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Submitted on 14 Jul 2006
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Quantifiées
Igor Stephan
To cite this version:
Igor Stephan. Propagation Logique pour les Formules Booléennes Quantifiées. Deuxièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC06), 2006, Nîmes - Ecole des Mines d’Alès / France. �inria-00085793�
Propagation logique pour les formules
booléennes quantiées
Igor Stéphan
LERIA, Université d'Angers, 2Boulevard Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01
igor.stephaninfo.univ-an gers .fr
Résumé
Cetartileproposeunnouvelensemblederèglesde
propagationpourlesformulesbooléennesquantiéesba-
séessurleslittérauxetgénéréesautomatiquementgrâe
auxertiatspourlesformulesbooléennesquantiées.
Cetensemblederèglesdepropagationestomparéave
l'ensemblede règles de propagation déjàproposé pour
les ontraintesbooléennes quantiées, lesystème QU-
BOSetl'ensemblederèglesdelaméthodedeStålmark.
NousesquissonsuneimplantationenlelangageCHR.
Abstrat
Thispaperproposesanewsetofpropagationrules
forQuantied Boolean Formulaebased onliterals and
generated automatially thanks to Quantied Boolean
Formulae ertiates. This set of propagation rules is
omparedwiththealreadyproposedquantiedBoolean
propagation rulesystem, QUBOSsystemandStålmar-
k'smethod.WealsooutlineanimplementationinCHR
language.
1 Introdution
Leproblèmedevaliditépourlesformulesbooléennes
quantiées est une généralisation duproblème desa-
tisabilité pour les formules booléennes. Tandis que
déiderdelasatisabilitédesformulesbooléennesest
NP-omplet, déiderde la validité des formules boo-
léennesquantiéesestPSPACE-omplet.C'estleprix
àpayerpourune représentationplusonisepour de
très nombreuses lasses de formules. Une multitude
d'importantsproblèmesdedéisionparmideshamps
très diversontdestransformations polynomiales vers
leproblèmedevaliditédesformulesbooléennesquanti-
ées.C'estpourquoi,l'étudedelavaliditédesformules
booléennesquantiéesestimportante.
Étant donné qu'une formule booléenne quantiée
peutêtreramenéeàuneformulebooléenne(nonquan-
tiée),lapremièresolutionsembleêtrederéaliserette
transformationpuisd'appliquerunalgorithmedetest
desatisabilité.L'inonvénientmajeurd'unetelleap-
prohe est la taille de la formule booléenne générée
qui est danslepiredes asexponentielleparrapport
à la elle de laformule booléenne quantiéeinitiale.
Laplupart destravauxréentsportantsur lesproé-
dures de déision pour la validité des formules boo-
léennesquantiées[22,16, 13,19℄sontdesextensions
delaproéduredereherheditedeDavis-Putnam[14℄
pourle test de satisabilité des formulesbooléennes.
D'autresproéduresdedéisionsontbaséessoitsurle
prinipederésolution[23℄(ommelaQ-resolution[11℄
qui étendle prinipe de résolution pourles formules
booléennes [14℄ aux formules booléennes quantiées
ou bien Quantor [10℄ qui ombine eaement la Q-
resolution ave l'expansion), soit sur des algorithmes
d'élimination de quantiateurs [20℄, soit enore sur
desapprohesombinantlesymboliqueetl'utilisation
desolveursSAT(parexemple,àbase dediagrammes
binaires de déision [6℄ ou de skolémisation [8℄). La
plupartdessystèmespréédentsontoptépouruneré-
solution à partir de formules booléennes quantiées
sous forme prénexe et normaleonjontive. Dans [7℄
estproposéelesystèmeQUBOS:uneapproheparré-
dution dela portéedes quantiateurs,propagation
et élimination desquantiateurssur laQBFinitiale
(qui n'a été mise ni en forme prénexe, ni en forme
normaleonjontive);etteméthodeestàrapproher
de elle explorée dans [21℄ qui applique des transfor-
mations qui préserventla validité de la formule. En-
n, dans [12℄ est proposée une approhe basée sur
la propagation de ontraintes booléennes quantiées
qui étend la onsistane d'ar aux ontraintes quan-
tiées. Il existe aussi des algorithmes eaes pour
desfragmentssyntaxiques del'ensembledesformules
booléennesquantiées.Parexemple, l'algorithmepo-
lynomialpour2CNF-QBF[2℄oudesheuristiquespour
327
lesformulesquantiéesHornrenommables[18℄.
