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Base littérale et certificat pour les formules booléennes quantifiées
Igor Stéphan, Benoit da Mota
To cite this version:
Igor Stéphan, Benoit da Mota. Base littérale et certificat pour les formules booléennes quantifiées.
JFPC 2008- Quatrièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes, LINA - Université
de Nantes - Ecole des Mines de Nantes, Jun 2008, Nantes, France. pp.307-316. �inria-00292680�
Actes JFPC 2008
Base litt´ erale et certificat pour les formules bool´ eennes quantifi´ ees
Igor St´ ephan Benoit Da Mota
LERIA, Universit´ e d’Angers, 2 Boulevard Lavoisier, 49045, Angers, Cedex 01, France damota|[email protected]
R´ esum´ e
Nous ´ etudions dans cet article une nouvelle forme normale, celle des bases litt´ erales, pour les formules boo- l´ eennes quantifi´ ees (pr´ enexes). Un des aspects majeurs d’une base litt´ erale est que le certificat (qui permet de v´ erifier a posteriori qu’une d´ ecision positive sur une for- mule bool´ eenne quantifi´ ee est correcte ou non) en est un cas particulier. Notre principal r´ esultat est un algo- rithme orient´ e recherche qui calcule un certificat associ´ e
`
a une formule bool´ eenne quantifi´ ee dans le cas o` u elle est valide. Un autre aspect majeur d’une base litt´ erale est qu’elle peut ˆ etre vue comme ´ etant le r´ esultat d’une com- pilation de la formule bool´ eenne quantifi´ ee qui respecte des propri´ et´ es d’optimalit´ e en terme de construction de la solution et de minimalit´ e en terme de mod` eles propo- sitionnels de la matrice.
Abstract
We study in this article a new normal form, the lite- ral bases, for the (prenex) quantified Boolean formulae.
One of the major aspects of literal bases is that the no- tion of certificate (which allows to verify a posteriori that validity of a quantified Boolean formula is correct or not) is one special case. Our main result is a top-down search algorithm which computes the certificate associated to a quantified Boolean formula in case of its validity. Ano- ther major aspect of literal bases is that a literal base may be seen as a the result of the compilation of the quantified Boolean formula which respects some proper- ties of optimality (in term of generation of solutions) and minimality (in term of number of propositional models of the matrix).
1 Introduction
Le probl` eme de validit´ e pour les formules bool´ eennes quantifi´ ees (QBF) est une g´ en´ eralisation du probl` eme de satisfiabilit´ e pour les formules bool´ eennes. Tan- dis que d´ ecider de la satisfiabilit´ e des formules boo- l´ eennes est NP-complet, d´ ecider de la validit´ e des QBF
est PSPACE-complet. C’est le prix ` a payer pour une repr´ esentation plus concise pour de tr` es nombreuses classes de formules. Une multitude d’importants pro- bl` emes de d´ ecision parmi des champs tr` es divers ont des transformations polynomiales vers le probl` eme de validit´ e des QBF. Les QBF sont aussi utiles pour re- pr´ esenter des strat´ egies dans un jeu fini ` a deux joueurs.
Dans un tel jeu les adversaires jouent alternativement en valuant les variables d’une formule qui doit ˆ etre va- lide si un des deux joueurs est sˆ ur de gagner. Dans ce style d’application, une proc´ edure de d´ ecision n’est pas suffisante et une solution au probl` eme de recherche associ´ e ` a la QBF est n´ ecessaire. De plus, lorsque l’algo- rithme de d´ ecision r´ epond valide ou non-valide, il n’y a aucun moyen de v´ erifier que l’algorithme a correc- tement r´ epondu : dans le cadre de la logique proposi- tionnelle, le r´ esultat associ´ e ` a la d´ ecision positive est le mod` ele qui est alors facilement v´ erifiable. Une possibi- lit´ e est de construire un arbre repr´ esentant la solution (appel´ e politique [6] ou strat´ egie [3]) mais il est alors dans le pire et la majeur partie des cas de taille expo- nentielle. Dans [1] une solution ` a ces deux probl` emes est propos´ ee : le sat-certificat qui est une repr´ esenta- tion pour une s´ equence des fonctions bool´ eennes qui valide la formule. Si la notion de sat-certificat est ex- prim´ ee dans [1] ind´ ependemment de tout algorithme, elle l’est dans le formalisme des diagrammes de d´ eci- sion binaire [4] pour des formules sous forme normale conjonctive. De plus son extraction n’est explicit´ ee que dans le cadre du solver sKizzo [2] bas´ e sur la skol´ emi- sation symbolique et le raisonnement symbolique ; or la plupart des impl´ ementations [9] sont bas´ ees sur des algorithmes orient´ es recherche ` a la Davis, Logemann et Loveland [8] 1 . Dans [12], un algorithme d’´ elimina- tion des quantificateurs est propos´ e pour r´ esoudre les
1
Il est ` a noter que sKizzo permet aussi le calcul via un algo-
rithme DLL et en extrait des sat-certificats
QBF (et non “seulement” d´ ecider de la validit´ e). Cet algorithme g´ en` ere une QBF ´ equivalente non seulement au sens de la validit´ e mais aussi par la pr´ eservation des solutions de la formule. Le r´ esultat de l’applica- tion de l’algorithme peut ˆ etre vu comme le compil´ e de la QBF initiale. Le format de cette QBF g´ en´ er´ ee est tr` es proche de celui des sat-certificats.
Apr` es des pr´ eliminaires et un exemple introductif qui a pour but de r´ ev´ eler les intuitions, nous pr´ esentons les r´ esultats suivants :
– une description de cette forme commune pour les sat-certificats et le compil´ e d’une QBF selon [12] : les bases litt´ erales,
– une interpr´ etation des sat-certificats en terme de QBF selon les bases litt´ erales,
– des op´ erations internes ainsi que des propri´ et´ es sur bases litt´ erales ;
le tout amenant
– ` a une extension de tout algorithme orient´ e re- cherche pour la construction des sat-certificats et – ` a une extension de tout algorithme orient´ e re- cherche pour la compilation d’une QBF valide en une base litt´ erale respectant un crit` ere d’optima- lit´ e et dont l’interpr´ etation sous forme de QBF est telle que la matrice respecte un crit` ere de mi- nimalit´ e.
2 Pr´ eliminaires
Les formules bool´ eennes quantifi´ ees. Les valeurs bool´ eennes sont not´ ees vrai et faux. L’ensemble des symboles (ou variables) propositionnel(le)s est not´ e V . Les symboles ⊥ et > sont les constantes bool´ eennes.
