Programmation Logique par Contraintes

Programmation Logique par Contraintes

CHIP

P.De Loor

Plan

• Limites de la programmation

logique

Limites de la

programmation logique

Petit programme prolog

fact(0,1).

fact(X,Y):- X2 is X-1, fact(X2,Z), Y is Z*X.

?- fact(3,X).

X = 6

?- fact(Y,6).

[WARNING: Arguments are not sufficiently instanciated]

Limites de la

programmation logique

« is » n ’est pas qu ’une unification

copie(X,Y):- X is Y.

?- copie(X,56).

[WARNING: Arguments are not sufficiently instanciated]

Exception: ( 9) _L169 is _G127 ?

Limites de la

programmation logique

Prolog ne « raisonne » pas sur les opérations

fact(0,1).

fact(X,Y):- X2 = X-1, fact(X2,Z), Y = Z*X.

?- fact(3,X).

: :

Call: (11)fact(3-1-1-1, _L195) ? creep Call: (12) 3-1-1-1==0 ? creep

Fail: (12) 3-1-1-1==0 ? creep

Limites de la

programmation logique

Petit programme CHIP

fact(0,1).

fact(X,Y):- X ^> 0,

X2 ^= X-1, fact(X2,Z), Y ^=Z*X.

?-fact(5,X).

X=120 ?

?-fact(120,Y).

Y=5 ?

Limites de la

programmation logique

Optimiser ?

maximiser(, Min, Max, Val ):- X==Max,

Y is Val.

Généralités sur la PLC

Origines

Généralités sur la PLC

Domaines d ’applications

Généralités sur la PLC

• Ré-utilisation de la

programmation logique, syntaxe prolog.

• CLP(X) concepts : J.L Lassez et J. Jaffar 87.

• Preuves :

- Les solutions trouvées sont correctes.

- Toutes les solutions sont trouvées.

CHIP

généralités

• Version industrielle de la PLC

• Prolog + contraintes

• Société COSYTEC

• Contraintes sur Domaines

• Contraintes sur Rationnels

• Contraintes Booléennes

• Classes

• Interface Oracle, C, Xwindows

• Concurrents : ILOG-SOLVER,

PROLOG IV

Domaines finis : Applications Types

• Emplois du temps

• Planification (capacités finies)

• Placement d ’objets ou de formes

• Optimisation de stratégies (jeux)

• Coloriage de cartes

• Optimisation de parcours

• Problème d ’assignation

Contraintes sur les domaines finis

• Un domaine

– est une variable X

– peut avoir plusieurs valeurs entières.

– le nombre des valeurs est fini.

– possède des bornes min et max

• Les contraintes peuvent être

– arithmétiques,

– symboliques,

Contraintes sur les

domaines finis : exemple

• Puzzle Cryptarithmétique S E N D

+ M O R E --- M O N E Y

• Chaque caractère est un chiffre (0..9)

[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: 0..9

Contraintes sur les

domaines finis : exemple

• Les contraintes :

• Tous les chiffres sont différents

alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y])

• Les nombres ne commencent pas par 0.

S^\=0, M^\=0

• L ’addition doit être satisfaite.

1000*S + 100*E + 10*N + D + 1000*M + 100*O + 10*R + E ^=

10000*M + 1000*O + 100*N + 10*E

Contraintes sur les

domaines finis : exemple

crypt :-

[S,E,N,D,M,O,R,Y]::0..9,

alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y]), S#\=0, M#\=0,

1000*S + 100*E + 10*N + D + 1000*M + 100*O + 10*R + E #=

10000*M + 1000*O + 100*N +10*E + Y,

labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y],0,first_fail, indomain), % vu après

writeln([S,E,N,D,M,O,R,Y]).

allSolutions :-findall(_,crypt,_).

Définition de domaines finis

• X est compris entre 1 et 10 X::1..10

• Liste de variables

[X1,X2,X3]::1..10

• Limite des domaines entre 0 et

100000 (couteux)

Types de domaines finis

• Suite d ’entiers consécutifs X::A..B,

(explicitement représentés en mémoire)

• Ensemble de valeurs

X::[V1, V2, V3],

(restriction a priori de domaine : grande liste = couteux)

• Intervalles

X::A:B,

(Seuls le min et le Max sont mis à jour)

(très peu couteux pour des grands domaines)

(impossibilité d ’enlever des valeurs intermédiaires)

Domaines : exemples

• wflags(64).

?- X::1..5.

X = X in {1..5} ?

?- X::1:5.

X = X in [1..5] ?