Dans[5℄,uneméthodologieestproposéepourons-
truireunensemblede règlesdepropagationpourdes
problèmesdesatisfationdeontraintesbaséssurdes
ontraintes prédénies et données expliitement. La
propagation de ontraintes booléennes (f. [4℄ pour
unhistoriqueonis)etlapropagationdeontraintes
quantiées booléennes [12℄ vérient ette dénition.
Engénéral,lessystèmesdepropagationdeontraintes
s'appuientimpliitementsurladéompositionparl'in-
trodution de variables existentiellement quantiées.
Cettedéomposition ne permet pasde apturer l'en-
sembledes simpliationspossiblesdues auxproprié-
tés des onneteurs dans le treillis booléen. Les dé-
nitions et propriétés dérites dans es artiles sont
entermededomaineetd'ar-onsistane(quantiée).
Nousnousintéressonsàesrésultatsplusentermede
logique propositionnelle, d'équivalene logique et de
propagationparsubstitutionommedanslaméthode
de Stålmark[24℄. C'est pourquoi, nous parlerons de
propagation logique plutt que de propagation boo-
léennepourmarquerettedistintion.
Dans [9℄est introduite la notionde ertiat pour
uneformulebooléennequantiée.Unertiatestune
appliation extraite d'une formule booléenne quanti-
éequipermetd'entesteroud'engénérerlesmodèles.
Nousmontrerons que desertiats peuvent êtreex-
traitesautomatiquementlesrèglespourlapropagation
logiquepourlesformulesbooléennesquantiées.
L'artileest organiséainsi:après des préliminaires
syntaxiquesetsémantiquessurlesformulesbooléennes
quantiéesensetion2,nousdéroulonsensetion3un
exemplepourdonnerl'intuitiondesrésultatsquenous
dérivonsensetion4:unensemblederèglesdepro-
pagationlogiquebasées surleslittéraux pourlesfor-
mulesbooléennesquantiées.Pourefaire,nousintro-
duisonsd'abordladéompositionparintrodutionde
littéraux quantiées existentiellement; puis nous dé-
rivonslagénération automatique,àpartirdes erti-
ats,desrèglesdepropagationlogiquebaséessurles
littéraux;ennnousproposonsunalgorithmeomplet
inluantetensemblederèglesets'appuyantsurlasé-
mantiquedesquantiateurs. Danslasetion5,nous
omparonsnotreapproheavelesystèmedepropaga-
tionbooléenne quantiéedérit dans [12℄, le système
QUBOS [7℄et laméthode deStålmark [24℄. La se-
tion6dérit sommairementuneimplantationdansle
langage CHR sous Prolog. Enn, nous onluons en
setion7paruneprésentationdenostravauxfuturs.
2 Préliminaires
Formules booléennes quantiées. Les valeursboo-
léennes sont notées v et f. L'ensemble des symboles
(ou variables) propositionnel(le)s est noté PV. Les
symboles ? et > sont les onstantes booléennes. Le
symbole ^ est utilisé pour la onjontion, _ pour la
disjontion, :pourlanégation,! pourl'impliation
et $ pour l'équivalene. Un littéral est une variable
booléenneou lanégationde elle-i. Si lest unlitté-
ral alors savariable sous-jaente est notée jlj et son
omplémentaire l (i.e. jvj = v, j:vj = v, v = :v et
:v = v). La satisfation propositionnelle est notée
j= et l'équivalene logique . Le symbole 9 est uti-
lisé pour la quantiation existentielle et 8 pour la
quantiation universelle (q est utilisé pour noter un
quantiateur quelonque). Toute formule booléenne
est aussi une formulebooléenne quantiée(QBF). Si
F estune QBF et x est une variablebooléenne alors
(9x F)et (8x F) sontdes QBF.Paronvention, des
quantiateursdiérentslientdesvariablesdiérentes.
Siunevariablexn'estpasdanslaportéed'unquanti-
ateurqx alorselleestlibre. L'ensembledesvariables
libres d'une QBF F est noté VL(F). Si VL(F) = ;
alorslaQBFF estlose.Nousdénissonslasubstitu-
tiondexparF dansG,notéeG[x F℄,ommeétant
laformule obtenuedeGen remplaçanttoutesleso-
urrenes delavariablepropositionnellex parla for-
muleF.Cettesubstitutionest étendueauxlittéraux:
si l =:x alors G[l F℄ =G[x :F℄ . Un lieur est
une haînede aratère q
1 x
1 :::q
n x
n ave x
1
;:::;x
n
desvariablesdistintesetq
1 :::q
n
desquantiateurs.
