Deux Fragments Polynomiaux Complets pour le problème de la validité des Formules Booléennes Quantifiées

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Deux Fragments Polynomiaux Complets pour le problème de la validité des Formules Booléennes

Quantifiées

Florian Letombe

To cite this version:

Florian Letombe. Deux Fragments Polynomiaux Complets pour le problème de la validité des For-

mules Booléennes Quantifiées. Deuxièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes

(JFPC06), 2006, Nîmes - Ecole des Mines d’Alès / France. �inria-00085779�

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Deux fragments polynomiaux omplets pour le

problème de la validité des formules booléennes

quantiées

Artile JeuneCherheur JFPC'06

Florian Letombe

Centre de Reherhe en Informatique de Lens, CNRS FRE 2499

Faulté des Sienes Jean Perrin

Université d'Artois

F-62307, Lens Cedex, Frane

letomberil.univ-artois. fr

Résumé

Dansetartilenousmettonsenévidenedeuxfrag-

mentspropositionnelsompletsduauxOCNF<^et^ODNF<

qui onstituentrespetivement des sous-ensemblesdes

formules propositionnelles CNF et DNF. Chaun de es

fragments permet l'élimination des quantiations en

temps polynomial omme une loi interne sur le frag-

ment. Grâeàettepropriété,leproblèmedelavalidité

desformulesbooléennesquantiéespeutêtredéidéen

tempspolynomiallorsquelamatriedel'instanetraitée

appartientàl'undesdeuxfragmentsonsidérés. Surle

plan pratique, nous montrons que, ontrairement àe

quisepassepourlesinstanesquantiéesissuesd'autres

lasses polynomiales pour SAT, omme elles des for-

mulesHornCNFouplusgénéralementdesformulesHorn

renommables CNF,lesprouveurs QBFexistantsexhibent

empiriquementunomportementpolynomialsurlesin-

stanesOCNF<^quantiées.

Abstrat

Inthispaper,twoompletedualpropositionalfrag-

mentsOCNF<ândÔDNF<^,^whihârerespetivelysubsets ofCNFandDNFpropositionalformulae,arepointedout.

Eah ofthose fragmentsallowquantiation'selimina-

tioninpolynomialtimeas aninternallaw inthefrag-

ment. Fromthisproperty,thevalidityproblemforquan-

tied Boolean formulae an be deided in polynomial

timewhenthe instane's matrixbelongstoany ofthe

two onsidered fragments. From a pratial point of

vue, we show that, ontrariwise to what happens for

quantied instanes from other polynomial lasses for

SAT,likeHornCNF or, moregenerally,renamableHorn

CNFfromulae,state-of-the-artQBFsolversexhibitempir-

iallyapolynomialbehaviourwhendealingwithquanti-

edOCNF< ^instanes.

1 Introdution

val(QPROPP S^),^le^problème^de^validité^pour^les^QBFs^a

uneimportaneroissanteenIA.Celapeuts'expliquer

par le fait que, en tant que problème PSPACE-

ompletanonique,denombreuxproblèmesd'IApeu-

vent être réduits à val(QPROPP S⁾ ^de ^manière ^poly-

nomiale (f. [10, 11, 4, 27, 24, 25℄) ; de plus, pour

diérents domaines de l'IA (parmi lesquels la plan-

iation, le raisonnement non monotone, l'inférene

paraonsistante),une approhebaséesurune tradu-

tion vers QBF peut se révéler plus eae que

desalgorithmesdédiés. Paronséquent,denombreux

prouveurs QBF ont été onçus (f. prinipalement

[5, 28, 12, 29, 15, 22, 30, 3, 14, 26, 2℄) et évalués

esdernièresannées [21,20℄.

val(QPROPP S⁾^est^un^problèmealulatoirementdif- ile,aussibien enthéoriequ'enpratique. Lesméth-

odesbaséessurlanotionderestritionomptentparmi

elles permettant d'augmenter l'ensemble d'instanes

traitablesenpratique. L'idéeléestdereonnaîtreles

instanes pour lesquelles des algorithmes spéiques

peuvent fournir une solution beauoup plus eae-

ment que les prouveurs QBF généraux. Plusieurs re-

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(3)

stritions traitables de QBF ont déjà été identiées.

[1,13℄montrentqueleproblèmedelavaliditépourles

formulesde Kromquantiées est déidable en temps

polynomial. [17℄ontprouvéqueleproblèmedelava-

lidité des formules HornCNF quantiées forment une

restritiontraitablede QBF. Par onséquent, le prob-

lèmedelavaliditédesformulesHornrenommablesCNF

quantiéessontégalementdéidablesdefaçonpolyno-

miale.

