Algorithmes d'élimination de quantificateurs pour le calcul des politiques des formules booléennes quantifées

HAL Id: inria-00000078

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Submitted on 26 May 2005

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Algorithmes d’élimination de quantificateurs pour le calcul des politiques des formules booléennes quantifées

Igor Stéphan

To cite this version:

Igor Stéphan. Algorithmes d’élimination de quantificateurs pour le calcul des politiques des formules

booléennes quantifées. Premières Journées Francophones de Programmation par Contraintes, CRIL -

CNRS FRE 2499, Jun 2005, Lens, pp.79-88. �inria-00000078�

Algorithmes d'élimination de quantiateurs

pour le alul des politiques des formules

booléennes quantiées

Igor Stéphan

LERIA, Université d'Angers, 2Boulevard Lavoisier, 49045 Angers Cedex 01

igor.stephaninfo.univ-an gers .fr

Résumé

Le problème de validité d'une formule booléenne

quantiéeestunegénéralisationduproblèmedesatisa-

bilitéd'uneformulebooléenne.Lesformulesbooléennes

quantiéessontutilespourreprésenterparexempledes

stratégiesdansunjeuàdeuxjoueursmaisdansdetelles

appliations'estunesolutionauproblèmedereherhe

assoiéquiestnéessaire.Laplupartdesproéduresde

déision réentespourles formules booléennes quanti-

ées sont des extensionsde la proédure de reherhe

dite de Davis-Putnam et peuvent être aisément éten-

dues au problème de reherhe. Ce n'est pas le as

pourlesalgorithmesbaséssurl'éliminationdequanti-

ateurs.Dansetartilenousmontronsommentdesal-

gorithmesd'éliminationdequantiateurspeuventêtre

étenduspourleproblèmede reherheassoiéaux for-

mulesbooléennesquantiées.

Abstrat

ThequantiedBooleanformulaevalidityproblemis

a generalization of the Boolean formulae satisability

problem.Quantied Boolean formulaeareusefultore-

present strategies intwo-player gamesbut inthisase

solutions(ormodels)tothequantiedBooleanformula

areneeded.ThesemodelsaresequenesofSkolemfun-

tions.Mostofthereent deisionproeduresforquan-

tied Boolean formulae are extensions of the searh-

based Davis-Putnam proedure and easily extended to

omputes themodels. Itisnot the aseforquantier-

elimination algorithms. In this artile, we present how

a quantier-elimination algorithm may be extended to

omputethemodelsofquantiedBooleanformulae.

1 Introdution

Leproblèmedevaliditépourlesformulesbooléennes

quantiées est une généralisation duproblème desa-

déiderdelasatisabilitédesformulesbooléennesest

NP-omplet, déider de lavalidité des formules boo-

léennesquantiéesestPSPACE-omplet.C'estleprix

àpayerpourune représentationplusonisepourde

très nombreuses lasses de formules. Une multitude

d'importantsproblèmesdedéisionparmideshamps

très diversontdestransformationspolynomialesvers

leproblèmedevaliditédesformulesbooléennesquanti-

ées.C'estpourquoi,l'étudeetlamiseaupointd'ou-

tils eaes pour déider de la validité des formules

booléennesquantiéessontimportantes.Lesformules

booléennesquantiéessontaussiutilespourreprésen-

ter des stratégies dans un jeu à deux joueurs. Dans

unteljeulesadversaires

J ∀

^et

J ∃

^jouentalternative- ment en valuant lesvariables d'une formule qui doit

êtrevalidesile joueur

J ∃

^{est sûr degagner.Dans e}

styled'appliation,uneproédurededéisionn'estpas

susanteetunesolutionauproblèmedereherheas-

soiéàlaformulebooléennequantiéeest néessaire.

Unepolitique[5℄estunereprésentationpourunetelle

solution:elleexpliiteàhaqueétapedujeuleshoix

quidoiventêtrefaitparlejoueur

J ∃

^{pourqu'ilgagne}

quels que soient les oups que son adversaire

J ∀

^a

joués,joueoujouera.