Nousérivonsqx
1 :::x
n
pourune quelonquepermu-
tationdeqx
1 :::qx
n
.Une QBFQF est enformepré-
nexesiF estuneformulebooléenne(appeléematrie)
et sous forme normale onjontive si F est une for-
mulebooléenneenformenormaleonjontive(i.e.une
onjontiondedisjontionsdelittéraux).
Sémantiquedes QBF. Lasémantiquedessymboles
booléens est dénies de manière habituelle. En par-
tiulier, de la struture detreillis booléen un ertain
nombresdesimpliationspeuventêtreappliquées(nous
nousintéressonspluspartiulièrementàladisjontion
parlasuite,maistouslesrésultatssonttransposables
pourlesautresonneteurs):
(1) (?_?)? (2) (?_>)>
(3) (>_?)> (4) (>_>)>
(5) (?_y)y (6) (>_y)>
(7) (x_ ?)x (8) (x_ >)>
(9) (x_x)x (10) (x_x)>
Ces règles peuvent êtreappliquées itérativement jus-
qu'à e qu'un (unique) point xe soit atteint. La sé-
mantiquedesquantiateursestlasuivante:pourtoute
variablebooléenney ettouteQBFF,
(9yF)=(F[y >℄_F[y ?℄)
et
(8yF)=(F[y >℄^F[y ?℄):
UneQBFestvalidesiF>.Siyestunevariablequan-
tiéeexistentiellementpréédéeparlesvariablesquan-
tiéesuniversellementx
1
;:::;x
n
,nousnotonsy^
x1;:::;xn
safontiondeSkolemdefv;fg n
dansfv ;fg.Un mo-
dèlepouruneQBFF est uneséquenesdefontions
de Skolem qui satisfait la formule 1
. Par exemple, la
QBF 9y9x8z((x_y)$z) n'est pas valide tandis que
8z9y9x((x_y)$z) l'est ave pour séquene possible
defontionsdeSkolem:y^
z
(v)=v,y^
z
(f)=f,x^
z (v)=
f et x^
z
(f) = f. Dans [26, 25℄, une nouvelle relation
d'équivalenesurlesQBF, notée
=, aétéintroduite;
elleportesurlapréservationdel'ensembledesmodèles
(et non plusseulement sur lavalidité). Par exemple,
8z9y9x((x_y)$z)>mais8z9y9x( (x_y)$z)6
=
>.
Nous ne nous intéresserons par lasuite qu'aux QBF
loses. Une QBF est valide si et seulements'il existe
une séquenede fontionsdeSkolemqui satisfassela
formule.Selonlesthéorèmes:
9x9yF9y9xF;8x8y8y8xF;9x8yF 68y9xF (1)
pouruneQBFF quelonque,laQBFinduitunordre
surleslassesd'équivaleneonstituéesdesquantia-
teursidentiquesontigusquenousnoterons.Toute
QBF auneQBFsousforme prénexequi luiest équi-
valente.
Certiat pour les QBF. Dans [9℄ aété introduite
lanotiondeertiatpourune QBFlosesousforme
prénexe (notion dénie simultanément,sous unautre
nom, dans [25℄). Un ertiat fx 7! ( +
x
;
x )g
x2V
9
estuneappliationdel'ensembledesvariablesexisten-
tiellesV
9
d'uneQBFversdesouplesdeformulesboo-
léennes ( +
x
;
x
) onstituées uniquement sur les va-
riablesquipréèdentlavariabledanslelieur.Leerti-
atpeutêtreextraitd'uneQBFprénexeQF parune
extension de l'algorithme QMRES [20℄ d'élimination
dequantiateurs.D'unertiatfx7!( +
x
;
x )g
x2V9
peutêtreextraiteuneQBF
Q
^
x2V9 (x_
+
x
) ^(:x_
x )
Cette QBF est équivalente (dans le sens de la pré-
servation la validité) à laQBF QF dontle ertiat
est issu, maisluiest aussiéquivalente danslesensde
la préservation des fontions de Skolem et don des
modèles[25℄.Ceertiatpermetdevérierqu'unen-
semble de fontions de Skolem est un modèle [9℄ ou
1.Cettenotion demodèle dière deelle enlogique las-
sique quionerne lesvariables libresmaisest justiéeparle
fait qu'un modèle (booléen) pour une formule booléenne non
quantiéeorrespondexatementau modèle(QBF)desa l-
tureexistentielle.
d'énumérerunàunlesmodèles[9,25℄. Parexemple,
leertiatassoié àlaQBFF =8z9y9x((x_y)$z)
est l'appliationfy 7! (>;z);x 7!((:z_y);z)g de e
ertiatpeutêtreextraitelaQBF
F 0
=8z9y9x((y_>)^ (:y_z)^(x_( :z_y))^( :x_z))
etteQBFvérielesdeuxpropriétéssuivantes:F 0
F
etF 0
= F.