Leprinipal objetif deet artile est deprésenter

deux nouvelles lasses polynomiales omplètes pour

val(QPROPP S⁾ ^: ÔCNF< êt ÔDNF<^. ^Ces ^deux ^frag-

mentssontrespetivementdessous-ensemblesdesfor-

mulespropositionnellesCNFet DNF,quisontdes frag-

mentsiblespourlaompilationdeonnaissanes.

L'objetifestégalementd'approfondiretteétudedes

nouveaux fragments en omparant le omportement

desprouveursQBFatuels surde telsfragmentsom-

plets ave le omportement de es mêmes prouveurs

surdesfragmentsinompletsmaispolynomiauxpour

val(QPROPP S^).

La suite de et artile est organisée omme suit.

Quelquespréliminaires formelssur lesQBFssontdon-

nés au paragraphe 2. Les fragments polynomiaux

omplets et inomplets onsidérés, parmi lesquelsles

deux nouvelles lasses polynomiales dérites dans e

papier, sont présentés au paragraphe 3. Le para-

graphe 4 dérit les résultats expérimentaux obtenus

surertainesdeslassesétudiéesetuneanalysedesdif-

férenesexpérimentales observéesentre lesfragments

polynomiaux omplets et les fragments polynomiaux

inomplets. Enn, le paragraphe5 onlut le papier

etdonnequelquesperspetives.

2 Formules Booléennes Quantiées

Dénition1(Syntaxe des QBFs) SoitPSunen-

semble ni de symboles propositionnels (aussi ap-

pelés variables). L'ensemble QPROPP S ^de ^formules

booléennes quantiées (QBFs) sur PS est le plus petit

ensembledemotsdénisindutivementommesuit 1

:

1. vrai^,f aux^et^haque^variable ^de ^PS^appartient^à

QPROPP S ^;

2. si φ ^et ψ appartiennent à QPROPP S^, ^alors (¬φ)^, (φ∧ψ)^, (φ∨ψ)^, (φ ⇒ ψ)^, (φ ⇔ ψ)^, (φ⊕ψ)

appartiennentàQPROPP S ^;

3. siφ âppartient ^à^QPROPP S êt xâppartient ^à ^PS,

alors(∀x.φ)^et(∃x.φ)appartiennentàQPROPP S^.

1

An de simplier la syntaxe, nous nous permettons

d'omettre des parenthèses lorsque ela n'a auun impat sur

lasémantique.

Les ourrenes de variables propositionnelles x

dans une formule Σ ^de ^QPROPP S ^peuvent ^être ^parti-

tionnées en trois ensembles : les ourrenes quan-

tiées,liéesetlibresdex^. ^Les^ourrenes^quantiées

sontelles apparaissant dans une quantiation, i.e.,

justeaprèsunquantiateur∀^ou∃^. ^Dans^toute^sous-

formule∀x.φ^(resp. ∃x.φ⁾^deΣ^,^toutes^les^ourrenes

dex^dansφ^sont^liées^;^de^telles^ourrenes^dex^sont

ditesdansla portéede laquantiation∀x^(resp. ∃x^).

Enn, toutes les ourrenes restantes de x ^dans Σ

sontlibres.

V ar(Σ) ^est ^l'ensemble ^des ^variables apparaissant

dansΣ^. Ûne^variablex^deV ar(Σ)êst^libre^siêt^seule-

mentsixâûneôurrene^libre^dansΣ^.

Une formule Σ ^est ^dite ^polie ^si ^et ^seulement ^si

haqueourreneliéed'unevariablex^deV ar(Σ)^est

dans la portéed'un quantiateur unique, et haque

variable libre n'a pas d'ourrene liée. Une for-

mule Σ ^est ^dite ^sous ^forme ^prénexe ^si ^et ^seulement

siΣ =Qx¹(. . . Qxn(φ). . .)^où^haque^ourrene^deQ

vaut soit ∀^, ^soit ∃^, ^et φ^ne ^ontient^pas ^d'ourrene

quantiée de variable. φ ^est ^la ^matrie ^de Σ ^et ^la

suite Qx1. . . Qxn ^de quantiations est le préxe de

Σ^. Ûne^formule êst^dite^fermée ^siêt ^seulement^si êlle

ne ontient pas de variable libre. Le sous-ensemble

deQPROPP S^ne^ontenant^que^des^formules^sans^quan-

tiation est noté PROPP S^. ^Un sous-ensemble impor- tantdePROPP S ^est^le^fragment^des^CNFs^(Formes^Nor-

malesConjontives)ontenantlesonjontions(nies)

delauses. UneformuleenCNFestsouventvueomme

un ensemble de lauses. nf et DNFsont desas spé-

iques deformes normales négativesouNNFP S ^:

uneformuleest ditesousNNFP S^lorsque ^les^seuls^on-

neteursbinairesqu'elleontientsont∧^et∨^et^que^la

portéede haqueourrene du onneteur de néga-

tion¬^est^réduite^à^un^symbolepropositionnel.