Le symbole ∧ est utilis´ e pour la conjonction, ∨ pour la disjonction, ¬ pour la n´ egation, → pour l’implication et ↔ pour la bi-implication. L’ensemble des formules propositionnelles est d´ enot´ e PROP. Un litt´ eral est une variable bool´ eenne ou la n´ egation de celle-ci. Une formule bool´ eenne est sous forme normale conjonctive (FNC) - resp. disjonctive (FND) - si c’est une conjonc- tion de disjonctions de litt´ eraux - resp. disjonction de conjonctions de litt´ eraux ; la fonction f nc - resp.
f nd - de PROP dans PROP calcule la FNC - resp.
FND - d’une formule quelconque. Une substitution est une fonction de l’ensemble des variables dans l’en- semble PROP. Nous d´ efinissons la substitution d’une variable x par F dans G, not´ ee G[x ← F ], comme
´ etant la formule obtenue de G en rempla¸ cant toutes les occurrences de la variable propositionnelle x par la formule F . Une valuation v est une fonction de V dans BOOL et l’interpr´ etation, not´ ee v ∗ est son ex- tension dans PROP. A une valuation v est associ´ e une substitution ~ v ainsi : si v(x) = vrai alors [x ← >]
est dans ~ v, si v(x) = faux alors [x ← ⊥] est dans ~ v.
La satisfaction propositionnelle est not´ ee | = (v | = F signifie que v ∗ (F ) = vrai, la formule propositionnelle F est satisfaite par la valuation v et v est un mod` ele de F) et l’´ equivalence logique ≡. Le symbole ∃ est utilis´ e pour la quantification existentielle et ∀ pour la quantification universelle (q est utilis´ e pour noter un quantificateur quelconque). Toute formule bool´ eenne est aussi une formule bool´ eenne quantifi´ ee (QBF). Si F est une QBF et x est une variable bool´ eenne alors (∃x F ) et (∀x F ) sont des QBF. Un lieur est une chaˆıne de caract` eres q 1 x 1 . . . q n x n avec x 1 , . . . , x n des variables distinctes et q 1 . . . q n des quantificateurs ; le lieur vide est d´ enot´ e ; par convention, des quantifi- cateurs diff´ erents lient des variables diff´ erentes. Une formule bool´ eenne quantifi´ ee constitu´ ee d’un lieur et d’une formule bool´ eenne appel´ ee matrice est une QBF pr´ enexe ; si toute variable apparaissant dans une QBF poss` ede une occurrence dans le lieur elle est dite close.
Nous nous restreignons par la suite aux QBF pr´ enexes et closes. Une QBF est en FNC - resp. FND - si sa matrice l’est.
La s´ emantique des QBF. La s´ emantique des sym- boles bool´ eens est d´ efinie de mani` ere habituelle. La s´ emantique des quantificateurs est la suivante : pour toute variable bool´ eenne y et toute QBF qyQF ,
∃yQF = (QF [y ← >]∨QF [y ← ⊥]) et
∀yQF = (QF [y ← >]∧QF [y ← ⊥]).
Une QBF est valide si F ≡>. Si y est une variable quantifi´ ee existentiellement pr´ ec´ ed´ ee par les variables quantifi´ ees universellement x 1 , . . . , x n , nous notons ˆ
y x
1...x
nsa fonction de Skolem de {vrai, faux} n dans {vrai, faux}. Un mod` ele pour une QBF F est une s´ equence s de fonctions de Skolem qui satisfait la formule [5]. Par exemple, la QBF ∃y∃x∀z((x∨y)↔z) n’est pas valide tandis que ∀z∃y∃x((x∨y)↔z) l’est avec pour s´ equence possible de fonctions de Skolem : ˆ
y z (vrai) = vrai, ˆ y z (faux) = faux, ˆ x z (vrai) = faux et ˆ x z (faux) = faux. Un mod` ele (bool´ een) pour une formule bool´ eenne non quantifi´ ee (i.e. une formule propositionnelle) correspond exactement au mod` ele (QBF) de sa clˆ oture existentielle. Une QBF est va- lide si et seulement s’il existe une s´ equence de fonc- tions de Skolem qui satisfasse la formule. Dans [12, 11], une nouvelle relation d’´ equivalence sur les QBF, no- t´ ee ∼ =, a ´ et´ e introduite ; elle porte sur la pr´ eservation de l’ensemble des mod` eles (et non plus seulement sur la validit´ e). Par exemple, ∀z∃y∃x((x∨y)↔z)≡> mais
∀z∃y∃x((x∨y)↔z) 6∼ = >.
sat-certificat. A une fonction de Skolem ˆ y x
1...x
nfaisant partie d’une s´ equence de fonctions de Sko-
lem qui satisfait une QBF, nous associons deux for- mules propositionnelles P y and N y d´ efinies unique- ment sur les variables universellement quantifi´ ees {x 1 , . . . , x n } ainsi : v ∗ (P y ) = vrai si et seulement si ˆ
y x
1...x
n(v(x 1 ), . . . , v(x n )) = vrai et v ∗ (N y ) = vrai si et seulement si ˆ y x
1...x
n(v(x 1 ), . . . , v(x n )) = faux (v une valuation quelconque). A une s´ equence de fonc- tions de Skolem ˆ y 1 ; . . . ; ˆ y m satisfaisant une QBF F, y 1 , . . . , y m les variables existentiellement quantifi´ ees, est associ´ e un sat-certificat i.e. une s´ equence de paires de formules (P 1 , N 1 ); . . . ; (P m , N m ). Cette d´ efinition est l´ eg` erement diff´ erente de celle de [1] : dans notre d´ efinition les formules P i et N i , 1 ≤ i ≤ m, sont associ´ ees exactement aux fonctions de Skolem tandis que, dans [1], elles sont associ´ ees ` a des fonctions boo- l´ eennes qui recouvrent des ensembles de fonctions de Skolem. Dans cet article, nous nous pla¸ cons pour des raisons de clart´ e dans la plus grande g´ en´ eralit´ e : un algorithme quelconque orient´ e recherche, sans pr´ esup- poser de m´ ecanismes de d´ eduction qui rendraient cer- taines variables sans valuation ` a la fin du calcul.
3 Exemple introductif
Nous d´ eveloppons un exemple introductif pour sou- tenir l’intuition des algorithmes et r´ esultats qui seront pr´ esent´ es dans les sections suivantes.
Soit la formule propositionnelle
F = ((c∨b)∧(b→((c→d)∧(c∨(a↔¬d))))) Alors F peut ˆ etre d´ ecompos´ ee selon la s´ equence de variables a; b; c; d en les formules :
F ≡ (¬a∨>)∧(a∨>)∧(¬b∨>)∧(b∨>)∧
(¬c∨>)∧(c∨>)∧(¬d∨X ¬ )∧(d∨X ) ou bien
F≡
1
z }| {
(¬a∨>)∧(a∨>) ∧
2
z }| {
(¬b∨>)∧(b∨>) ∧ (¬c∨>)
| {z }
3
∧ (c∨b)
| {z }
4
∧ (¬d∨X ¬ )
| {z }
5
∧ (d∨X )
| {z }
6
avec X = (¬a∨¬b∨¬c)∧(¬a∨b∨c)∧
(a∨¬b∨¬c)∧(a∨¬b∨c)∧(a∨b∨c) et X ¬ = (¬a∨¬b∨c)∧(¬a∨b∨c)∧(a∨b∨c).