?- X::[5,9,2] ?

X = X in {5,9,2} ?

Termes linéaires sur des domaines finis

• Un entier naturel (c)

• Un domaine (X)

• c * X ou X * c

(c : entier, X : variable)

• X + Y

• Pas de négatifs ni de signes « - »

dans un terme.

Prédicats d ’information sur les variables

• integer(X)

– réussit si X est un entier

• dvar(X)

– réussit si X est une variable à domaine fini

• dvarint(X)

– réussit si X est un entier ou une

variable à domaine fini.

Unification sur les domaines finis

• Domaine X et variable « libre » Y

– Y devient un domaine équivalent à X.

• Domaine X et entier c

– si c appartient au domaine, X devient l ’entier c – sinon échec de l ’unification (fail)

• Domaine X et Domaine Y

– calcul de leur intersection – si intersection vide, échec

– si l ’intersection est une valeur, X et Y deviennent un entier de cette valeur

– si l ’intersection est un ensemble, les domaines de X et Y sont réduits à cet ensemble

Contraintes

arithmétiques sur les domaines

X, Y : domaines

c : variable entière X #< Y

X #<= Y X #> Y X #>= Y X #= Y X #\= Y

X #\ Y + c

arithmétiques sur les domaines

• distance(X,Y,Comp,Dist)

– distance : |X-Y|

– Comp : (>,=,<) – Dist : entier

• notin(X, From, To)

– les valeurs de X ne sont pas entre From et To .

X::1..10, notin(X,5,9) . X = X in {1..4,10}?

X::1:10, notin(X,5,9).

No (more) solutions.

Contraintes symboliques sur les Domaines

allDifferent(List) atleast(N,List,V)

– au moins N de List ont la valeur V

atmost(N,List,V)

– au plus N de List ont la valeur V

maximum(X,List)

– le domaine X possède la plus grande valeur de List.

circuit(L),

- les éléments de L doivent être un circuit Hamiltonien.

38?- length(L,5), L::1..5, circuit(L),

labeling(L,0,first_fail,indomain).

L = [2, 3, 4, 5, 1] ? ; L = [2, 3, 5, 1, 4] ? ; L = [2, 4, 1, 5, 3] ? ; L = [2, 4, 5, 3, 1] ? ; L = [2, 5, 1, 3, 4] ? ; L = [2, 5, 4, 1, 3] ? ; ...

Contraintes symboliques sur les domaines

1 2

4

5

3

Contraintes symboliques sur les domaines

element(Index, List, Value)

X::0..10, element(X,[3,5,9],C).

X

X in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

C

C in <2,5,8>

Prédicats de Choix

indomain(X)

– choix d ’une valeur de X

– par défaut : commence par la plus petite valeur du domaine.

indomain(X,Method) Method :

- min (idem que indomain/1 ) - max (la plus grande)

- middle

- 3 (un entier )

ex1(X,Y,Z):-

[X,Y,Z]::1:100, X #> Y+10,

Y #> Z + 25, indomain(X).

97?- ex1(X,Y,Z).

X = 38 Y = 27 Z = 1 ? ;

1 call(s) delayed X = 39

Y = Y in [27..28]

Z = Z in [1..2] ? ;

1 call(s) delayed X = 40

Exemple

Prédicats de choix

• Assigner une liste de valeur ?

Labeling([]).

Labeling([H|T]):- indomain(H),

labeling(T).

– Dans quel ordre évaluer les variables ?

– Quelles valeurs tester ?

Prédicats de choix

Labeling(List,Arg,Method,Pred) List : liste des variables ou terms

Arg : 0 pour liste de variable

n° du terme si liste de term

Method : voir page suivante Pred : prédicat d ’affectation,

généralement indomain mais possibilité de

configuration

Prédicats de choix

• Les heuristiques (Méthodes) d ’ordre d ’affectation :

first_fail variable de plus petit domaine, théoriquement plus rapide (petit arbre de

recherche)

most_constrained comme

first_fail mais si conflit, préférer la

variable intervenant le plus souvent dans les

contraintes, solution performante.

Prédicats de choix

smallest variable ayant la plus petite valeur de son domaine : économiser de la mémoire.

Largest l ’inverse de smallest, utiliser si l ’on connaît une valeur max possible (?) max_regret variable ayant la plus grande

différence entre la plus petite et la 2ème plus petite valeur de son domaine ->pour les variables de type cout, ce critère est une bonne mesure du « travail » qu ’il rest à

faire (convergence).

Exemple

top(L,N):-

length(L,N), L::1..N,

alldifferent(L),

labeling(L,0,first_fail, indomain).