Étant donné qu'une formule booléenne quantiée

peutêtreramenéeàuneformulebooléenne(nonquan-

tiée), lapremièresolutionsembleêtred'opérerette

misesousformedeformulebooléennepuisd'appliquer

unalgorithmede testde satisabilité.L'inonvénient

majeurd'unetelleapproheestlatailledelaformule

booléennequiestdanslepiredesasexponentiellepar

rapportàla elle dela formulebooléenne quantiée.

Le plupart des travaux réents portant sur les pro-

éduresde déisionpourlavaliditédesformulesboo-

delaproéduredereherheditedeDavis-Putnam[6℄

pour le test desatisabilité des formules booléennes.

Cein'estpassurprenantétantdonnéqueleproblème

dedéisiondelavaliditépourlesformulesbooléennes

quantiées est une généralisationduproblèmede dé-

isionde lasatisabilité pourlesformulesbooléennes

quantiées. Pour de tels algorithmes, le alul de la

politiquenousapparaîtommeévident.Iln'enestpas

demême pour lesalgorithmesbasés surl'élimination

dequantiateurs[14,13℄qui sontmoinsétudiés.

Danset artile,trois algorithmesd'éliminationde

quantiateurs pour les formules booléennes quanti-

éessont proposés : une proédure de déision géné-

raleet deux algorithmespouraluler l'ensemble des

politiquesd'une formulebooléenne quantiée; de es

deux algorithmesl'un est dédié aux formulessimple-

ment prénexes et l'autre aux formules en forme nor-

male onjontive. Nous onluons sur les liens entre

nostravauxetlesproéduresbaséessurleprinipede

résolutionoudes méthodesd'élimination dequanti-

ateurs et dressons une suinte desription de nos

travauxfuturs.

2 Préliminaires

Notations. La sémantique des opérateurs booléens

quisuiventest dénie demanièrehabituelle sur l'en-

semble des valeursde vérité

{ v , f }

^{. Une fontion des}

variables booléennes dans l'ensemble des valeurs de

vérité est une interprétation. Les symboles

⊥

^(equi

est toujours

f

) et

⊤

^{(e qui est toujours}

v

) sont les onstantesbooléennes.Lesymbole

∧

^{estutilisépourla}

onjontion,

∨

^pourledisjontion,

¬

^{pourlanégation,}

→

^pourl'impliationet

↔

^pourl'équivalene.Unefor- mulebooléenneest onstruiteàpartirdesonstantes

booléennes,desvariablesbooléennesetdesopérateurs

booléens. L'ensemble

PROP

est l'ensemble des for- mules booléennes et

PROP

_V est l'ensemble des for- mulesbooléennesomprenantuniquementdesour-

renesdevariablesissuesdel'ensembledevariables

V

^.

Uneinterprétation

v

^{estunmodèlepourune formule}

F

^{siellerendvrailaformule}

F

^{(equiestnoté}

v | = F

^).

Lesymbole

∃

^{estutilisépourle}quantiateurexisten- tielet

∀

^pourlequantiateuruniversel(

q

^estutilisée

ommeunevariabledequantiation).Touteformule

booléenne est aussiune formule booléenne quantiée

(ouQBF).Si

F

^{est une formulebooléenne quantiée}

et

x

^{une variable booléenne alors}

(∃x F )

^et

(∀x F )

sont des formules booléennes quantiées. Nous sup-

posons par la suite que dans une formule booléenne

quantiéelesquantiateursportentsurdesvariables

distintes.Une substitution

[y ← F ]

^{est une fontion}

del'ensembledesformulesbooléennesquantiéesvers

lui-mêmeet dénie, pourtoutes variablesbooléennes

x, y

^{et toutesformulesbooléennesquantiées}

F, A, B

^,

ommesuit:

⊤[y ← F ] = ⊤

^;

⊥[y ← F ] = ⊥

^;

x[y ← F ] = x

^si

x 6= y

^et

F

^sinon;

¬A[y ← F ] = ¬A[y ← F]

^;

(A◦B)[y ← F] = (A[y ← F ]◦B[y ← F ])

^{, pour}

tout

◦ ∈ {∧, ∨, →, ↔}

^;

(qx A)[y ← F ] = (qx A[y ← F ])

^si

y 6= x

^et

(qx A)

^{sinon,pourtout}

q ∈ {∀, ∃}

^.