La premi` ere (´ el´ ementaire) a ´ et´ e obtenue par as- sociativit´ e directement ` a partir de la forme normale conjonctive 2 de F :
f nc(F ) =
(¬a∨¬b∨¬c∨d)∧(¬a∨b∨c∨d)∧(a∨¬b∨¬c∨d)∧
(a∨¬b∨c∨d)∧(a∨b∨c∨d)∧(¬a∨¬b∨c∨¬d)∧
(¬a∨b∨c∨¬d)∧(a∨b∨c∨¬d)
2
Ce n’est pas la forme normale la plus simplifi´ ee.
La seconde est plus int´ eressante car elle exhibe les propri´ et´ es suivantes :
1. pour toute valeur de v´ erit´ e de a, la formule admet (au moins) un mod` ele ;
2. pour toute valeur de v´ erit´ e de b, la formule admet (au moins) un mod` ele ;
3. si c est interpr´ et´ e ` a vrai, la formule admet (au moins) un mod` ele ;
4. si c est interpr´ et´ e ` a faux, pour que la formule admette un mod` ele il faut que b soit vrai ; 5. si d est interpr´ et´ e ` a vrai, pour que la formule
admette un mod` ele il faut n´ ecessairement que X ¬ soit vrai.
6. si d est interpr´ et´ e ` a faux, pour que la formule admette un mod` ele il faut n´ ecessairement que X soit vrai ;
Cette seconde d´ ecomposition peut ˆ etre obtenue ` a partir de la forme normale disjonctive 2 de F :
f nd(F ) =
(a∧b∧c∧d)∨(a∧b∧¬c∧¬d)∨(a∧¬b∧c∧d)∨
(a∧¬b∧c∧¬d)∨(¬a∧b∧c∧d)∨(¬a∧b∧¬c∧d)∨
(¬a∧¬b∧c∧d)∨(¬a∧¬b∧c∧¬d)
et l’´ equivalence (sp´ ecialisation de la distributivit´ e) ((¬x∧A)∨(x∧B)) dis ≡ ((A∨B)∧(¬x∨B)∧(x∨A)) ainsi
f nd(F ) dis ≡ (Y ∨Y ¬ )∧(¬d∨Y ¬ )∧(d∨Y )
dis∗ ≡ (¬a∨>)∧(a∨>)∧(¬b∨>)∧(b∨>)∧
(¬c∨>)∧(c∨b)∧(¬d∨Y ¬ )∧(d∨Y ) avec Y = (a∧b∧¬c)∨(a∧¬b∧c)∨(¬a∧¬b∧c) et
Y ¬ = (a∧b∧c)∨(a∧¬b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨
(¬a∧b∧¬c)∨(¬a∧¬b∧c)
Nous pouvons enfin retrouver la seconde d´ ecompo- sition en remarquant que Y ≡X et Y ¬ ≡X ¬ .
Nous poursuivons cet exemple introductif en quan- tifiant la formule F ainsi : F ∀a∃b∀c∃d = ∀a∃b∀c∃dF .
A nouveau
F ∀a∃b∀c∃d ∼ = ∀a∃b∀c∃d
(¬a∨>)∧(a∨>)∧(¬b∨>)∧(b∨>)∧
(¬c∨>)∧(c∨b)∧(¬d∨X ¬ )∧(d∨X )
Mais cette d´ ecomposition n’a plus la propri´ et´ e int´ e- ressante exhib´ ee pour SAT : il n’y a pas de fonction de Skolem ˆ b a qui satisfasse la QBF telle que ˆ b a (.) = faux.
Mais une telle d´ ecomposition est possible :
F ∀a∃b∀c∃d ∼ = ∀a∃b∀c∃d
1
z }| {
(¬a∨>)∧(a∨>) ∧
2
z }| { (¬b∨>) ∧
3
z }| { (b∨⊥) ∧
4
z }| {
(¬c∨>)∧(c∨>) ∧ (¬d∨(a∧b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧b∧¬c))
| {z }
5
∧ (d∨(a∧b∧¬c))
| {z }
6
Les cas 1 et 4 sont imm´ ediats puisque les variables a et c sont quantifi´ ees universellement ;
2. & 3. Pour une valeur de v´ erit´ e de a donn´ ee, si ˆ b a (a) = faux il n’existe pas de s´ equence de fonctions de Skolem qui satisfasse la QBF et si ˆ b a (a) = vrai il existe (au moins) une s´ equence de fonctions de Skolem qui satisfasse la QBF ; 5. Pour des valeurs de v´ erit´ e de a et c donn´ ees,
si ˆ d ac (a, c) = vrai, pour que la QBF admette au moins une solution il faut n´ ecessairement que (a∧b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧b∧¬c) soit vrai ; 6. Pour des valeurs de v´ erit´ e de a et c donn´ ees,
si ˆ d ac (a, c) = faux, pour que la QBF admette au moins une solution il faut n´ ecessairement que (a∧b∧¬c) soit vrai ;
De cette derni` ere d´ ecomposition s’obtient le certi- ficat : (>, ⊥); ((a∧c)∨(¬a∧c)∨(¬a∧¬c), (a∧¬c)) dans lequel nous retrouvons l’unique s´ equence ˆ b a ; ˆ d ac de fonctions de Skolem qui satisfasse la QBF avec :
ˆ b a (vrai) = vrai, ˆ b a (faux) = vrai,
d ˆ ac (vrai, vrai) = vrai, d ˆ ac (vrai, faux) = faux, d ˆ ac (faux, vrai) = vrai, d ˆ ac (faux, faux) = vrai.