Déompositionparintrodutiondevariablesquanti-
éesexistentiellement. Ladéompositionparintro-
dution de variables quantiées existentiellement in-
troduitdesvariablesquantiéesexistentiellementpour
faireapparaîtrelesrésultatsintermédiairesdel'appli-
ationdesopérateurs.Cettedéompositionpréservela
validitédelaQBFinitiale.Parexemple,laQBF
8z9y9x( (x_y)$:z)
estdéomposéeenlaQBF
8z9y9x9u9v(((x_y)$u)^ (:z$v)^ ((u$v)$>)):
Selonlesthéorèmessuivants:
(8x(F^G))((8xF)^ (8xG))
(9x(F^G))((9xF)^G)x nonlibredansG
(9x(F^G))j=( (9xF) ^(9xG) )
9
=
; (2)
etteQBFnepeutêtrevalidequesilesQBFsuivantes
lesontaussi:
8z9v( :z$v);9y9x9u((x_y)$u);8u9v((u$v)$>):
Ce prinipe de déomposition est à la base des sys-
tèmes depropagationdeontraintesbooléennes[4,3℄
et de l'algorithme de Stålmark [24℄ pourla véria-
tionduaratère tautologiqued'uneformuleproposi-
tionnelle.Lesrèglesdesimpliationdeviennentalors
desrèglesdesimpliation/propagationparsubstitu-
tion.Dans leadredesQBFlelieurest importantet
estdonrajoutépourdonnerequenousappellerons
un shéma d'équivalene. Les règles de simpliation
évoquées plushaut sontdon rééritespourfaireap-
paraîtrelavariableexistentielleintroduiteainsiquele
lieur. Par exemple, la règle de simpliation (9) est
réérite en le shéma d'équivalene qx9z((x_x)$z)
avepourpropagation [z x℄ .Iil'ordredesquanti-
ateursestapitalpuisquelaQBF9z8x( (x_x)$z)
n'estpasvalide.Dansleshémad'équivalenelelieur
n'estpasunesoushaînedulieurdelaQBFmaispré-
ise l'ordredes quantiateurs; ii qx 9z mais les
lasses d'équivalenes assoiées ne sont pas néessai-
rement ontiguës. Il est à noter que la règle (10) ne
peutpas être une règled'un système de propagation
booléennebaséesurladéompositionparintrodution
devariablespuisqueleslittérauxnesontpasautorisés
danslesrèglesd'untelsystème.
Propagation logique pour les formules booléennes quantifiées 329
3 Un exemple
Nousdéroulonsunexemplepourintroduiredema-
nièreintuitiveles résultatsde lapartie suivante. Cet
exempleest issu de [24℄ mais légèrementtransformé.
SoitlaQBF8p9qF ave
F =(( ((p!p)!p)!(p!q))!( ((p!q)!p)!q))
Au lieu d'appliquer la déomposition par introdu-
tiondevariablesexistentiellementquantiées,nousin-
troduisons des littéraux existentiellement quantiés.
Nousobtenons alorslaQBFéquivalente
8p9qF8p9q9z
1 :::z
7 (
((p_p)$z
5 ) ^((z
5 _p)$z
6 )
^ ((p_q)$z
4 )^( (z
6 _z
4 )$z
7 )
^ ((p_q)$z
1 )^( (z
1 _p)$z
2 )
^ ((z
2 _q)$z
3 )^( (z
7 _z
3 )$>))
LaQBF8p9qF estvalideseulementsi,parlesthéo-
rèmes(2),lesQBF
8p9z
5
((p_p)$z
5 );8p9z
5 9z
6 ((z
5
_p)$z
6 );
8p9q9z
4
( (p_q)$z
4 );9z
6 9z
4 9z
7 ( (z
6 _z
4 )$z
7 );
8p9q9z
1
( (p_q)$z
1 );8p9z
1 9z
2 ( (z
1 _p)$z
2 );
8p9z
2 9z
3 ((z
2 _q)$z
3 );9z
7 9z
3 ( (z
7 _z
3 )$>)
lesontaussi.
