, on obtient l’inégalité des accroissements finis : Inégalité des accroissements finis: si f est de classeC1 sur[a,b]alors en posantM =
x∈[a,b]max|f0(x)|, on a
|f(b)−f(a)| ≤M|b−a|
Exemple 9. La fonction cos est de classeC∞surR: on peut donc appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à tout ordren∈N. De plus pour toutn∈N
cos(2n) =(−1)ncos, cos(2n+1)=(−1)nsin de sorte que pour toutn∈N,pour toutx∈R, |cos(n)(x)
≤1. Donc pour toutx∈R,et tout N∈N
cosx−
2N
X
k=0
(−1)2k x2k (2k)!
≤ |x|2N+1 (2N+1)!
Exemple 10. La fonction exp est de classeC∞surR: on peut donc appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à tout ordren∈N. De plus pour toutn∈N
exp(n) =exp
et pour toutx∈R, |ex| ≤e|x|.Donc pour toutx∈R,et toutN∈N
ex−
N
X
k=0
xk k!
≤e|x| |x|N+1 (N+1)!
24.4 Notion de développement limité
24.4.1 Définition
SoitIun intervalle d’intérieur non vide etx0un élément deIou une borne finie deI, nun entier naturel et f :I−→Rune application.
Définition 4. On dit que f admet un développement limité au voisinage de x0 à l’ordrensi
(1) il existe un polynômeP=a0+a1X+. . .anXnde degré inférieur ou égal àn: (2) il existeη >0 et une fonctionε:I∩]x0−η,x0+η[−→Rtelle que lim
x→x0ε(x)=0 et pour toutx∈I∩]x0−η,x0+η[
f(x)=P(x−x0)+(x−x0)nε(x)
=a0+a1(x−x0)+. . .an(x−x0)n+(x−x0)nε(x)
=
n
X
k=0
ak(x−x0)k+(x−x0)nε(x)
La partie polynômialeP(x−x0) s’appellepartie régulièredu développement li- mité de f à l’ordren en x0. La quantité f(x)−P(x−x0) s’appelle le restedu développement limité de f à l’ordrenenx0.
Remarque4.La translationh7→ x0+hpermet de rammener l’étude de f au voisinage de x0à celle de la fonctiongdéfinie parg(h)= f(x0+h)au voisinage de0En effet, écrire
f(x)=
n
X
k=0
ak(x−x0)k+(x−x0)nε(x)lorsquexest au vois. dex0
avec lim
x→x0
ε(x)=0revient au même que d’écrire
f(x0+h)=
n
X
k=0
akhk+hnε(h)˜ lorsquehest au vois. de0 aveclim
h→0ε(h)˜ =0. Pratiquement, on a poséx=x0+hetε(h)˜ =ε(x0+h).
Si f admet un développement limité au voisinage dex0à l’ordrenalors
x→xlim0 f(x)−
n
X
k=0
ak(x−x0)k (x−x0)n = lim
x→x0ε(x)=0
24.4 Notion de développement limité 9
c’est à dire que le reste f(x)−
n
X
k=0
ak(x−x0)kest négligeable devant (x−x0)nau voisinage dex0.
Le développement limité de f au voisinage dex0se note donc aussi f(x)=
n
X
k=0
ak(x−x0)k+ o
(x0)((x−x0)n) ou encore
f(x0+h)=
n
X
k=0
akhk+ o
(0)(hn).
Dans la suite, on se ramènera toujours à des développements limités au voisinage de 0 et on écrira f ∈d`n(x0) pour écrire que f admet un développement limité au voisinage de x0à l’ordren.
Exemple 11. On pose pourx ,0, f(x) =x3sin1x et f(0) =0. Pour toutx, 0, f(x)= x2ε(x) avecε(x)=xsin1x. Pour toutx,0, |ε(x)| ≤ |x|donc lim
x→0ε(x)=0. Donc f ∈d`2(0) et f(x)=0+o
(0)(x2).