4 Base litt´ erale
Les formes normales disjonctive et conjonctive, aussi bien pour SAT que pour QBF, suivent l’aspect hori- zontal d’une table de v´ erit´ e (dont les valuations des symboles propositionnels forment les colonnes) : elles reprennent syntaxiquement respectivement la disjonc- tion des mod` eles et la n´ egation de la disjonction des valuations qui falsifient la formule. Si dans SAT, les formes normales disjonctive et conjonctive refl` etent exactement l’ensemble des mod` eles, il n’en est pas de mˆ eme dans QBF : des conjonctions de litt´ eraux (resp. disjonctions de litt´ eraux) peuvent faire parti de la forme normale disjonctive (respectivement conjonc- tive) de la matrice sans pour autant faire parti d’une solution ` a la QBF. Les formes d´ ecrites dans [1] (le sat-certificat pour la validit´ e d’une QBF) et [12] (le calcul d’une QBF ´ equivalente conservant toutes les so- lutions) sont dans l’aspect vertical de la table de v´ e- rit´ e (et donc selon une s´ equence pour les variables). En nous inspirant de ces formes, nous d´ efinissons la notion de base litt´ erale pour les QBF, nous en donnons l’in- terpr´ etation selon les QBF puis nous d´ efinissons trois
lois internes. Deux d’entre-elles transposent au niveau des bases litt´ erales la disjonction et la conjonction, la troisi` eme introduit dans les fonctions bool´ eennes un nouvel argument. Nous introduisons aussi une pro- pri´ et´ e d’optimalit´ e qui refl` ete la propri´ et´ e exhib´ ee dans l’exemple introductif et une propri´ et´ e de minimalit´ e pour les QBF ; le lien entre optimalit´ e et minimalit´ e sera explicit´ e. Nous montrons alors comment dans le cadre de SAT (i.e. toutes les variables sont existentiel- lement quantifi´ ees) une base litt´ erale optimale peut ˆ
etre calcul´ ee, ceci en pr´ elude aux algorithmes pour les QBF de la section suivante.
4.1 Base litt´ erale et op´ erations
Nous explorons dans cette partie une forme normale, que nous appelons base litt´ erale, qui suit l’aspect ver- tical de la table de v´ erit´ e.
D´ efinition 1 (Base litt´ erale) Une base litt´ erale est un couple (Q, G) constitu´ e
– soit de Q = et G = > ou G = ⊥ ;
– soit d’un lieur Q = q 1 x 1 . . . q n x n , n > 0, et d’une s´ equence de couples de formules (que nous nom- merons les gardes) G = (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n ) telle que les formules P k et N k sont soit > ou
⊥ soit uniquement construites sur les variables {x 1 , . . . , x k−1 }.
Nous notons B Q l’ensemble des bases litt´ erales pour un lieur Q et d´ efinissons la fonction grds qui ex- trait les gardes de la base litt´ erale et qui est telle que grds((Q, G)) = G.
De par la d´ efinition pr´ ec´ edente : – si Q = alors B = {(, >), (, ⊥)} ; – si Q = qx alors
B qx = {(qx, (>, >)), (qx, (>, ⊥)), (qx, (⊥, >)), (qx, (⊥, ⊥))}
D´ efinition 2 (Interpr´ etation d’une base litt´ erale) L’interpr´ etation d’une base litt´ erale B, fonction ` a valeur dans l’ensemble des QBF et not´ ee B ∗ , est d´ efinie par :
– si B = (, F ) alors B ∗ = F ;
– si B = (q 1 x 1 . . . q n x n , (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n )), n > 0, alors
B ∗ = q 1 x 1 . . . q n x n
^
k≤n
((¬x k ∨P k )∧(x k ∨N k )) Th´ eor` eme 1 (Compl´ etude des bases litt´ erales) Soit QF une QBF alors il existe une base litt´ erale B ∈ B Q telle que B ∗ ∼ = QF .
Argument de la preuve : Ce th´ eor` eme est imm´ ediat
car toute formule est ´ equivalente ` a une formule sous
forme normale conjonctive dont la derni` ere variable de
la s´ equence peut ˆ etre mise en facteur. 2
Exemple 1 (Suite de l’exemple introductif )
Soit Q = ∃a∃b∃c∃d alors B =
(Q, (>, >); (>, >); (>, >); (X ¬ , X)) et B 0 = (Q, (>, >); (>, >); (>, b); (Y ¬ , Y )) sont telles que B, B 0 ∈ B Q et B ∗ ∼ = ∃a∃b∃c∃dF et B 0∗ ∼ = ∃a∃b∃c∃dF . Nous transcrivons la conjonction et la disjonction dans le formalisme des bases litt´ erales en deux lois de composition interne respectivement ⊗ et ⊕. L’inter- pr´ etation des bases litt´ erales ayant pour colonne vert´ e- brale la conjonction, l’op´ erateur ⊗ est imm´ ediat ; par contre l’op´ erateur ⊕ est plus complexe puisqu’il in- t` egre la distributivit´ e. Nous ajoutons un op´ erateur in- dic´ e par une variable x qui est un op´ erateur pour com- biner les sat-certificats et introduire dans les fonctions bool´ eennes le nouvel argument x : cet op´ erateur est di- rectement inspir´ e de la mani` ere dont on d´ emontre que le fragment propositionnel constitu´ e uniquement sur la conjonction, la disjonction et la n´ egation est complet.
D´ efinition 3 (Op´ erateurs ⊗, ⊕ et ◦) Soit un lieur Q = q 1 x 1 . . . q n x n et B, B 0 ∈ B Q . Les op´ erateurs
⊗, ⊕ : B Q × B Q → B Q sont d´ efinis par :
⊗ : (Q, (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n ))⊗
(Q, (P 1 0 , N 1 0 ); . . . ; (P n 0 , N n 0 ))
= (Q, ((P 1 ∧P 1 0 ), (N 1 ∧N 1 0 )); . . . ; ((P n ∧P n 0 ), (N n ∧N n 0 ))
⊕ : si Q = alors (B ⊕ B 0 ) = (B∨B 0 ) sinon (Q, (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n ))⊕
(Q, (P 1 0 , N 1 0 ); . . . ; (P n 0 , N n 0 ))
= (Q, ((P 1 ∨P 1 0 ), (N 1 ∨N 1 0 ));
(P 2 ∧(P 2 0 ∨X )∧(P 2 ∨X 0 ), N 2 ∧(N 2 0 ∨X)∧(N 2 ∨X 0 )); . . . ; (P n ∧(P n 0 ∨X )∧(P n ∨X 0 ),
N n ∧(N n 0 ∨X )∧(N n ∨X 0 ))) avec X = ((¬x 1 ∨P 1 )∧(x 1 ∨N 1 )),
X 0 = ((¬x 1 ∨P 1 0 )∧(x 1 ∨N 1 0 )) et avec Q 0 = q 2 x 2 . . . q n x n
(Q 0 , (P 2 , N 2 ); . . . ; (P n , N n ))⊕
(Q 0 , (P 2 0 , N 2 0 ); . . . ; (P n 0 , N n 0 )) = (Q 0 , (P 2 , N 2 ); . . . ; (P n , N n )) L’op´ erateur ◦ x : B Q × B Q → B ∀xQ d´ efini par : (Q, (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n ))◦ x
(Q, (P 1 0 , N 1 0 ); . . . ; (P n 0 , N n 0 ))
= ( ∀xQ, (>, >);
(((¬x∨P 1 )∧(x∨P 1 0 )), ((¬x∨N 1 )∧(x∨N 1 0 ))); . . . ; (((¬x∨P n )∧(x∨P n 0 )), ((¬x∨N n )∧(x∨N n 0 )))) Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, lorsque n = 1,
(q 1 x 1 , (P 1 , N 1 )) ⊕ (q 1 x 1 , (P 1 ¬ , N 1 ¬ ))
= (q 1 x 1 , ((P 1 ∨P 1 ¬ ), (N 1 ∨N 1 ¬ )))
ce qui d´ efinit le cas d’arrˆ et de l’op´ eration ⊕.