Mais ii, la seulevaleur possiblepourz
5
est ?, et
dondansladéompositionde8p9qF aussietainside
suitenouspouvonspropagerlessubstitutions([z
5
?℄)
et[z
6
p℄.Aemomentdualul,plusriennepeut
être déduit, nous devons don appliquer maintenant
lasémantiqueduquantiateuruniversel;nous obte-
nons deux formules (l'une en substituant p par >et
l'autreensubstituantppar?)quidoiventêtretoutes
lesdeuxvalides:
9qF[p >℄9q9z
1 :::9z
4 9z
7 (
((>_q)$z
4
) ^(( >_z
4 )$z
7 )
^ ((>_q)$z
1 ) ^((z
1
_>)$z
2 )
^ ((z
2 _q)$z
3 )^( (z
7 _z
3 )$>))
et
9qF[p ?℄9q9z
1 :::9z
4 9z
7 (
((?_q)$z
4
) ^(( ?_z
4 )$z
7 )
^ ((?_q)$z
1 ) ^((z
1
_?)$z
2 )
^ ((z
2 _q)$z
3 )^( (z
7 _z
3 )$>))
Dans9qF[p >℄ nousavonsles substitutions sui-
vantesqui démontrentque9qF[p >℄estvalide:
[z
2
?℄;[z
3
q℄;[z
4
q℄;[z
1
q℄;[z
7 q℄
De même, dans 9qF[p ?℄ nous avons lessubstitu-
tionssuivantesquidémontrentque9qF[p ?℄estva-
lide:
[z
4
>℄ ;[z
7
?℄;[z
3
>℄;[z
1
?℄;[z
2
>℄:
Nousremarquonsquedanslessubstitutionsquipré-
èdent(pourlesdeuxQBF),lavariableqn'estsubsti-
tuéeparauunevaleur;nouspouvonsimmédiatement
endéduirelavaliditédelaQBF8p8qF('estd'ailleurs
equi estdémontrédans[24℄).
4 Propagation logique basée sur les lit-
téraux pour les QBF
Cettepartiedéritle÷urdenotreontribution:un
ensemble derègles depropagation logique baséessur
leslittérauxpourlesQBF.Nousintroduisonsd'abord
la déomposition par introdution de littéraux exis-
tentiellementquantiés; puisnous dérivonslagéné-
ration automatiquedesrèglesde propagationlogique
baséessurlittérauxpourlesQBFgrâeauxertiats;
ennnous proposons unalgorithmeomplet inluant
etensemblederèglesets'appuyantsurlasémantique
desquantiateurs.
4.1 Déomposition par introdution de littéraux
existentiellementquantiés
Ladéomposition lassiqueparintrodutiondeva-
riablesexistentiellementquantiées pourlesformules
booléennes onserve la négation omme un onne-
teurdelaformulebooléennegénérée.Ainsi,unshéma
d'équivalenetel que x_xz ave [z >℄ pour sub-
stitutionnepeutêtre utilisé.Nousproposonsune dé-
omposition basée sur les littéraux au lieu des va-
riablespourêtreenmesured'introduiredetellesrègles
dans notre système de propagation.Lanégation dis-
paraît dondes onneteursprésentsdans laformule
déomposée.La fontionÆ i-dessous déompose une
formule booléenne parintrodution delittéraux exis-
tentiellement quantiés (Æ est un onneteur binaire
quelonque,lerésultatdesfontionsÆ +
etÆ sontdes
ouples (variable; déomposition),
i
() pour i = 1
(resp.i=2) estlapremièreprojetion(resp.seonde
projetion)duouple).
Æ(F)=
2 (Æ
+
(F))^(
1 (Æ
+
(F))$>)
Æ +
(x)=(x;>);x2PV
Æ (x)=(x;>);x2PV
Æ +
(:A)=Æ (A);
Æ (:A)=Æ +
(A);
Æ +
(AÆB)=(z;
2 (Æ
+
(A))^
2 (Æ
+
(B))
^((
1 (Æ
+
(A))Æ
1 (Æ
+
(B)))$z))
Æ (AÆB)=(z;
2 (Æ
+
(A))^
2 (Æ
+
(B))
^((
1 (Æ
+
(A))Æ
1 (Æ
+
(B)))$z))
SiQF estuneQBFprénexe,D=Æ(F)ladéompo-
sitiondeF etX =FV(QD)l'ensemble desnouvelles
variables existentiellement quantiées introduites par
lafontionÆalorslaQBFQ9XD estlerésultatdela