Exemple 12. On pose f(x)=(1+x)25 pourx∈R. On a d’après la formule du binôme : pour toutx∈R
f(x)=1+25x+
25
X
k=2
25 k
! xk
=1+25x+xε(x) où on a poséε(x) =
25
X
k=2
25 k
!
xk−1. Comme lim
x→0ε(x) = 0, le développement limité de f à l’ordre 1 en 0 est :
f(x)=1+25x+o
(0)(x) Exemple 13. On pose pourx<1, f(x)= 1
1−x. Avec l’identité : pour toutx,1, n∈N, 1−xn+1
1−x =1+x+x2+. . .+xn on a pour toutx<1
f(x)=1+x+x2+. . .+xn+xnε(x) où on a poséε(x) = x
1−x. Comme lim
x→0ε(x) =0, la fonction f admet un développement limité à l’ordrenau voisinage de 0 qui est
f(x)=1+x+x2+. . .+xn+o
(0)(xn) Exemple 14. On pose pourx>−1, f(x)= 1
1+x. D’après l’exemple précédent, f admet un développement limité à l’ordrenau voisinage de 0 qui est
f(x)=1−x+x2+. . .+(−1)nxn+o
(0)(xn)=
n
X
k=0
(−1)kxk+ o
(0)(xn)
24.4.2 Formule de Taylor-Young
La proposition suivante donne une condition suffisante d’existence d’un développe- ment limité.
Formule de Taylor-Young .Soit I un intervalle d’intérieur non vide, x0 ∈ I et f une fonction de classe Cn sur I. Alors f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x0qui est :
f(x)=
n
X
k=0
f(k)(x0)
k! (x−x0)k+ o
(x0)((x−x0)n)
Exercice10.Soitx0 ∈ Rtel que0 < x0 < π. Donner led`3(x0)de la fonction définie par f(x)=ln(sinx). En déduire led`3(π2)de f.
Application aux fonctions usuelles.Les fonction usuelles sont de classeC∞au voisinage de 0 donc admettent un développement limité à tout ordre au voisinage de 0 :
ex=1+ x 1! +x2
2! +· · ·+ xn n!+ o
(0)(xn) cosx=1−x2
2! +x4
4! +· · ·+(−1)n. x2n (2n)!+ o
(0)(x2n+1) sinx=x−x3
3! +x5
5! +· · ·+(−1)n. x2n+1 (2n+1)! +o
(0)(x2n+2) tanx=x+x3
3 + 2
15x5+ 17 315x7+o
(0)(x8)
(1+x)α=1+αx+α(α−1)
2! x2+· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+1)
n! xn+ o
(0)(xn) 1
1+x=1−x+x2+· · ·+(−1)nxn+ o
(0)(xn)
√
1+x=1+x 2 −1
8x2+· · ·+(−1)n−1.1.1.3.5. . .(2n−3) 2nn! xn+o
(0)(xn)
√1
1+x=1−x 2 +3
8x2+· · ·+(−1)n.1.3.5. . .(2n−1) 2nn! xn+o
(0)(xn)
ln (1+x)=x−x2 2 +x3
3 +· · ·+(−1)n−1.xn n +o
(0)(xn) Arctanx=x−x3
3 +x5
5 +· · ·+(−1)n. x2n+1 2n+1 +o
(0)(x2n+2)
24.4 Notion de développement limité 11
Exercice11.Donner led`3(0)de la fonction définie par f(x)=ln(2+x).
Exercice12.Donner led`5(0)de la fonction définie par f(x)=e−x2.
24.4.3 Propriétés des développements limités a) Unicité, troncature, parité
SoitIun intervalle d’intérieur non vide,x0un élément deIou une extrémité finie deI et f une fonction définie surI.
Proposition 9. La partie régulière du développement limité quand il existe est unique : si f ∈ d`n(x0)avec f(x) = P(x−x0)+ o
(x0)(x−x0)n =Q(x−x0)+ o
(x0)(x−x0)n alors P=Q.
Proposition 10. Soit n ∈ N. Si f ∈ d`n(x0) alors pour tout entier naturel k ≤ n, f ∈d`k(x0)et la partie régulière dud`de f à l’ordre k s’obtient en tronquant à l’ordre k la partie régulière dud`de f à l’ordre n.
Proposition 11. On suppose I centré en0et f ∈d`n(0)avec f(x)=P(x)+o
(0)(xn) (1) si f est paire alors P est pair
(2) si f est impaire alors P est impair
b) Continuité et dérivabilité
Proposition 12. Soit I un intervalle d’intérieur non vide, x0∈I et f une fonction définie sur I.