Il est important de remarquer que l’op´ erateur ◦ n’est pas commutatif.
Exemple 2 (Suite de l’exemple introductif ) Soient Q = ∀a∃b∀c∃d et les bases litt´ erales
B 1 = (Q, (⊥, >); (¬a, ¬a); (¬a, (¬a∧b));
(¬a∧(b∨c), ¬a∧¬b∧c)) et
B 2 = (Q, (>, ⊥); (a, a); (a, (a∧b));
((a∧c)), (a∧(b↔¬c))) Apr` es simplifications alg´ ebriques
(B 1 ⊕ B 2 ) = (Q, (>, >); (>, >); (>, b); (Y ¬ , Y )) Soient B 3 = (∃b∀c∃d, (>, ⊥); (>, >); (c, ¬c)) et B 4 = (∃b∀c∃d, (>, ⊥); (>, >); (>, ⊥)) alors
(B 3 ◦ a B 4 ) = (Q, (>, >); (>, ⊥); (>, >);
([(a∧c)∨(¬a∧c)∨(¬a∧¬c)], (a∧¬c)))
Le th´ eor` eme suivant confirme la s´ emantique des op´ e- rateurs ⊕ et ⊗.
Th´ eor` eme 2 Soient Q un lieur et B, B 0 ∈ B Q telles que B ∗ = QF et B 0∗ = QF 0 alors (B ⊗ B 0 ) ∗ = QF ⊗ avec F ⊗ ≡(F ∧F 0 ) et (B ⊕ B 0 ) ∗ = QF ⊕ avec F ⊕ ≡(F ∨F 0 ).
Argument de la preuve : La premi` ere ´ equivalence est imm´ ediate par d´ efinition ; la seconde se d´ emontre par r´ ecurrence grˆ ace ` a la distributivit´ e. 2
Le th´ eor` eme suivant nous permettra dans la section suivante de reconstruire des certificats pour des algo- rithmes orient´ es recherche puisqu’il recombine dans le cas d’un quantificateur universel les certificats obtenus par la substitution dans la formule de la variable uni- verselle par > ou ⊥. Dans la d´ efinition du sat-certificat n’est fait mention ni du lieur, ni de gardes pour les va- riables universelles ; nous d´ efinissons donc la fonction certif icat qui extrait d’une base litt´ erale uniquement les gardes pour les variables existentielles.
Th´ eor` eme 3 Soit ∀xQF une QBF. Si certif icat(B > ) est un sat-certificat pour QF [x ← >]
et certif icat(B ⊥ ) est un sat-certificat pour QF [x ← ⊥] alors certif icat(B > ◦ x B ⊥ ) est un sat-certificat pour ∀xQF .
Argument de la preuve : Le th´ eor` eme se d´ emontre en remarquant que dans (B > ◦ x B ⊥ ) si x est substitu´ e par > le sat-certificat de B > est retrouv´ e et que si x est substitu´ e par ⊥ le sat-certificat de B ⊥ est retrouv´ e.
2
4.2 Optimalit´ e et minimalit´ e
A une QBF correspond un ensemble de bases litt´ e- rales. Dans le cas de SAT, ce qui rend plus int´ eressante la base litt´ erale construite grˆ ace ` a la forme normale disjonctive par rapport ` a celle obtenue grˆ ace ` a la forme normale conjonctive est sa plus grande efficacit´ e ` a d´ e- tecter au plus tˆ ot les valuations qui ne conduisent pas
`
a un mod` ele ; nous d´ efinissons la propri´ et´ e d’optimalit´ e pour caract´ eriser ces bases litt´ erales.
D´ efinition 4 (Optimalit´ e d’une base litt´ erale) Soit q 1 x 1 . . . q n x n F une QBF valide et une base litt´ erale B = (q 1 x 1 . . . q n x n , (P 1 , N 1 ); . . . ; (P n , N n )) telle que B ∗ ∼ = q 1 x 1 . . . q n x n F. La base litt´ erale B est optimale (pour q 1 x 1 . . . q n x n F ) si pour tout i, 1 ≤ i ≤ n, v une valuation pour les variables de x 1 . . . x i−1 .
– si v | = P i alors il existe (au moins) une s´ e- quence de fonctions de Skolem qui satisfasse la QBF q i+1 x i+1 . . . q n x n ~ v(F)[x i ← >] ;
– si v | = N i alors il existe (au moins) une s´ e- quence de fonctions de Skolem qui satisfasse la QBF q i+1 x i+1 . . . q n x n ~ v(F)[x i ← ⊥].
Cette propri´ et´ e d’optimalit´ e est en lien avec la pro- pri´ et´ e de minimalit´ e qui exprime que la matrice de la QBF ne contient que les mod` eles n´ ecessaires ` a la construction de toutes les solutions ` a la QBF.
D´ efinition 5 (Minimalit´ e d’un QBF) Une QBF est minimale si tout mod` ele de la matrice fait partie d’une s´ equence de fonctions de Skolem qui la satis- fasse.
Ce qui rend particuli` erement int´ eressante la pro- pri´ et´ e d’optimalit´ e d’une base litt´ erale est exprim´ e dans le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 4 Soit B une base litt´ erale optimale alors B ∗ est une QBF minimale.
Argument de la preuve : Si l’interpr´ etation de la base litt´ erale n’est pas minimale alors il existe un mod` ele pour la matrice de l’interpr´ etation qui ne fait pas par- tie d’une s´ equence de fonctions de Skolem qui satisfait la formule donc n´ ecessairement il existe une s´ equence de gardes satisfaites par ce mod` ele mais au moins une de ces gardes n’aurait pas dˆ u l’ˆ etre puisque l’interpr´ e- tation de la base litt´ erale n’est pas minimale donc la base litt´ erale n’est pas optimale. 2
Dans le cas de la base litt´ erale exprimant un sat- certificat les propri´ et´ es d’optimalit´ e et de minimalit´ e sont ais´ ement obtenues.
La r´ eciproque du th´ eor` eme 4 est fausse comme le d´ emontre l’exemple suivant.