Un lieur

Q

^{est une séquene}

q

1

x

1

. . . q

n

x

n ^ave

x

1

, . . . , x

n ^{desvariablesdistinteset}

q

1

. . . q

n

∈ {∃, ∀}

(

n

^{estlatailledulieur).Uneourrened'unevariable}

y

^{dansuneformule}

F

^{estlibresietteourrenen'est}

pas dansla portéed'un quantiateur

∃y

^ou

∀y

^{. Les}

ourrenes de variables qui ne sont pas libres sont

liées.Uneformulesansvariablelibreestlose.Lesym-

bole

ǫ

^{représente la} substitution vide. Pardénition, pourtoutevariablebooléenne

y

^{ettouteformuleboo-}

léennequantiée

F

^,

(∃y F ) = (F [y ← ⊤]∨F [y ← ⊥])

^et,

(∀y F ) = (F [y ← ⊤]∧F [y ← ⊥])

^.

Unlittéralestunevariablelogiqueousanégation.Une

lause est une disjontion de littéraux. Une formule

booléenneest enformenormaleonjontive(CNF)si

'est une onjontion de lauses. Une formule boo-

léenne quantiée est sous forme prénexe si elle est

omposée d'un lieur et d'une formule booléenne dé-

nomméematrie.Uneformulebooléennequantiéeest

sous forme normale onjontive si 'est une formule

prénexedontlamatrieestenformenormaleonjon-

tive.Larelationd'équivalene

≡

^{estdéniedemanière}

standard:deuxQBF

A

^et

B

^sontlogiquementéquiva- lentes si

A↔B≡⊤

^{. Une formule booléenne quantiée}

F

^estvalidesi

F ≡⊤

^.Parexemple

∀x∃y(x↔y)

^estva-

lide et

∃x∀y(x↔y)

^{ne l'estpas. La séquenevide est}

représentéepar

ε

^.

Nous avonshoisi une dénition des formulesboo-

léennes quantiées plus large que de outume : elles

sontsouventrestreintesàdesformulesprénexes,voire

en forme normaleonjontive(enpartiulier lesjeux

de tests).Nouspensonsqueette dernièrerestrition

faitperdredansleasdeproblèmesstruturésdesin-

formationspréieuses pour lamise enévidene d'une

solution.

Le prinipederésolution. Leprinipederésolution

a été introduit dansle élèbre artilede J.A. Robin-

son[17℄.L'idéedelaméthodeestdeprouverlavalidité

d'une formuledupremier ordreen établissantquesa

négationest insatisfaisable.Elleest baséesur l'étape

de résolutionqui peutêtre exprimée,au proposition-

nel, ainsi : soient

A = (l∨A

^′

)

^et

B = (¬l∨B

^′

)

^deux

formules booléennes et

C

^{une onjontion de lauses}

alors

(A∧B∧C)≡((A

^′

∨B

^′

)∧A∧B∧C).

Politique. La représentation d'une solution au pro-

blème de reherhe assoié aux formules booléennes

quantiéesestétudiéedans[5℄souslenomdepolitique.

Laversionprésentéedansnotreartileestlégèrement

diérentedel'originale.

Dénition 1(politique[5℄) L'ensemble des politi-

ques(totales)

P (Q)

^{pourunlieurestdéniindutive-}

mentpar:

P(Entr´ ee :

^unlieur

)

Sortie :

^{l'ensemble despolitiques}

P(ε) = {λ}

P(∃yQ) = {l; π | l ∈ {y, ¬y}, π ∈ P (Q)}

P(∀yQ) = {y 7→ π, ¬y 7→ π

^′

| π, π

^′

∈ P (Q)}

L'opérateur

′′

;

^{′′ représente la omposition séquen-}

tielle des politiques. Le symbole

λ

^{représente la poli-}

tique vide. Si

π

^{est unepolitique alors}

π; λ

^estsimpli-

éeen

π

^.