(1) f est continue en x0ssi f ∈d`0(x0) (2) f est dérivable en x0ssi f ∈d`1(x0)
Remarque5.Cette propriété ne se généralise pas aux dérivées d’ordre supérieur ou égal à2 comme le montre l’étude de la fonction f(x)=x3sin1x prolongé en0par0.
c) "Primitivation"
La proposition suivante est très utile pour obtenir un développement limité lorsque l’on connaît celui de la dérivée. Elle dit essentiellement que si f ∈d`n(x0) et siFest une primitive de f alorsF∈d`n+1(x0) et le développement limité deFs’obtient en primitivant celui de f.
Proposition 13. Soit f une fonction continue sur l’intervalle I, x0un élément de I et F la primitive de f qui s’annule en x0: pour tout x∈I, F(x)=Z x
x0
f(t)dt.
Si
f(x)=a0+a1(x−x0)+. . .+an(x−x0)n+ o
(x0)((x−x0)n) alors
F(x)=Z x x0
f(t)dt=a0(x−x0)+1
2a1(x−x0)2. . .+ 1
n+1an(x−x0)n+1+ o
(x0)((x−x0)n+1) Exemple 15. Au voisinage de 0,
1
1+x =1−x+x2+o
(0)(x2).
Par conséquent, au voisinage de 0,
ln(1+x)=x−1 2x2+1
3x3+o
(0)(x3)
Remarque6.Attention, on peut "primitiver" un développement limité mais on n’a pas le droit en général de dériver un développement limité. (voir la remarque4)
24.5 Règles de calcul
24.5.1 Linéarité
Soient f,g:I−→R, x0un élément deIou une extrémité finie deIetn∈N. Proposition 14. Si f ∈d`n(x0)de partie régulière P(x−x0)et g ∈d`n(x0)de partie régulière Q alors pour toutλ∈R
λf+g∈d`n(x0)de partie régulièreλP(x−x0)+Q(x−x0)
Exemple 16. Pour toutx∈R,on pose chx=ex+e−x
2 . Au voisinage de 0, on a chx=
1+x+12x2+. . .+(2n)!1 x2n +
1+(−x)+12(−x)2+. . .+(2n)!1 (−x)2n
2 +o
(0)(x2n)
=1+1 2x2+ 1
4!x4+. . .+ 1
(2n)!x2n+o
(0)(x2n) 24.5.2 Produit
Proposition 15. Si f ∈d`n(x0)de partie régulièreP etg∈d`n(x0)de partie régulière Qalors f g∈d`n(x0)et la partie régulière est obtenue en formant le produit PQet en ne retenant que les termes de degré inférieur ou égal à n.
Exemple 17. d`3(0) de ex
√ 1+x
. Au voisinage de 0, ex=1+1
2x2+1 6x3+o
(0)(x3), 1
√
1+x =(1+x)−12 =1−1 2x2+3
8x2− 5 16x3+o
(0)(x3)
24.6 Applications des développements limités. 13
donc ex
√
1+x =(1+1 2x2+1
6x3+o
(0)(x3))(1−1 2x2+3
8x2− 5 16x3+o
(0)(x3))
=1+1 2x+(1
2 +3 8−1
2)x2+(1 6 − 5
16 +3 8 −1
4)x3+ o
(0)(x3)
=1+1 2x+3
8x2− 5 48x3+ o
(0)(x3) Exercice13. d`5(0)desinxcos(2x)
Exercice14. d`5(0)detanx
Exercice15. d`4(0)decosxln(2+x)
Exercice16. d`3(0)de(1+x3)√ 2−x
Exercice17.Déterminerlim
x→0
x(1+cosx)−2 tanx 2x−sinxtanx .
24.6 Applications des développements limités.
24.6.1 Etude de limites
Exemple 18. Etudier la limite lim
x→0
(1+x)1x −e
x .