99?- top(L,7).

L = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ? ; L = [1, 2, 3, 4, 5, 7, 6] ? ; L = [1, 2, 3, 4, 6, 5, 7] ? ; L = [1, 2, 3, 4, 6, 7, 5] ? ...

Prédicats d ’opimisation

• Recherche la meilleur solution

• Recherche rapide

min_max(Goal, C)

Goal : prédicat à satisfaire C : liste de couts

minimise la valeur de C.

Prédicats d ’optimisation

Accélérer la recherche :

min_max(Coal, C, lower, Upper)

Une solution inférieure à lower peut être considérée optimale.

Une solution supérieure à Upper ne peut l ’être

. min_max(Coal, C, lower, Upper,

Percent)

fixe un pourcentage Percent minimum entre deux solutions qui se suivent dans la recherche.

min_max(Coal, C, lower, Upper, Percent, Timeout)

la recherche s ’arrête après Timeout secondes

Exemple

top :-

X::1..10, Y::1..10, X+2 #< Y,

min_max(labeling([X,Y],0,first_fai l,indomain),X+Y).

108?- top.

THE SOLUTION IS

labeling([1, 4], 0, first_fail, indomain)

ITS COST IS 5

min_max -> proven optimality

Exemple

travel(Cities, Costs) :-

Cities=[X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7], Costs = [C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7],

Cities::1..7,

element(X1,[0,205,377,581,461,878,345], C1), element(X2,[205,0,882,427,390,1105,540], C2), element(X3,[677,882,0,619,316,201,470], C3), element(X4,[581,427,619,0,412,592,570], C4), element(X5,[461,390,316,412,0,517,190], C5), element(X6,[878,1105,201,592,517,0,69], C6), element(X7,[345,540,470,570,190,691,0], C7), circuit(Cities),

min_max(labeling(Costs,0,max_regret,indomain),C1 +C2+C3+C4+C5+C6+C7).

• Xi sera la ième ville visitée

• Ci représente le coût pour aller de la ville i a j.

Exemple : pour aller de la ville 2 à la ville 3 ça

coute 882

Exemple

29?- travel(Citees,Cout).

THE SOLUTION IS

labeling([377, 205, 201, 427, 412, 69, 190], 0 ITS COST IS 1881

--- min_max -> proven optimality

Citees = [3, 1, 6, 2, 4, 7, 5]

Cout = [377, 205, 201, 427, 412, 69, 190] ? ; no (more) solutions

1 3

6 7 5

4 2

377 201

69

412 190 427

205

Contraintes globales sur domaines

diffn(+ListOfRectangle)

– Les rectangles ne doivent pas se chevaucher.

– Leur position et leur taille sont des domaines

diffn([[1,1],[3,2],[5,3]]).

– « Rectangles » à n-dimension (hypercubes)

– contraintes sur les volumes, les distances, les régions :

diffn(+Rectangles, +Min_volume, +Max_volume, +End, +Distances, +Regions)

1 2 3 4 5 6 7 8

début taille

Contraintes globales sur Domaines

• Contraintes cumulatives

– entre ensembles de domaines – basée sur un élément : tache

– répartitions (temporelle, 2D, 3D)

– 20 méthodes de résolutions conjointes

cumulative(Starts, Duration,

Resources, Ends, Surfaces, High, End, Intermediate, Interruption).

Exemple de tâche i

Taux d ’utilisation Hi

Contraintes globales sur Domaines

Exemple d ’utilisation simplifiée :

Si, Di et Ri sont des domaines à définir.

cumulative([S1,S2,…Sn], [D1,D2,…,Dn], [R1,R2,…,Rn], unused, unused,

Limit, End, unused unused).

A tout instant  Ri  Limit

Limit

End

• Contraintes de précédence

– precedence/5 – cumulative + #<=

• Contraintes de cycle

– cycle/2 à cycle/12 – exemple

49?- length(L,3), L::1..10, cycle(2,L), labeling(L,0,first_fail,indomain).

L = [1, 3, 2] ? ; L = [2, 1, 3] ? ; L = [3, 2, 1] ? ;

Contraintes globales sur Domaines

1

2

1

2

Contraintes globales sur domaines

Among/5

Nombre d ’occurrence de valeur dans une suite de domaines :

[X1,X2,X3, X4,X5]::1..4, K::1..5, among([1,2,K],

[X1,X2,X3,X4,X5],[0,0,0,0,0], [[1,2],[3],[1,3,4]],all),

1 ou 2 apparaissent 1 fois 3 apparaît 2 fois

1,3,4 apparaissent entre 1 et 5 fois

Contraintes globales sur les domaines

Utilisation de among

top:-

[X1,X2,X3, X4,X5]::1..4, K::1..5,

among([1,2,K],[X1,X2,X3,X4,X5], [0,0,0,0,0],[[1,2],[3],

[1,3,4]],all),

labeling([X1,X2,X3,X4,X5],0,most_c onstrained,indomain),

writeln([X1,X2,X3,X4,X5]).