Une politiqueest une représentation élégante pour

desséquenesdefontionsdeSkolem.

Ilestnotablederemarquerquelespolitiquesnesont

dénies que pour les formules booléennes quantiées

prénexes.

La satisabilitéd'une formulebooléenne quantiée

prénexe pourunepolitiqueest dénieréursivement.

Dénition 2 (satisabilité d'une formule boo-

léenne quantiée prénexe pour une poli-

tique [5℄) Une politique

π

^{satisfait une formule boo-}

léenne quantiée prénexe

QF

^(noté

π | = QF

^{) si une}

de ses onditionsestsatisfaite :

Q = ε

^et

π = λ

^et

F ≡⊤

^,

Q = ∃xQ

^′et

π = (x; π

^′

)

^ave

π

^′

| = (Q

^′

F)[x ← ⊤]

^,

Q = ∃xQ

^{′ et}

π = (¬x; π

^′

)

^ave

π

^′

| = (Q

^′

F )[x ← ⊥]

^,

Q = ∀xQ

^{′ et}

π = {x 7→ π

^′

, ¬x 7→ π

^′′

}

^ave

π

^′

| = (Q

^′

F )[x ← ⊤]

^et

π

^′′

| = (Q

^′

F )[x ← ⊥]

^.

Une politique est dite valide pour une QBF si elle

satisfait elle-i. Dans [5℄, il est établi qu'une QBF

prénexe et lose

QF

^{est valide si et seulement si il}

existeune politique

π

^telleque

π | = QF

^.

Lemêmesymboleaétéutilisépournoterqu'unein-

terprétationsatisfaituneformulebooléenneetqu'une

politiquesatisfaituneQBF.Cetteambiguïté,quin'en

sera pas une puisque le sens sera toujours lair par

le ontexte, n'en est pas une sur le fond ar une in-

terprétation qui satisfait une formule booléenne est

aussiune politiquevalidepourlaltureexistentielle

de ettemême formule booléenne et réiproquement,

une politique valide pour une QBF prénexe dont le

lieurestuniquementonstituédequantiateursexis-

tentiels est aussi unmodèlepourla matrie de ette

QBF.

3 Un exemple

Nousprésentonsunexemplequireouvrel'ensemble

desrésultatsdeet artile.

Soitlaformulebooléennequantiée

F = ∀a∃b∀c((c∨b)∧∃d((b→((c→d)∧(c∨(a↔¬d))))

CetteQBFest-ellevalide?Nousobtenonsimmédiate-

ment

F ≡∀a∃b∀c((c∨b)∧∃d( (d∨(b→¬(a→c)))∧

(¬d∨(b→(a→c))))).

Grâeàla dénition de lasémantiqueduquantia-

teurexistentiel

F ≡ ∀a∃b∀c((c∨b)∧((b→¬(a→c))∨(b→(a→c))))

≡ ∀a∃b∀c(c∨b).

Enn,grâeàladénition delasémantiqueduquan-

tiateuruniversel

F ≡ ∀a∃b∀c((c∨b)∧(¬c∨⊤))

≡ ∀a∃b(b∧⊤)≡∀a∃b(b)≡∀a(⊤)≡⊤.

Laformule

F

^{estdonvalide.Ainsiladénitiondela}

sémantiquedesquantiateursappliquéeàuneforme

partiulièredeQBFdonnediretementunalgorithme

dedéision.Lasetion4.1formaliseetteformeparti-

ulière;lasetion4.2 dénitl'algorithmededéision.

Notre objetif étant de dénirdes algorithmes qui

alulentlespolitiquesvalidespourdesQBFprénexes,

ilestimportantdemanipulerlesQBFdetellemanière

àequ'ellesonserventlesmêmespolitiques.Laseule

politiquevalidepourlaformule

F

^{estlapolitique}

{a 7→ b; {c 7→ d, ¬c 7→ ¬d}, ¬a 7→ b; {c 7→ d, ¬c 7→ d}}.