Exemple 3 La base litt´ erale suivante (∀a∃b∀c∃d, (>, >); (>, ⊥); (>, >);
((a∧b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧b∧¬c), (a∧b∧¬c))) issue de l’exemple introductif est optimale et son in- terpr´ etation est bien minimale tandis que la base lit- t´ erale suivante toujours issue du mˆ eme exemple intro- ductif n’est pas optimale mais son interpr´ etation est minimale :
(∀a∃b∀c∃d, (>, >); (>, >); (>, >);
((a∧b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧b∧¬c), (a∧b∧¬c))) 4.3 Mise sous forme de base litt´ erale
Il est possible, dans le cas SAT, d’obtenir ` a partir de la forme normale disjonctive une base litt´ erale qui ait les propri´ et´ es mises en exergue dans l’exemple in- troductif.
D´ efinition 6 (Fonction msf bl) Soit la fonction γ qui associe ` a un litt´ eral positif la constante ⊥ et ` a un litt´ eral n´ egatif la constante >. Soit la fonction Γ construit ` a partir d’un lieur ∃x 1 . . . ∃x n et d’une conjonction constitu´ ee de litt´ eraux sur ces variables (l 1 , . . . , l n ) une base litt´ erale ainsi :
Γ(∃x 1 . . . ∃x n , l 1 ∧ . . . ∧l n ) =
(∃x 1 . . . ∃x n , (γ(l 1 ), γ(l 1 )); . . . ; (γ(l n ), γ (l n ))) Nous ´ etendons alors cette fonction ` a une forme nor- male disjonctive grˆ ace ` a la loi interne ⊕ (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, l ij des litt´ eraux sur les variables x i ) :
msf bl(∃x 1 . . . ∃x n , W
1≤j≤m
V
1≤i≤n l ij ) = L
1≤j≤m Γ(∃x 1 . . . ∃x n , V
1≤i≤n l ij )
Exemple 4 (Suite de l’exemple 2) Nous rappe- lons que
f nd(F ) =
(a∧b∧c∧d)∨(a∧b∧¬c∧¬d)∨(a∧¬b∧c∧d)∨
(a∧¬b∧c∧¬d)∨(¬a∧b∧c∧d)∨(¬a∧b∧¬c∧d)∨
(¬a∧¬b∧c∧d)∨(¬a∧¬b∧c∧¬d) Nous r´ ealisons le calcul en deux parties :
(Γ(Q, a∧b∧c∧d) ⊕ Γ(Q, a∧b∧¬c∧¬d))⊕
(Γ(Q, a∧¬b∧c∧d) ⊕ Γ(Q, a∧¬b∧c∧¬d)) = (Q, (⊥, >); (¬a, ¬a); (¬a, (¬a∧b));
(¬a∧(b∨c), ¬a∧¬b∧c)) et
(Γ(Q, ¬a∧b∧c∧d) ⊕ Γ(Q, ¬a∧b∧¬c∧d))⊕
(Γ(Q, ¬a∧¬b∧c∧d) ⊕ Γ(Q, ¬a∧¬b∧c∧¬d)) = (Q, (>, ⊥); (a, a);
(a, (a∧b)); ((a∧c), (a∧(b↔¬c))))
Nous reconnaissons alors les bases litt´ erales B et B 0 de l’exemple 2 donc
M
( V
k≤n
l
k)∈f nd(F)
Γ(Q, ^
k≤n
l k ) = (B ⊕ B 0 )
et nous avons bien
∃a∃b∃c∃dF ∼ = ∃a∃b∃c∃d f nd(F )
∼ = ( L
( V
k≤n
l
k)∈f nd(F) Γ(Q, V
k≤n l k )) ∗
= msf bl(∃a∃b∃c∃d, f nd(F ))
Tirant parti de l’associativit´ e et de la commutati- vit´ e de l’op´ eration ⊕ (h´ erit´ ees de la disjonction par le th´ eor` eme 2) et surtout du cas particulier o` u tous les quantificateurs sont existentiels, la fonction msf bl est suffisante pour SAT.
Th´ eor` eme 5 (Correction et optimalit´ e) Soit F une formule propositionnelle sur un ensemble de variables {x 1 , . . . , x n } et la base litt´ erale B = msf bl(∃x 1 . . . ∃x n , f nd(F )) alors B ∗ ∼ = ∃x 1 . . . ∃x n F et si la formule F est satisfiable alors la base litt´ erale B est optimale pour la QBF ∃x 1 . . . ∃x n F.
La d´ emonstration de ce th´ eor` eme est triviale grˆ ace au th´ eor` eme 2.
La fonction msf bl n’est pas suffisante pour les QBF en g´ en´ eral qui demande le respect de l’ordre du lieur. Nous pr´ esentons donc un algorithme r´ ecur- sif search bl sat ayant les mˆ emes propri´ et´ es pour le cas de SAT que la fonction msf bl mais qui s’´ eten- dra plus ais´ ement dans la section prochaine aux QBF quelconques. Le cœur de cet algorithme est orient´ e re- cherche ` a la Davis, Logemann et Loveland [8].
Le th´ eor` eme suivant montre que l’algorithme search bl sat r´ ealise en fait une mise sous forme nor- male disjonctive.
Th´ eor` eme 6 (msf bl = search bl sat) Soit F une formule propositionnelle sur un ensemble de variables {x 1 , . . . , x n }.
msf bl(∃x 1 . . . ∃x n , f nd(F)) = search bl sat(∃x 1 . . . ∃x n , F ).
La d´ emonstration par induction de ce th´ eor` eme est directe.
5 Bases litt´ erales et certificats QBF pour les algorithmes orient´ es recherche
Dans cette section, nous pr´ esentons nos principaux r´ esultats sur les algorithmes orient´ es recherche pour les QBF :
Algorithme 1 search bl sat
Entr´ ee: Q : un lieur purement existentiel Entr´ ee: F : une formule propositionnelle sur Q Sortie: une base litt´ erale
si Q = ∃x alors selon F faire
cas > : retourner (∃x, (>, >)) cas ⊥ : retourner ⊥
cas x : retourner (∃x, (>, ⊥)) cas ¬x : retourner (∃x, (⊥, >)) fin selon
sinon Q = ∃xQ 0
bl + := search bl sat(Q 0 , F [x ← >]) bl − := search bl sat(Q 0 , F [x ← ⊥])
si bl + = ⊥ et bl − = ⊥ alors retourner ⊥ fin si si bl + = ⊥ alors
retourner (Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) fin si si bl − = ⊥ alors
retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) fin si retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + ))⊕
(Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) fin si
– l’extension ` a tout algorithme orient´ e recherche du calcul d’un sat-certificat pour une QBF ;
– l’extension ` a tout algorithme orient´ e recherche du calcul d’une base litt´ erale dont l’interpr´ etation est
´ equivalente (au sens de la conservation des fonc- tions de Skolem) ` a la QBF.