On a (1+x)1x =eln(1+x)x et au voisinage de 0, ln(1+x)=x−x2
2 +o
(0)(x) doncln(1+x)
x =1− x 2 +o
(0)(x) donc
(1+x)1x −e=e(e
−2x+o
(0)(x)
−1) Au voisinage de 0, on a eu−1=u+ o
(0)(u) donc par substitution, (1+x)1x −e=e(−x
2 +o
(0)(x)) ce qui conduit à
(1+x)1x −e
x =−e
2 +o
(0)(1)
et donc
limx→0
(1+x)1x −e
x =−e
2 Exemple 19. Etude de la limite deun = e− 1+1
n
!n!
√ n2+2−√
n2+1
Exercice18.Etude de la limite deun= cos
nπ 3n+1
+sin nπ
6n+1 n
Exercice19.Etude de la limite deun= 3n
√ 2−2n
√ 3n
24.6.2 Etude d’une fonction à une borne exclue de son domaine de définition
Soit f :I −→R,x0une borne deIn’appartenant pas àIetCla courbe représentative de f dans un repère (O,~i, ~j)
Règle 1: si f ∈d`1(x0) : f(x)=a0+a1(x−x0)+ o
(x0)(x−x0) alors f se prolonge par continuité en x0 en posant f(x0)=a0. La fonction ainsi prolongée est alors dérivable en x0 et f0(x0)=a1. La courbeCadmet unetangente en (x0,f(x0))dont l’équation esty=a0+a1(x−x0).
Exemple 20. Etude de f : x7→ 2xlnx
x−1 au voisinage de 1. La fonction f : x 7→ 2xlnx x−1 est définie, continue et dérivable sur ]0,1[∪]1,+∞[. Etudions f au voisinage de 1. Posons x=1+h: lorsqueh→0,
f(1+h)=2(1+h) ln(1+h) h
=2
h(1+h)(h−h2 2 +h3
3 +o
(0)(h3))
=(1+h)(1−h 2+h2
3 + o
(0)(h2))
=1+h 2−h2
6 + o
(0)(h2) donc au voisinage de 1, f(x)=1+1
2(x−1)−1
6(x−1)2+ o
(0)((x−1)2). La fonction f se prolonge donc en une fonction continue et dérivable en 1 en posant f(1)=1.
Règle 2: si f ∈d`n(x0) avecn≥2 :
f(x)=a0+a1(x−x0)+ap(x−x0)p+. . .+an(x−x0)n+ o
(x0)(x−x0)
où p = min{k ∈ ~2,n, ak , 0}alorslocalement la position de la courbeCpar rapport à sa tangenteen (x0,a0) est donnée parle signe de ap(x−x0)p.
Exemple 21. Dans l’exemple précédent, la tangente à la courbe de f en (1,1) a pour équa- tiony=1+1
2(x−1) et elle est au dessus de la courbe def au voisinage du point (1,1).
24.6 Applications des développements limités. 15
Exemple 22. Etudions f : x7→ln(tanx) au voisinage deπ
4. La fonction f : x7→ln(tanx) est continue et dérivable sur ]0,π2[. Posonsx=π
4 +h: lorsqueh→0, tan(π
4+h)=1+tanh 1−tanh
= 2 1−tanh−1
= 2
1−h−h33+o
(0)(h3)
−1
=2(1+h+h3
3 +h2+h3+o
(0)(h3))−1
=1+2h+2h2+8h3 3 +o
(0)(h3) ln(tan(π
4+h))=(2h+2h2+8h3 3 )−1
2(4h2+8h3)+1
3(8h3)+o
(0)(h3)
=2h+4h3 3 + o
(0)(h3) donc au voisinage de π
4,
ln(tanx)=2(x−π 4)+4
3(x−π 4)3+o
(0)((x−π 4)3) La tangente à la courbe de f en (π4,0) a pour équationy=2(x−π
4) et elle est au dessous de la courbe de f à gauche du point (π4,0) et au dessus à droite. La courbe traverse donc sa tangente en ce point : c’est un point d’inflexion.
Règle 3: on suppose x0 = +∞(oux0=−∞). Si f admet un développement limité généralisé de la forme
f(x)=ax+b+ap
xp + o
(+∞)
1 xp
!
avecap , 0alors la droite d’équationy= ax+best diteasymptote à la courbeCen+∞.La positiondeCpar rapport à l’asymptote est alors donnée parle signe de ap
xp. Exemple 23. Etude def(x)=xArctan
x x−1
surR\{1}. On a lim
x→1+f(x)= π 2et lim
x→1− f(x)=
−π
2 donc f ne se prolonge pas en 1. Quand x → +∞, f(x) ∼ π
4xet de même en −∞.