Elle orrespond àlaséquene

b

a

; d

a,c ^{de fontionsde}

Skolemdéniesainsi:

b

a

( v ) = b

a

( f ) = v

,

d

a,c

( v , f ) = f

et

d

a,c

( v , v ) = d

a,c

( f , v ) = d

a,c

( f , f ) = v

.Mais ette politiquen'estpasvalidepourlaQBF

⊤

^quiestéqui-

valente à

F

^{. La notion} d'équivalene qui préserve la validitédesQBFn'estdonplusadaptéepourlapré-

servation despolitiques.La setion 4.3 introduit une

nouvellerelationd'équivaleneentrelesQBFquipré-

servelespolitiques.

Chaqueformulebooléenneportantsurunensemble

devariables

{x

1

, . . . , x

n

}

^{estéquivalentàuneformule}

delaforme

^

1≤i≤n

((x

i

∨φ

⁺_i

)∧(¬x

i

∨φ

⁻_i

))

a b

v

c d v f

d f v

c d

v v

d f f

b f

c d v f

d v f

c d

v v

d f f

Fig.18modèlespourlaformuleBooléenne

G a

b v

c d v f

d f v

c d f f

d f f

b f

c d v f

d v f

c d f f

d f f

Fig.24modèlespourlamatriede

F

^′

(ave

φ

⁺_i ^et

φ

⁻_i ^{desformulesportantsurdesvariables}

x

1

, . . . , x

i−1^{) de laquelle il est faile de aluler tous}

lesmodèles.Parexemple,laformuleBooléenne:

G = ((c∨b)∧(b→((c→d)∧(c∨(a↔¬d)))))

estéquivalenteàlaformule

G

^′

= (a∨⊤)∧(¬a∨⊤)∧

(b∨⊤)∧(¬b∨⊤)∧

(c∨b)∧(¬c∨⊤)∧

(d∨(b→¬(a→c)))∧(¬d∨(b→(a→c)))).

De etteformule

G

^{′, il est très faile d'en extraire}

touslesmodèles. Lagure 1montretoutes lesinter-

prétationsdelaformule

G

^{ainsiqueses8modèles.}

Existe-t-il une forme similaire pour les QBF? La

réponse est oui et ette nouvelle forme normale est

déniedanslasetion4.4.

CommelaformuleBooléenne

G

^estéquivalenteà

G

^′,

laQBF

F

^estaussiéquivalenteàuneQBF

F

^′similaire

à

G

^{′ parsaforme:}

F

^′

= ∀a∃b∀c∃d((b∨⊥)∧(¬b∨⊤)∧

(d∨(b→¬(a→c)))∧(¬d∨(b→(a→c)))).

Dansnotreexemple,ilestfailedevérierquelaQBF

F

^{′ préservel'uniquepolitiquevalidede}

F

^.Lagure2

montre l'ensemble des interprétations de la matrie

(non-quantiée) de

F

^{′. Nouspouvons remarquer que}

lesbranhesorrespondantàdesmodèlespourlama-

trie de la QBFinitiale qui ne font pasparties de la

politiquevalidenesontpaspréservées.

Est-ediile dealulerettenouvelleformenor-

male ave un algorithme basé sur l'élimination de

quantiateurs? Laréponse estnon. Elleest alulée

par une spéialisation et une restrition de la proé-

dure de déision dénie dans la setion 4.2. La se-

tion4.5dérit ommentnous pouvonsaluleràpar-

tir de ette forme normale l'ensemble des politiques

validesd'uneQBFprénexe.Enn,danslasetion4.6

nousmontronsommentetteformenormaleainsique

l'ensemble des politiques valides pour une QBF en

formenormaleonjontivepeutêtreeaemental-

ulée àpartirdelaproédurededéisionQMRESde

PanetVardi[13℄.

4 Algorithmes d'élimination de quanti-

ateurs pour les formules booléennes

quantiées

4.1 Formespartielles derésolution

Nos algorithmes d'élimination de quantiateurs

sont tousdénis sur des deux nouvellesformes pour

formulesbooléennesquantiées :laformepartiellede

résolutionetsarestrition,laformepartielleonjon-

tivederésolution.