5.1 Certificats QBF pour les algorithmes orient´ es recherche
Nous pr´ esentons l’algorithme search certif qbf qui calcule un sat-certificat pour une QBF selon un algo- rithme orient´ e recherche.
L’algorithme search certif qbf d´ etermine d’abord si le lieur est r´ eduit ` a un unique quantificateur. Dans le cas o` u il n’y a qu’un seul quantificateur, s’il est exis- tentiel quatre cas sont possibles, correspondant dans l’ordre de l’algorithme ` a : ∃x>≡∃xx, ∃x⊥≡⊥, ∃xx ∼ =
∃((¬x∨>)∧(x∨⊥)) et ∃x¬x ∼ = ((¬x∨⊥)∧(x∨>)) ; si le quantificateur est universel alors si F ≡> alors
∀xF ≡> sinon ∀xx≡∀x¬x≡∀x⊥≡⊥. Dans le cas o` u il n’y a pas qu’un seul quantificateur, ´ etant dans un algorithme orient´ e recherche, le premier est consi- d´ er´ e 3 . Si le quantificateur est existentiel alors il suf- fit qu’un des deux appels r´ ecursifs pour la substi- tution par > (resp. ⊥) ne soit pas ` a ⊥ pour re- tourner un sat-certificat (Q, (>, ⊥); grds(bl + )) (resp.
3
plus pr´ ecis´ ement n’importe quelle variable du premier bloc
de quantificateurs identiques
Algorithme 2 search certif qbf Entr´ ee: Q : le lieur d’une QBF Entr´ ee: F : la matrice d’une QBF
Sortie: un sat-certificat si la QBF est valide et ⊥ sinon
si Q = qx alors si q = ∃ alors
selon F faire
cas > : retourner (∃x, (>, ⊥)) cas ⊥ : retourner ⊥
cas x : retourner (∃x, (>, ⊥)) cas ¬x : retourner (∃x, (⊥, >)) fin selon
sinon si F≡> alors retourner (∀x, (>, >)) sinon
retourner ⊥ fin si
sinon Q = qxQ 0
bl + := search certif qbf (Q 0 , F [x ← >]) si bl + = ⊥ alors
si q = ∃ alors
bl − := search certif qbf (Q 0 , F [x ← ⊥]) si bl − = ⊥ alors
retourner ⊥ sinon
retourner (Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) fin si
sinon
retourner ⊥ fin si
sinon
si q = ∃ alors
retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) sinon
bl − := search certif qbf (Q 0 , F [x ← ⊥]) si bl − = ⊥ alors
retourner ⊥ sinon
retourner (bl + ◦ x bl − ) fin si
fin si fin si fin si
(Q, (⊥, >); grds(bl − ))) qui exprime que x doit ˆ etre n´ e- cessairement ` a vrai (resp. ` a faux). Si le quantificateur est universel alors si le r´ esultat d’un des deux appels r´ ecursifs est ⊥ c’est qu’il n’y a pas de solution et le r´ esultat retourn´ e est ⊥ sinon les fonctions de Skolem exprim´ ees dans les sat-certificats bl + et bl − doivent ˆ
etre recombin´ ees pour int´ egrer le nouvel argument x par (bl + ◦ x bl − ) avant que ceci soit retourn´ e comme sat-certificat.
Th´ eor` eme 7 (Correction search certif qbf ) Pour toute QBF QF , search certif qbf(Q, F ) re- tourne le sat-certificat si la QBF est valide et ⊥ sinon.
Argument de la preuve : Il est imm´ ediat que l’algo- rithme retourne une base litt´ erale diff´ erente de ⊥ si la QBF est valide et ⊥ si ce n’est pas le cas. De mˆ eme, de part l’interpr´ etation d’une base litt´ erale, le cas d’in- duction pour le quantificateur existentiel est imm´ ediat.
Pour le cas d’induction pour le quantificateur univer- sel, c’est le th´ eor` eme 3 qui est appliqu´ e. 2
Dans [1], un algorithme pour la v´ erification d’un couple (QBF, sat-certificat), sa complexit´ e (coNP- compl` ete) et sa correction sont explicit´ es.
5.2 Bases litt´ erales pour les algorithmes orient´ e re- cherche
Nous pr´ esentons l’algorithme search bl qbf qui cal- cule la base litt´ erale optimale pour des algorithmes orient´ es recherche dont l’interpr´ etation est ´ equivalente (au sens de la conservation des fonctions de Skolem)
`
a la QBF. Le calcul d’une base litt´ erale par cet al- gorithme peut ˆ etre vu comme un processus de com- pilation. Nous pr´ esentons cet algorithme comme une extension directe de l’algorithme search sat qbf .
Le th´ eor` eme suivant exprime que l’algorithme search bl qbf calcule ` a partir d’une QBF une base lit- t´ erale dont l’interpr´ etation lui est ´ equivalente au sens de la conservation des mod` eles.
Th´ eor` eme 8 (Correction de search bl qbf ) Soit QF une QBF et la base litt´ erale B = search bl qbf (Q, F ) alors B ∗ ∼ = QF .
Argument de la preuve : Soient bl + ) ∗ = Q 0 F + , bl − ) ∗ = Q 0 F − , (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) ∗ = QF + ,(Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) ∗ = QF − et QF ⊕ = ((Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) ⊕ (Q, (⊥, >) ; grds(bl − ))) ∗ Par hypoth` ese d’induction, (bl + ) ∗ ∼ = Q 0 F [x ← >]
et (bl − ) ∗ ∼ = Q 0 F [x ← ⊥]. Par le th´ eor` eme 2, F ⊕ ≡(F + ∨F − ) et comme F + = (¬x∨>)∧(x∨⊥)∧F + et F − = (¬x∨⊥)∧(x∨>)∧F − , F ⊕ [x ← >]≡F + et F ⊕ [x ← ⊥]≡F − . Donc Q 0 F ⊕ [x ← >] ∼ = Q 0 F [x ←
>] et Q 0 F ⊕ [x ← ⊥] ∼ = Q 0 F [x ← ⊥]. Donc
((Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) ⊕ (Q, (⊥, >) ; grds(bl − ))) ∗ ∼ =
QF 2
Le th´ eor` eme suivant exprime que l’algorithme search bl qbf calcule ` a partir d’une QBF une base lit- t´ erale optimale pour la QBF.
Th´ eor` eme 9 (Optimalit´ e de search bl qbf) Soit QF une QBF et la base litt´ erale B = search bl qbf (Q, F ) alors la base litt´ erale B est optimale pour la formule QF .
Ce th´ eor` eme est imm´ ediat par construction.