Cherchons un développement généralisé de f en+∞. Quandx→0, f(1
x)=1
xArctan 1 1−x
!
Comme
d
dxArctan 1 1−x
!
= 1
2−2x+x2 et qu’au voisinage de 0
1
2−2x+x2 = 1
2(1+(x− x2
2)+(x2)+o
(0)(x2))=1 2 +1
2x+1 4x2+o
(0)(x2)) on a par "primitivation"
Arctan 1 1−x
!
= π 4 +1
2x+1 2
x2 2 +1
4 x3
3 +o
(0)(x3))
donc
f(1 x)= π
4x+1 2+1
2 x 2 +1
4 x2
3 +o
(0)(x2)) donc au voisinage de+∞
f(y)= π 4y+1
2+ 1 4y+ 1
12y2 + o
(+∞)(1 y2) La droite d’équationy= π
4x+1
2est donc asymptote à la courbe de f en+∞et en−∞et la courbe de fest au dessus de cette asymptote au voisinage de+∞et au dessous au voisinage de−∞.
Exercice20.Complétez l’étude locale de f en1.
24.7 Exercices
Comparaison locale
Exercice21. Trouver une suite simple équivalente à (a) un= √
n2−n+1 (b) un=
q
9+1n−3 q
4−n12−2 (c) un=ln(n2+1)−2 lnn (d) un= +
∞
X
k=n+1
1
xn où|x|>1 (e) un=
n
X
k=1
(−1)kk
(f) un=n
k
pourkfixe.
(g) un =n2(ln(n+1)−lnn)
√ n2+1 (h) un =(n+1) ln(n+1)
√
n3−2n+1 (i) un=
n
X
k=1
2k (j) un=
n
X
k=1
√ k
Exercice22. Trouver un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du pointx0indiqué :
(a) ex−e−xpourx0=0 (b) x√
1+x−xpourx0=0 (c) ln(2 sinx) pourx0=π6 (d) 1−cos(2x)
ln(1+2 sinx)pourx0=0 (e)
√
6+x−3 pourx0=3
(f) (2x2+3x−1)e1x pourx0= +∞ (g)
q 1−
√
1−x2pourx0=0
(h) x
ee−x−1 pourx0= +∞ (i) ln(1+x2)−xsinx
2 pourx0=0 (j) x+lnxpourx0=0
24.7 Exercices 17
Exercice23. Montrer que lan-eme racine positivexnde l’équation tanx= x3 x2−1 pos- sède le développement (généralisé) suivant :
xn=nπ+π 2 − 1
nπ+ 1
2n2π+o 1 n2
!
Exercice24. Utiliser les équivalents pour calculer les limites suivantes (a) lim
n→+∞ 1+ 1 n2
!n
(b) lim
n→+∞(2√n x−1)n (c) lim
n→+∞
n2(1−cos(1n))Arctan(2n) tan1n
(d) lim
n→+∞
n−
√ n2−1 n+ √
n2+1 (e) lim
n→+∞
n n+x
n
(f) lim
x→1
x2−1 lnx (g) lim
x→π4
ln(tanx) sinx−cosx (h) lim
x→12
ln(2x)
√ 1−4x2 (i) lim
x→+∞(1+x2)(ecos1x −e) (j) lim
x→π3
1−e−sin(3x) 1−2 cosx
Exercice25. Montrer que
n
X
k=1
1 k ∼lnn.
Formules de Taylor
Exercice 26. Démontrer en utilisant une formule de Taylor avec reste intégral, les in- égalités suivantes :
(a) ∀x∈R, ex≥1+x+x2 2 +x3
6 (b) ∀x≥0, x−x2
2 ≤ln(1+x)≤x.
Exercice27. Montrer que pour tout réelxpositif,
ln(1+x)−
n
X
k=1
(−1)k−1xk k ≤ xn+1
n+1. En déduire que la sérieX
k≥1
(−1)k−1
k converge et donner sa somme.
