Fiche d'exercices n

Licence 1 20082009

Mathématiques EM11

Fiche d'exercices n

3

Développements limités et applications

Notation. Dans cette feuille la notation DL_n(a) signie développement limité à l'ordrenena.

[Utilisation du formulaire ]

Exercice 1. Déterminer leDL3(0)des fonctions suivantes : f(x) =√

1 + 2x, g(x) = 1

√1−x, h(x) = x

1 +x², i(x) = cos(x), j(x) = sin(2x²).

Exercice 2. Donner leDL_n(0)des fonctions suivantes :

f(x) =e^(x2), g(x) = 1

√1−x².

Exercice 3. Montrer qu'il existe des réelsa,b,c,det une fonctionϕ: ]1,+∞[→Runiques tels que x³+ 1

x²−1 =ax+b+ c x+ d

x² +ϕ(x)

x² et lim

x→+∞ϕ(x) = 0.

Donner la valeur dea,b,c etd.

Exercice 4. Examiner la parité de la fonctionf dénie pour|x|<1 par f(x) = Log1 +x

1−x et calculer leDLn(0)def pour toutn∈N.

[Produit ]

Exercice 5. Calculer lesDL₃(0)de f :x7→ e^x

√1 +x, g:x7→cosxsinx, h:x7→e^−xcos(3x), i:x7→Log(1 +x) Log(1−x).

Exercice 6. Calculer lesDL5(0)de

f :x7→ch(x) sin(x), g:x7→p

1−x³ p³

1 +x², h:x7→ 1 +x

1−x, i:x7→ sinx expx.

[Ailleurs qu'en0 ]

Exercice 7. Calculer, lorsqu'ils existent : a) les DL3(1) de(Logx)/x²et e^x√

x, b) lesDL₂(¹₄)deLogxetcos(πx), c) leDL₃(3)de√

x−3.

Exercice 8. Calculer leDL₄(1)des fonctions f :x7→√

x Logx et g:x7→ sin(πx) πx .

[Composition, inverse ]

Exercice 9. On se propose de calculer leDL₄(0)def :x7→(1 +x)^x.

a) Eectuer le DL4(0)deu(x) =xLog(1 +x)et vérier quelim_x→0u(x) = 0. b) Calculer leDL4(0)deu(x)²,u(x)³et u(x)⁴.

c) Déduire de ce qui précède le DL4(0)def(x) =e^u(x). d) Calculer leDL₃(0)deg(x) = (1 +x)^1x.

Exercice 10. Calculer lesDL4(0)de

f :x7→e^(ex), g:x7→Log(cosx), h:x7→p

1−sin(x).

Exercice 11. Calculer leDL4(0)def :x7→ 1

cosx. On utilisera le DL2(0) de _1−u¹ . Quel est leDL5(0)def?

[Taylor-Young, dérivation ]

Exercice 12. Calculer par récurrence la dérivéen^ièmedef :x7→ 1

1−x, dénie sur R\ {1}. En déduire celles deg:x7→ 1

1 +x puish:x7→ 1 1−x². Retrouver le développement de Taylor def à tout ordre.

Exercice 13. Calculer leDL4(0)def :x7→p cos(x).

En déduire la valeur def⁽⁴⁾(0). Essayer de retrouver cette valeur en calculant f⁽⁴⁾(x)pour toutx. Exercice 14. Soitf :R→Rdénie parf(0) = 1 etf(x) = cosx+x³sin ¹_xpour x6= 0.

a) Quel théorème permet de déduire l'existence de DLn de l'existence de dérivéesn^ièmes?

b) Montrer que si une fonction admet un développement limité d'ordre 1 au voisinage de 0, alors elle est dérivable en 0.

c) Montrer quef admet un développement limité d'ordre 2au voisinage de0, mais n'est pas dérivable deux fois en0.