Dénition3 (les formespartiellesde résolution)

Soit

q

^unquantiateur.Une formulebooléennequan- tiée

F [x ← qy((y∨F

_y⁺

)∧(¬y∨F

⁻

y))]

^{est en forme}

partiellederésolution(ouFPR)si

F

_y^{+ et}

F

_y^{− sontdes}

formules booléennesquantiées où

y

^{n'apparaît pas et}

x

^{est libre dans}

F

^{.Une forme partielle de résolution}

est une forme partielle onjontive de résolution (ou

FPCR)si

F = Q(F

^′

∧qy((y∨F

_y⁺

)∧(¬y∨F

_y⁻

)))

^.

Exemple 1 Soituneformule booléennequantiée

H = ∃a∀b¬((∃c (((a∧b)→c)∧((a∧c)→b)))→(b∧¬a)).

Alors, ave

H

^′

= ∃a∀b¬(u→(b∧¬a))

^et

H

^′′

= ∃a∀b(u∧¬(b∧¬a))

^,

H

^′′′

= (∃c ((c∨¬(a∧b))∧(¬c∨(a→b))))

^,

H

^′

[u ← H

^′′′

]

^{est une des formes partielles de résolu-}

tionde

H

^et

H

^′′

[u ← H

^′′′

]

^{estunedesformespartielles}

onjontives derésolutionde

H

^.

Nous prouvons d'abord que pour haque formule

booléennequantiée ilexiste uneformuleéquivalente

sousformepartielle(onjontive)derésolution.Ceré-

sultat estd'abordmisenévidene pourlaformepar-

tielle onjontivederésolution.

enforme normaleonjontiveil existeuneformuleen

forme partiellede résolutionqui luiest équivalente.

Puisque haque formule booléenne quantiée en

forme partielle onjontivede résolution est aussi en

formepartiellederésolution,lelemmesuivantestune

onséquenediretedulemme préédent.

Lemme 2 Pour haque formule booléenne quantiée

ilexisteuneformulesousformepartiellederésolution

qui lui estéquivalente.

Le lemme tehnique suivantest le÷ur denos al-

gorithmesd'élimination dequantiateurs.

Lemme 3 Soit

F = F

^′

[x ← ∃y((y∨F

_y⁺

)∧(¬y∨F

_y⁻

))]

une formulebooléennequantiéeenforme partiellede

résolutionalors

F ≡F

^′

[x ← (F

y⁺

∨F

y⁻

)]

^.

Soit

F = F

^′

[x ← ∀y((y∨F

y⁺

)∧(¬y∨F

y⁻

))]

^{une for-}

mulebooléennequantiéeenforme partiellederésolu-

tionalors

F ≡F

^′

[x ← (F

y⁺

∧F

_y⁻

)]

^.

Ce lemmeest inspiréparl'étapederésolution.Ap-

pliqué à une formule booléenne quantiée en forme

partielle (onjontive) de résolution, 'est en fait un

proessus d'éliminationdesquantiateurs.

Certains as partiuliers du lemme 3 sont desgé-

néralisations de tehniques lassiques : soient

F

^une

QBF et

F

^′

[x ← (qy ((y∨F

_y⁺

)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]

^{une deses}

formespartiellesderésolution.

Si

q = ∃

^et

F

_y⁺

= ⊤

^alors

F ≡ F

^′

[x ← (∃y ((y∨⊤)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]

≡ F

^′

[x ← (⊤∨F

_y⁻

)]≡F

^′

[x ← ⊤].

Si

q = ∀

^et

F

_y⁺

= ⊤

^alors

F ≡ F

^′

[x ← (∀y ((y∨⊤)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]

≡ F

^′

[x ← (⊤∧F

_y⁻

)]≡F

^′

[x ← F

_y⁻

].

Si

q = ∃

^et

F

_y⁺

= ⊥

^alors

F ≡ F

^′

[x ← (∃y ((y∨⊥)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]

≡ F

^′

[x ← (⊥∨F

_y⁻

)]≡F

^′

[x ← F

_y⁻

].

Si

q = ∀

^et

F

y

= ⊥

^alors

F ≡ F

^′

[x ← (∀y ((y∨⊥)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]

≡ F

^′

[x ← (⊥∧F

y⁻

)]≡F

^′

[x ← ⊥].