Dénition2 (NNFP S⁾ ^NNFP S ^est ^le sous-ensemble de PROPP S ^déniindutivementpar :

• vrai,faux ∈^NNFP S^,

• ^six∈V^,^alors x,¬x∈^NNFP S^,

• ^siΣ,Ψ∈^NNFP S^,^alors(Σ∧Ψ),(Σ∨Ψ)∈^NNFP S^.

Pour haque formule booléenne quantiée Σ ^et

haquevariable x^, Σx←0 ^(resp. Σx←1⁾^désigne^la^for-

muleonditionnéeàfaux(resp. vrai)obtenueenrem-

plaçanthaqueourrenelibredex^dansΣ^parfaux

(resp. vrai^).

Dénition3 (Sémantiquedes QBFs) Soit I ^une

interprétation sur PS (i.e., une appliation de PS

dans BOOL = {0,1}^). ^La ^sémantique ^d'une ^for-

mule booléenne quantiée Σ ^de ^QPROPP S ^dans I ^est

(4)

la valeurde vérité[[Σ]](I)^deBOOL^dénie^indutive-

mentommepour lesformules propositionnelles, àla

diérene près que la dénition ontient deux règles

supplémentaires :

• ^siΣ =∀x.φ^,

alors [[Σ]](I) =min({[[φx←0]](I),[[φx←1]](I)})^.

• ^siΣ =∃x.φ^,

alors [[Σ]](I) =max({[[φx←0]](I),[[φx←1]](I)})^.

UneinterprétationI êstâppelée^modèle^deΣ^,^notée I |= Σ^,^si êt^seulement^si[[Σ]](I) = 1^. ^Si Σâûn^mod-

èle,elleestsatisable;sinon,elleestontraditoire. Si

touteinterprétationI^sur^PSêstûn^modèle^deΣ^,Σêst

valide. Sitout modèledeΣêstûn^modèle^deµ^,âlors µêstûneônséquene^logique^deΣ^,^notéeΣ|=µ^. Ên-

n,lorsqueΣ|=µêtµ|= Σ^,Σêt µ^sontéquivalentes, noté Σ≡µ^. ^La^dénition ³^montre ^que^tous^lesôn-

neteurs (yompris les quantiations que l'on peut

voirommedesonneteursunaires)sontvérifontion-

nelsdanslesensoùlasémantiqued'uneQBFdansune

interprétationI^ne^dépend^que^de^la^sémantique^de^ses

sous-formulesdansI^. ^La^nature vérifontionnelle des onneteurssutiiàénonerun(méta)théorèmede

substitution pour les QBFs: remplaer dans une QBF

unesous-formuleparuneformuleéquivalentepréserve

l'équivaleneavelaQBFdedépart.

Comme enlogique propositionnelle, onaΣ|=µ ^si

etseulementsilaformule(Σ∧¬µ)êstînohérente^siêt

seulementsilaformule(Σ⇒µ)êst ^valide. Ênôutre,

le problème de la satisabilité d'une QBF Σ ^oïnide

ave elui de la validité de sa fermeture existentielle

∃V ar(Σ).Σ^.

D'autresméta-théorèmesintéressantssont:

Proposition1 Soient Σ^, Ψ ^des ^formules ^de

QPROPP S ^etx^,y ^des^variables ^de ^PS.

1. ∀x.Σ≡Σx←0∧Σx←1^.

2. ∃x.Σ≡Σx←0∨Σx←1^.

3. ∀x.Σ≡ ¬(∃x.(¬Σ))^.

4. Si x^n'est^pas^libre^dansΣ^,

alors ∀x.Σ≡ ∃x.Σ≡Σ^.

5. ∀x.(Σ∧Ψ)≡(∀x.Σ)∧(∀x.Ψ)^.

6. ∃x.(Σ∨Ψ)≡(∃x.Σ)∨(∃x.Ψ)^.