Algorithme 3 search bl qbf Entr´ ee: Q : le lieur d’une QBF Entr´ ee: F : la matrice d’une QBF Sortie: une base litt´ erale
si Q = qx alors si q = ∃ alors
selon F faire
cas > : retourner (∃x, (>, >)) cas ⊥ : retourner ⊥
cas x : retourner (∃x, (>, ⊥)) cas ¬x : retourner (∃x, (⊥, >)) fin selon
sinon
si F = > alors retourner (∀x, (>, >)) sinon retourner ⊥ fin si
fin si sinon
Q = qxQ 0
bl + := search bl qbf (Q 0 , F [x ← >]) bl − := search bl qbf (Q 0 , F [x ← ⊥]) si q = ∃ alors
si bl + = ⊥ et bl − = ⊥ alors retourner ⊥ fin si si bl + = ⊥
alors retourner (Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) fin si si bl − = ⊥
alors retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + )) fin si retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + ))⊕
(Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) sinon
si bl + = ⊥ ou bl − = ⊥ alors retourner ⊥
sinon
retourner (Q, (>, ⊥) ; grds(bl + ))⊕
(Q, (⊥, >) ; grds(bl − )) fin si
fin si fin si
6 R´ esultats exp´ erimentaux
Les algorithmes d´ ecrits dans les sections pr´ ec´ edentes ont ´ et´ e d´ evelopp´ es en Prolog pour s’assurer (en plus des preuves) de leur fonctionnement et sont accessibles sur notre site web. Seul l’algorithme search certif qbf a ´ et´ e int´ egr´ e dans une application d´ evelopp´ ee en C/C++. Pour nos tests, nous avons utilis´ e, pour al- gorithme orient´ e recherche ` a ´ etendre, un algorithme de propagation bool´ eenne quantifi´ ee [13] dont l’im- pl´ ementation est en C/C++ et dont nous avons ˆ ot´ e toutes les optimisations de la recherche qui modifient l’ordre des variables (nous n’avons conserv´ e que la monotonie). Les sat-certificats ont ´ et´ e impl´ ement´ es grˆ ace aux diagrammes de d´ ecision binaires [4] (BDD).
Les BDD sont utilis´ es pour repr´ esenter de fa¸ con com- pacte et explicite des fonctions bool´ eennes. La librai- rie CUDD [10] permet entre autre la manipulation de BDD et offre un large assortiment d’op´ erations sur les BDD et de m´ ethodes de r´ eordonnancement des variables. Les BDD utilis´ es sont r´ eduits et ordonn´ es (ROBDD), ainsi toutes les fonctions bool´ eennes repr´ e- sent´ ees poss` ede le mˆ eme ordre sur les variables (BDD ordonn´ es) et deux BDD repr´ esentant la mˆ eme fonction poss` ede une unique repr´ esentation canonique (BDD r´ eduits). L’algorithme ´ etendu ´ etant pour des formules non-CNF, nous avons test´ e sur la s´ erie de benchmarks au format QBF 1.0 de la comp´ etition QBFEVAL’08 4 . Malheureusement, cette s´ erie de benchmarks n’a pour alternance de quantificateurs qu’uniquement ∃∀ et le sat-certificat s’apparente alors ` a un mod` ele pour SAT.
Nous rapportons dans le tableau ci-dessous les r´ esul- tats les plus significatifs des temps en secondes pour le test de validit´ e uniquement, pour le test de vali- dit´ e plus la construction du sat-certificat ainsi que le sur-coˆ ut en pourcentage (∆%) ; pour les autres bench- marks r´ esolus, le temps de calcul est trop n´ egligeable pour que les diff´ erences soient significatives.
Benchmark recherche recherche+ ∆%
certificat
counter4 16 656.950s 691.942s 5.3%
ring4 5 206.846s 208.461s 0.8%
ring5 4 60.262s 61.774s 2.5%
ring6 4 42.108s 46.137s 9.5%
semaphore4 4 16.501s 18.522s 12.2%
Le benchmark counter4 16 est particuli` erement in- t´ eressant car il est le seul ` a ˆ etre non valide : dans ce cas les calculs li´ es ` a la construction du sat-certificat se sont r´ ev´ el´ es inutiles et le sur-coˆ ut est de 5.3%.
4
http ://www.qbflib.org/
7 Conclusion
Cette ´ etude r´ epond au soucis de mieux comprendre les certificats pour les QBF et de les int´ egrer dans les algorithmes orient´ es recherche. Nous avons d´ ecrit quelques r´ esultats pratiques simplement pour d´ emon- trer le caract` ere r´ ealisable de la d´ emarche. Nous avons pr´ esent´ e la notion de base litt´ erale pour les QBF ainsi qu’un ensemble d’op´ erations et de propri´ et´ es qui s’y rapportent ; les principales applications de cette notion sont dans le cadre des algorithmes orient´ es recherche pour les QBF :
– l’extension ` a tout algorithme orient´ e recherche du calcul d’un sat-certificat pour une QBF ;
– l’extension ` a tout algorithme orient´ e recherche du calcul d’une base litt´ erale dont l’interpr´ etation est
´
equivalente (au sens de la conservation des fonc- tions de Skolem) ` a la QBF.
Dans [1] la construction du sat-certificat se fait par une analyse a posteriori d’une trace relativement diffi- cile ` a suivre 5 tandis que notre construction se fait au court de l’ex´ ecution de l’algorithme orient´ e recherche : ceci est notre principal diff´ erence et notre principal apport pour ce qui concerne les sat-certificats. En ce qui concerne le processus de compilation sous-jacent
`
a l’algorithme search certif qbf , il serait sans doute int´ eressant de le mettre en perspective avec celui d´ e- crit pour les QBF de complexit´ e uniquement ∀∃ de [6].
Nous souhaitons aussi mettre ce travail en perspective avec celui sur la compilation des bases de connaissance propositionnelles [7] : en particulier, le langage de com- pilation des P k et N k de la d´ efinition 1 n’est pas ´ evo- qu´ e et est bien sˆ ur d’un int´ erˆ et crucial dans une ´ etude plus pouss´ ee. Enfin nous souhaitons comparer notre approche avec d’autres qui consisteraient ` a compiler directement les s´ equences de fonctions de Skolem.
Sur le plan pratique, ce travail peut naturellement ˆ etre ´ etendu par
– une exp´ erimentation plus pouss´ ee sur des QBF de niveau de complexit´ e plus ´ elev´ e,
– une int´ egration dans un algorithme orient´ e re- cherche bas´ e sur des formules CNF,
– une adaptation de la librairie CUDD pour int´ egrer le retour arri` ere inh´ erent aux algorithmes orient´ es recherche.
R´ ef´ erences
[1] M. Benedetti. Extracting Certificates from Quan- tified Boolean Formulas. In Proceedings of 9th
5