Deplus,si

F

^{estenformepartielleonjontivede}

résolution

F ≡⊥

^.

Les deux premiers as sont des généralisations de

lasimpliationdeslittérauxmonotones[3℄;lesdeux

dernierssontdesgénéralisationsdelapropagation[3℄.

Nousexpliitonsunpeupluslapropagationunitaire:

soit

F

^′′

= (¬y∨F

_y⁻

)

^don

F

^′′

[y ← ⊤]≡F

_y^{− don}

F = F

^′

[x ← (∃y ((y∨⊥)∧(¬y∨F

_y⁻

)))]≡F

^′

[x ← F

^′′

[y ← ⊤]]

^.

4.2 Uneproédurededéisionpourleproblèmede

validitédes formulesbooléennesquantiées

L'appliationrépétéeduproessusd'éliminationdes

booléennesquantiées.

Algorithme1(La proédurede déision

rqbf

⁾

rqbf (Entr´ ee :

^uneQBFlose

F )

Sortie : oui

^si

F

^{estvalide sinon}

non

rqbf (f ) = (f

^{estuneformule booléenne}

)

^et

(f ≡⊤) rqbf (f ) =

soit

f

^′

[x ← (qy ((y∨f

_y⁺

)∧(¬y∨f

_y⁻

)))]

^{une forme}

partiellede résolutionde

f

dans si

(q = ∃)

alors

rqbf(f

^′

[x ← (f

y⁺

∨f

y⁻

)])

sinon

rqbf (f

^′

[x ← (f

_y⁺

∧f

_y⁻

)])

Cetteproéduren'apaspourbutd'êtreeaemais

elle fournit un adre dans lequel le alul des poli-

tiquesvalidesd'uneformulebooléennequantiéepour

êtreexprimé.Commentlaformepartiellederésolution

doitêtrealuléeestlaseuleétapedelaproédurede

déisionqui nesoitpaseetive.Le lemme1suggère

une méthode : aluler laforme normale onjontive

etalorsappliquerl'assoiativitéetladistributivitéde

laonjontionetdeladisjontion.

Des lemmes 2 et 3, la proédure de déision

rqbf

est orreteetomplète pourlesformules booléennes

quantiéesloses.

Théorème 1 Soit

F

^{uneformulebooléennequantiée}

lose. Alors

rqbf (F ) = oui

^{si et seulement si}

F

^est

valide.

Silaproédure

rqbf

^{estbaséesurlaformepartielle}

onjontivederésolutionaulieu delaformepartielle

derésolution,ladétetiondelanonvaliditéd'unefor-

mulebooléennequantiée

QqyF

^(i.e.

QqyF ≡⊥

^)peut

être améliorée : soit

Q(F

^′

∧qy((y∨F

_y⁺

)∧(¬y∨F

_y⁻

)))

uneformepartielleonjontivederésolutionde

QqyF

si

q = ∃

^et

F

_y⁺

≡⊥

^et

F

_y⁻

≡⊥

^alors

Q∃yF ≡Q(F

^′

∧(F

_y⁺

∨F

_y⁻

))≡⊥

^,

si

q = ∀

^et

F

_y⁺

≡⊥

^ou

F

_y⁻

≡⊥

^alors

Q∀yF ≡Q(F

^′

∧(F

_y⁺

∧F

_y⁻

))≡⊥

^,

Il apparaît aussi lairement par la dénition du

quantiateuruniversel que

Q(F∧∀y(y∧F

^′

))≡⊥

^ave

F

^et

F

^{′ deuxformulesbooléennes quantiées.}

4.3 Equivalenede politique

Deux formules booléennes quantiées logiquement

équivalentesnepossèdentpasnéessairementlemême

ensembledepolitiquesvalides.Parexemple

⊤≡(∃xx)

et

x | = (∃xx)

^{mais lapolitiquevide estl'unique poli-}

tiquevalidepour

⊤

^.Ainsi,nousintroduisonsunenou- vellerelationentrelesformulesbooléennesquantiées

quipréservel'ensembledespolitiquesetnonseulement