Exercice28. Soit f :R−→Rune fonction de classeC2. Montrer que, pour toutx0∈R lim
h→0
f(x0+h)+f(x0−h)−2f(x0)
h2 = f00(x0).
Exercice29. Soitf ∈ C2(R,R) telle que f(0)=0 et (un)n∈Nune suite de réels telle que les sériesX
n≥0
unetX
n≥0
u2nconvergent.
Montrer que la sérieX
n≥0
f(un) converge.
Exercice30. Soit f une application de classeC2 deRdansR. On suppose que f et f00 sont bornées surRet on noteM0=sup
x∈R
f(x),M2 =sup
x∈R
f’’(x).
(1) Montrer que pour toutxréel et pour touth>0, on a :|f(x+h)−f(x)−h f0(x)| ≤ M2h2
2 et|f(x−h)− f(x)+h f0(x)| ≤ M2h2
2 . En déduire que pour tout xréel et pour touth>0 :|f0(x)| ≤ M0
h +M2h 2 (2) Montrer que f0est bornée surRet que : sup
x∈R
|f0(x)| ≤ √ 2M0M2
Développements limités
Exercice31. Développement limité à l’ordre 4 en 0 des fonctions suivantes x7→ e−x2
1−x2, x7→ ln(1+x2)
x , x7→ xtanx 1+x
Exercice32. En utilisant les développements limités, déterminer un équivalent des ex- pressions suivantes au voisinage dex0:
(a) sinx−ln(1+x)−x22
x3 pour x0=0 (b) x2+ln(1−x2)
x3 pour x0=0 (c) sin(x3)
ex+e−x−2 pour x0=0 (d) x3
3x2−4 − x2 3x+2 −2
9 pour x0 = +∞
(e) x2+ln(1−x2)
ex2−e−x2 pour x0=0 (f) lnx+cos(πx2) pour x0=1 (g) tan2x
1−cos(2x) pour x0=π (h) x−x2ln(1+1x) pour x0= +∞ (i) e−x+x−cosx pour x0=0
Exercice33. Etudier la limite de la fonction (a) x7→ 1
x− 1
ln(1+x) enx0=0 (b) x7→ 1
tanx−1
x en x0=0 (c) x7→
√
x+6−3
√
x+1−2 en x0=3 (d) x7→ xln(cosx)
√
4+x3−2
en x0=0
(e) x7→ sin(2x)−2 sinx x13ln(1−x23)
en x0=0 (f) x7→ tanx−1
2 sin2x−1 en x0=π4 (g) x7→ sin(2x)+cosx
1+sin2x+cosx enx0=π (h) x7→
√e+x−
√ 2e
lnx−1 en x0=e
24.7 Exercices 19
Exercice34. En utilisant un développement limité de ln(1+x) en 0, étudier la conver- gence de la série de terme généralun= 1− 1
√ n
!n
.
Exercice 35. En utilisant un développement limité de
√
1+xen 0, étudier la conver- gence de la série de terme général un = √
n4+2n−
√
n4+anoùaest un paramètre réel.
Exercice36. Déterminer des réelsaetbpour que lim
x→0
1+x2
1+x −ax−b
!
=0
Exercice37. La fonction définie surRpar f(x) =ln ex−1 x
!
pour x,0 et f(0) =0 est-elle dérivable en 0 ?
Applications diverses.
Exercice 38. On pose, pour tout entiern supérieur ou égal à 1 :vn =
n
X
k=1
1
k etwn = vn−ln(n).
(a) Montrer que pour toutn∈N∗, wn−wn+1≥0.
(b) Déterminer le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de ln(1+x)− x
1+x
(c) En déduire que, au voisinage de+∞:wn−wn+1= 1
2n2 +o 1 n2
! . (d) Montrer que la série de terme généralwn−wn+1est convergente.
(e) En déduire que la suite (wn) converge.
Exercice39. Soitf la fonction définie sur [0,1] par f(x)=xe1−x. (a) Montrer que f est indéfiniment dérivable sur [0,1].
(b) Justifier l’existence d’un développement limité pour f etf0au voisinage de 1 à tout ordre. En utilisant les développements limités, déterminer un équivalent de 1−f(x) et f0(x) au voisinage de 1.