Exercice 15. On posef(x) =x²cos _x¹pour x6= 0.

a) Montrer que l'on peut prolongerf par continuité en0 et quef est alors dérivable surRentier.

b) Montrer quef admet unDL1(0), mais quef⁰ n'admet pas deDL0(0). [Limites ]

Exercice 16. Calculer les limites en0 des fonctions dénies comme suit : f(x) = 2x³+x⁴

3x³+x⁵, g(x) = x⁴+x⁵+x⁶

x²−2x³+ 3x⁴, h(x) = x(1 + cosx)−2 tanx 2x−sinx−tanx , i(x) = 3^x−2^x

x , j(x) =x−sinx

(tanx)³, k(x) = e^sinx−cosx cos(sinx)−e^x, l(x) = ln(1 + tanx)−sinx

tanx−sinx , m(x) = ln(cos(πx))

ln(cos(2πx)), n(x) = shx+ sinx−2x x(chx+ cosx−2). Exercice 17. Déterminer les limites suivantes :

l= lim

x→1

lnx

x³−1, m= lim

x→^π₄

cosx−sinx

sin(x−^π₄) , n= lim

x→1

e^x−e

x³+x²−x−1, o= lim

x→2

√2 +x−^x₄ −³₂ (x−2)² .

Exercice 18. Déterminer la limite def(x) = 2

(cosx)²+ 1

Log(sinx) quand xtend vers π 2. On réduira au même dénominateur après avoir poséu=x−^π₂.

Exercice 19.

a) Calculer lim

x→0

1

(sinx)² − 1 x².

b) Soitf une fonction impaire de classeC³au voisinage de0. On suppose quef⁰(0) = 1et on posef⁽³⁾(0) =a. Calculer en fonction deala limite lim

x→0

1 f(x)² − 1

x². c) Calculer lim

x→0

1

(tanx)² − 1 x². Exercice 20. Déterminer lim

x→0

tan(sinx)−sin(tanx)

x⁵ .

[Tangentes, asymptotes ]

Exercice 21. On considère les fonctions suivantes : f1(x) =√

1 +x−√

1−x, f2(x) = 1 +x+x² 1−2x+ 3x². a) Calculerf_i⁰(0)pour i= 1,2.

En déduire l'équationy=ax+bde la tangente au graphe defi au point d'abscisse0. b) Écrire leDL3(0)def1 et leDL2(0)def2. Retrouver le résultat de la question précédente.

Quelle méthode préférez-vous ?

c) En utilisant le résultat de la question b, étudier le signe def(x)−(ax+b)pourxproche de0. Quelle est la position du graphe def par rapport à sa tangente au voisinage du point d'abscisse0? Exercice 22. On dénit trois fonctionsf1,f2,f3 en posant

f1(x) =x cos1

x+ sin1 x

, f2(x) =

2x+ 3 + 1 x

e^1x, f3(x) =p⁴

16x⁴+x³+ 1.

a) Trouver trois fonctionsg_i,i= 1,2,3, telles quef_i(x) =xg_i(¹_x). b) Donner le développement limité à trois termes en0des fonctions gi. c) Pour chaque fonctionfi, trouver des réels a,bet ctels que

fi(x)−(ax+b) = 1

x(c+ϕ(x)),

avec lim_x→+∞ϕ(x) = 0. Montrer que le graphe de f_i admet une asymptote en +∞ dont on donnera l'équation. Quelle est la position du graphe par rapport à cette asymptote ?

Exercice 23. SoitC⊂R² le cercle de centre(4,3)et de rayon5, etC1 l'intersection deC avec le demi-plan d'équationy≤3. On poseg(x) = 3−√

9 + 8x−x². On note Pa la parabole d'équation y=−⁴₃x+ax². a) Faire une gure.

b) Montrer queC₁a pour équationy=g(x).

c) Déterminer le développement limité deg à l'ordre2 au voisinage de0. d) Quelle est l'équation de la tangente àC en(0,0)?

e) Comparer les positions relatives au voisinage de(0,0)deC et des trois parabolesP_1/6,P_1/2 et P_25/54. [Études de fonction ]

Exercice 24. On se propose de tracer le graphe def :x7→ _1+x^2x2. a) Étudier la parité et les variations de f.

b) Placer les tangentes au graphe def aux points d'abscisses0,1,√ 3,2.

c) Étudier la position du graphe par rapport à ses tangentes aux points ci-dessus.

d) Tracer l'allure du graphe def.

Exercice 25. Étudier la fonctionf :x7→ x²

√x²+ 1−2 : domaine de dénition, parité, tableau de variations, branches innies.