94?- top.

[1, 3, 3, 4, 4]

Prédicats d ’information sur les domaines

dom(X,L)

top(L):-

X1::1..4, X1#\=2,

dom(X1,L).

37?- top(L).

L = [1, 3, 4] ?

39?- X::1..4, indomain(X), dom(X,L).

X = 1

L = [1] ? ; X = 2

L = [2] ? ;

Prédicats d ’information sur les domaines

domain_info(X,Min,Max,Size,Occ urrence,Active)

43?- X::1..4, X#\=3,

domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA).

X = X in {1..2,4}

Mn = 1 Mx = 4 S = 3

NbO = 0 %nb de contraintes où X est utilisée NbA = 0 ? %nb contraintes utilisant X non

résolues

sur les domaines

46?- X::1..4, Y::2..6, X#\=3, X#>=Y, domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA).

1 call(s) delayed X = X in {2,4}

Y = Y in {2..4}

Mn = 2 Mx = 4 S = 2 NbO = 1 NbA = 1 ?

47?- X::1..4, Y::2..6, X#\=3, X#>=Y,

indomain(Y), domain_info(X,Mn,Mx,S,NbO,NbA).

X = X in {2,4}

Y = 2 Mn = 2 Mx = 4 S = 2 NbO = 1 NbA = 0 ?

Prédicats d ’information

is_in_dom(X,V).

Réussi si la valeur V se trouve dans le domaine X

pc(Term).

Affiche toutes les contraintes actives sur

toutes les variables du term Term

Méthodes de recherche partielles

• Propagation conditionelle

If Cond then Pred1 else Pred2

Cond doit etre satisfait pour toutes les valeurs des domaines concernés.

• Démons de mise à jour

touched(Callback, Var, Info, Type) le prédicat Callback(Var,Info) sera appelé

lorsque la condition Type sera satisfaite (souvent utilisé avec la bibliothèque graphique XGIP)

Contraintes Rationnelles

• Les variables sont continues (nombre infini de valeurs)

• Résolution type simplex, Gauss

• Domaine d ’application

– Problèmes mathématiques

– Problèmes financiers (analyse d ’emprunt)

– utilisé de façon complémentaire

aux contraintes sur domaines

Définition de variables rationnelles

• Nombre rationnel = rapport de deux entiers a/b

• Variable rationnelle :

– toute variable utilisée dans une contrainte rationnelle est une variable rationnelle.

– Déclaration explicite :

positive(X)

allpositive(List).

Termes rationnels

• Entier ou nombre rationnel

• Variable rationnelle

• t1+t2, t1-t2 (ti sont des termes)

• -t (t est un terme)

• c*t, t*c, t/c (t : terme, c : nombre

entier ou rationnel)

Tests de type

rational(X)

réussit si X est un nombre rationnel rvar(X)

réussit si X est une variable rationnelle pvar(X)

réussit si X est une variable rationnelle positive

rlinear(X)

réussit si X est un term rationnel

linéaire

Contraintes

arithmétiques sur les rationnels

X, Y : termes rationnels

X^=Y X^>=Y X^<=Y X^>Y X^<Y

power(X,Pow,Y)( Pow : entier)

ne permet pas le calcul des racines nième (pas des rationnels)

sqrt(X,Y)

Optimisation pour termes rationnels

rmax(X)

utilisation du simplex pour trouver la valeur maximum de X

rmin(X)

valeur maximum de X

rmax2(X,Limit)

Limit est unifiée à la valeur maximum

de X, X n ’est pas unifiée.

Exemple

• Page 61 user ’s guide

Regrouper plusieurs contraintes

• But : optimiser la résolution

linear_block(List)

exemple page 62 user guide

Trouver les solutions entières

• Plus rapide que les domaines, mais moins de type de contraintes

cutting(?Obj, +List, -Ncuts,+Time) Obj : terme rationnel à minimiser

List : liste de variables

Ncuts : nombre de contraintes supplémentaires générées

Time: entier non utilisé

Arrondis et conversion

CHIP

Les classes