(c) Montrer que f réalise une bijection de [0,1] sur lui-même.
(d) Montrer que f−1(y) est équivalent à p
2(1−y) au voisinage de 1.
Exercice40. Soit f une fonction de classeC2 sur l’intervalle [−1,1]. On suppose que f(0)=0 et qu’il existeA>0 tel que
∀x∈[−1,1], |f00(x)| ≤A.
On définit une suite (un) par la formuleun =
n
X
k=1
f k n2
!
(1) A l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer qu’il existeM>0 tel que
∀x∈[−1,1], |f(x)−f0(0)x| ≤M x2. (2) Pour toutn∈N∗,on posesn=un−f0(0)
n
X
k=1
k
n2. Montrer quesn=un−f0(0)n+1 2n . (3) (a) Montrer que pour toutn∈N∗, |sn| ≤
n
X
k=1
f k
n2
!
−f0(0)k n2 . (b) Montrer que pour toutn∈N∗, |sn| ≤M(n+1)(2n+1)
6n3 (4) Montrer que la suite (un) converge et déterminer sa limite.
Exercice41 (Règle de Raabe-Duhamel). On considère une suite (un)n∈Nstrictement po- sitive telle que pour toutn∈N∗
un+1
un =1−α n + β
n2
oùα, βsont deux réels. Pour toutn≥1, on posean=nαunetγn=an+1
an −1.
(1) Montrer que pour toutn∈N∗, an=a1 n−1
Y
k=1
(1+γk).
(2) (a) Montrer que la sérieX
k≥1
ln(1+γk) converge.
(b) En déduire que la suite (ln(an))n≥1converge.
(c) En déduire qu’il existeL>0 tel queun∼ L nα (3) Conclure quant à la nature de la sérieX
n≥1
un.
Exercice42. Soit (un)n∈N∗la suite définie paru1=2 et la relation de récurrence un+1=
√ 2un
r 1+q
1−(u2nn)2 (1) Montrer que :∀n∈N∗,un=2nsin π
2n . (2) Déterminer la limite de la suite (un).
(3) Montrer que pour toutn∈N∗,on a :|π−un| ≤ π3 6×4n.
24.7 Exercices 21
(4) Soit p ∈Nfixé. Montrer que lorsquentend vers+∞,unadmet le développement suivant :
un=π− π3
6×4n +· · ·+(−1)p π2p+1
(2p+1)!×4pn +o 1 4pn
(5) On définit une nouvelle suite (vn) par :∀n∈N∗,vn= 1
3(−un+4un+1).
Montrer que la suite (vn) converge versπet qu’au voisinage de+∞, on a : (vn−π)=o(un−π).
(6) Donner un équivalent de (vn−π) lorsquentend vers+∞.
Exercice43 (Etude asymptotique des solutions de l’équation sinxln(x)=1.). Soitf la fonction définie sur ]0,+∞[ par f(x)=sinxlnx. On noteEl’équation :
(E) sinxln(x)=1.
(1) Montrer que pour toutn ≥1, il existe une unique solutionxn à l’équationEdans l’intervalle
2nπ, 2nπ+π 2
(2) Etude de l’équation dans l’intervalle
2nπ+π
2, (2n+1)π
pourn∈N∗. (a) Montrer que pour tout x ∈
2nπ+π
2, (2n+1)π
, f0(x) =
cosx
x (xlnx+tanx) (b) Soitgla fonction définie sur
2nπ+π
2, (2n+1)π
parg(x)=xlnx+tanx. En étudiant les variations deg, établir le signe de f0.
(c) En déduire les variations de fsur
2nπ+π
2, (2n+1)π
et montrer qu’il existe une unique solutionynà l’équationEdans l’intervalle
2nπ+π
2, (2n+1)π . (3) Déterminer des équivalents simples dexnetyn. Montrer que lnxn∼lnn.
(4) (a) Pour toutn∈N∗, on poseun=xn−2nπ.Montrer queun→0 puis queun∼ 1 lnn. (b) En déduire alors quexn =2nπ+ 1
lnn +o( 1 lnn).
(c) Montrer queyn=2nπ+π− 1
lnn+o( 1 lnn).