7. ∀x.(∀y.Σ)≡ ∀y.(∀x.Σ)^.

8. ∃x.(∃y.Σ)≡ ∃y.(∃x.Σ)^.

9. Si x ^n'est ^pas ^libre ^dans Σ^, ^alors ∀x.(Σ∨Ψ) ≡ Σ∨(∀x.Ψ)^.

10. Si x ^n'est ^p^as ^libre ^dans Σ^, ^alors ∃x.(Σ∧Ψ) ≡ Σ∧(∃x.Ψ)^.

Apartirdesméta-théorèmesdonnésenproposition

1etlethéorèmedesubstitution,ilestaisédeprouver

quetouteQBFpeutêtretransforméeentempspolyno-

mialenuneformuleéquivalentesousformeprénexeet

polie(lesvariablesliéespeuventêtrerenomméessans

eetsur l'équivalene). Puisqu'il est possiblede per-

muterdeuxquantiationssuessivesdelamêmena-

ture(i.e., universelles ouexistentielles) dans une QBF

prénexe sans eet sur l'équivalene, pour tout sous-

ensembleni,non videS ={x¹, . . . , xn} ^de^PS,^nous

notons ∀S.φ ^(resp. ∃S.φ⁾ ^pour ^désigner ^plus ^simple-

ment∀x¹.(. . .∀xn.φ . . .)^(resp. ∃x¹.(. . .∃xn.φ . . .)^).

Le problème val(QPROPP S⁾ ^est ^souvent ^déni

ommesuit.

Dénition4 (val(QPROPP S⁾⁾ ^val(QPROPP S⁾^est^le

problème de déision suivant:

• ^Entrée^: ^Une ^formule^sous^forme^prénexe, ^polie,

ferméeΣ^de ^QPROPP S ^;

• ^Question^: Σ^est-elle^valide ^?

Plusgénéralement,nousutilisonslesnotationssuiv-

antes.

Dénition5 (Notations) SoitC ⊆ ^PROPP S^.

Onnote:

• ^QC ^le sous-ensemble de QPROPP S ^formé ^des ^for-

mules prénexes, fermées, polies dont la matrie

estdansC^.

• ^v^al(QC⁾ ^est^le^problème^de ^déision^suivant^:

Entrée: Une formuleΣ ^de^QC ^;

Question: Σ^est-elle^valide ^?

3 Fragments polynomiaux

Dans la suite, un fragment propositionnel est dit

traitable pour val(QPROPP S⁾ ^si ^et ^seulement ^si

l'appartenane à e fragment peut être déidée en

temps polynomial et s'il existe un algorithme de

déision polynomial pour le problème de validité

des formules booléennes quantiées (fermées, polies,

prénexes)dontlamatrieappartientàefragment.

3.1 Fragments inomplets

Quelques lasses polynomiales inomplètes, i.e. les

fragments qui ne sont pas susamment expressifs

pourpermettrelareprésentationdetouteslesformules

propositionnelles,ontétéidentiéesjusquelàpourles

Deux fragments polynomiaux complets pour le problème de la validité des formules QBF 389

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QBFs. Nousnousfoalisonsiisurdeux d'entreelles:

lesformulesHornCNFet lesformulesHornCNFquan-

tiées.

Dénition6(Formule HornCNF)

Une formule Horn CNF est une formule CNF dont

haquelauseontientauplusunlittéral positif.

Exemple1(Formule HornCNF)

Laformule suivante estune formule Horn CNF:

(a∨ ¬b∨ ¬d)∧

(¬a∨c)∧

(¬b∨ ¬c∨d)∧

(¬a∨ ¬c∨ ¬d).

Clairement, la reonnaissane de formules Horn

CNF est polynomiale. De plus, Kleine-Büning et al.

dériventuneméthodederésolutiondesformulesHorn

CNFquantiées(laQ-unit-résolution)etmontrentque

leproblèmede validitédetelles formules parQ-unit-

résolution peut être déidé en temps O(|Σ| ×r)^, ^où r ^est ^le ^nombre ^d'ourrenes ^positives ^de ^variables

universellesdansuneformuleHornCNFΣ^[17℄.

Dénition7(Formule HornrenommableCNF)

UneformuleHorn renommableφ^est^une^formule

CNF telle qu'il existe une sous-ensemble Lφ ^des ^lit-

térauxde φ^et^une substitution 2

σ:L^PS →L^PS l 7→l^c ^sil∈Lφ

l 7→l ^sinon

telle que σ(φ)ˆ êst ûne ^formule ^Horn ^CNF. ˆσ êst

l'extension de σ ^à ^NNFP S ^dénie ^par σ(vrai) =ˆ vrai^, ˆ

σ(faux) = faux^, σ(l) =ˆ σ(l) ^si l êst ûn ^littéral êt ˆ

σ(α⊙β) = ˆσ(α)⊙σ(β)ˆ ^pour⊙ ∈ {∧,∨}^.

Intuitivement, une formule Horn renommable CNF

estune formulequipeutêtretransforméeenune for-

muleHornCNFparrenommage(i.e. passageauom-

plémentaire)deertainsdeseslittéraux.

Exemple2(Formule HornrenommableCNF)

La formule suivante est une formule Horn

renommable CNF:

(a∨b∨ ¬d)∧

(¬a∨ ¬c)∧

(b∨c∨d)∧

(¬a∨c∨ ¬d).

Ils'agitdelaformuledel'exemple1danslaquellenous

avonsrenommé lesvariables b ^etc^.

2l^cdésigneleomplémentairedel,i.e. sil=x∈PS,alors

l^c=¬xetsil=¬x∈^PS,^alorsl^c=x.

Dans [16℄, J. J.Hébrard propose unalgorithmede

reonnaissane de formules Horn renommables CNF.

Une fois un renommage R ^alulé ^(s'il ^existe) ^pour

la matrie CNF d'une formules quantiée Σ^, ^il ^sut

d'utiliserl'algorithmedeKleine-Büningetal. [17℄sur

laQBFΣ^de^matrieσˆR(Σ) ^pour^déterminer^en^temps

polynomialsilaformulesdedépartestvalideoupas.

3.2 Fragments omplets

Considéronstoutd'abordlesfragmentsduauxMODSet

CI[9℄.

Dénition8 (MODS etCI)

• ^Le^langage^MODS^est^lesous-ensembledeDNFon-

tenant des formules Σ = γ1∨. . .∨γk ^telles ^que,

pour haqueterme γi ⁽i∈1. . . k⁾ ^et^pour^haque

variable x∈V ar(Σ)^,γi ^ontient x^ou ¬x^.

• ^Le ^langage ^CI ^est ^le sous-ensemble de CNF on-

tenant des formules Σ = γ1∧. . .∧γk ^telles ^que,

pourhaquelause γi ⁽i∈1. . . k⁾^et^pour^haque

variable x∈V ar(Σ)^,γi ^ontient x^ou ¬x^.

Exemple 3(Formule MODS/CI)

(a∧b∧c)∨(¬a∧ ¬b∧c)∨(¬a∧b∧c)∨(¬a∧ ¬b∧ ¬c)

estuneformuleMODS.(a∨b∨c)∧(¬a∨ ¬b∨c)∧(¬a∨ b∨c)∧(¬a∨ ¬b∨ ¬c)^est^une ^formule ^CI.

Nousavonségalementonsidérélesdeuxfragments

propositionnels ODNF< ^et ^OCNF< ^qui ^sont ^respetive-

ment des sous-ensembles de DNF et de CNF. Soit <

un ordre total, strit sur les variables de P S = {x¹, . . . , xn}^s.t. x¹< . . . < xn^. ^Nous^dénissons^:

• ^Le ^langage ÔDNF< êst ^l' ênsemble ^de ^toutes ^les

formules DNFΣ =γ1∨. . .∨γk ^où ^haque^terme

satisable γi ⁽i ∈ 1. . . k⁾ ^de Σ ^est ^tel ^que ^pour

tout j ∈ 1. . . n^, ^si xj ^ou ¬xj ^apparaît ^dans γi^,

alors pour tout l ^tel ^que 1 ≤ l < j^, xl ^ou ¬xl

apparaîtdansγi^.

• ^Le ^langage ÔCNF< êst ^l' ênsemble ^de ^toutes ^les

formules CNFΣ =γ1∧. . .∧γk ^où^haque^lause

nontautologiqueγi⁽i∈1. . . k⁾^deΣ^est^telle^que

pourtout j∈1. . . n^,^si xj ^ou¬xj ^apparaît ^dans

γi^,^alors^pour^tout l ^tel^que1≤l < j^, xl ^ou¬xl

apparaîtdansγi^.

Exemple 4(FormuleOCNF<^/ODNF<⁾

SoitP S={a, b, c}^et<^tel^quea < b < c^. ¬a∨(a∧b)

est une formule de ODNF<^. (a∨b)∧(¬a∨b∨c) ^est

une formule de OCNF<^.