Chapitre 2 Dénition de la logique propositionnelle Cours 3 Sémantique de la logique propositionnelle

Chapitre 2

Dénition de la logique propositionnelle Cours 3

Sémantique de la logique propositionnelle

Aectations

Valeurs de vérités : 0 et 1.

Denition

Une aectation est une fonction

v :V → {0,1} Lesupportd'une aectation v est déni comme

supp(v) ={x ∈V |v(x) =1}

Aectations

Valeurs de vérités : 0 et 1.

Denition

Une aectation est une fonction

v :V → {0,1} Lesupportd'une aectation v est déni comme

supp(v) ={x ∈V |v(x) =1}

Il existe des dénitions diérentes

I Pour 0 : False, , . . .

I Pour 1 : True, tt,. . .

I Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions partielles.

Il existe des dénitions diérentes

I Pour 0 : False, , . . .

I Pour 1 : True, tt,. . .

I Les aectations sont parfois dénies comme des fonctions partielles.

Notation pour les aectations

I Nous écrivons

[x1 7→1,x2 7→1,x37→1, . . . ,xn7→1]

pour l'aectation qui aux variables x₁, . . . ,x_n associe la valeur 1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0.

I On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon.

Notation pour les aectations

I Nous écrivons

[x1 7→1,x2 7→1,x37→1, . . . ,xn7→1]

pour l'aectation qui aux variables x₁, . . . ,x_n associe la valeur 1, et qui associe à toute autre variable la valeur 0.

I On ne peut pas écrire toutes les aectations de cette façon.

Exemple aectation

[x₁ 7→1,x₂7→0,x₃ 7→1]

est l'aectation qui associe à x₁ et x₃ la valeur 1, et à toute autre variable la valeur 0.

Son support est{x1,x3}.

Interprétation d'un formule

L'interprétation[[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p:

[[x]]v = v(x)

[[¬p1]]v =

0 si [[p1]]v =1 1 si [[p₁]]v =0 [[(p₁∧p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 ou[[p₂]]v =0 1 si [[p1]]v =1 et[[p2]]v =1 [[(p₁∨p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 et[[p₂]]v =0 1 si [[p₁]]v =1 ou[[p₂]]v =1

Interprétation d'un formule

L'interprétation[[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p:

[[x]]v = v(x)

[[¬p1]]v =

0 si [[p1]]v =1 1 si [[p₁]]v =0 [[(p₁∧p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 ou[[p₂]]v =0 1 si [[p1]]v =1 et[[p2]]v =1 [[(p₁∨p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 et[[p₂]]v =0 1 si [[p₁]]v =1 ou[[p₂]]v =1

Interprétation d'un formule

L'interprétation[[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p:

[[x]]v = v(x)

[[¬p1]]v =

0 si [[p1]]v =1 1 si [[p₁]]v =0 [[(p₁∧p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 ou[[p₂]]v =0 1 si [[p1]]v =1 et[[p2]]v =1 [[(p₁∨p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 et[[p₂]]v =0 1 si [[p₁]]v =1 ou[[p₂]]v =1

Interprétation d'un formule

L'interprétation[[p]]v d'une formule p par rapport à l'aectation v est dénie par récurrence sur la structure de p:

[[x]]v = v(x)

[[¬p1]]v =

0 si [[p1]]v =1 1 si [[p₁]]v =0 [[(p₁∧p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 ou[[p₂]]v =0 1 si [[p1]]v =1 et[[p2]]v =1 [[(p₁∨p₂)]]v =

0 si [[p₁]]v =0 et[[p₂]]v =0 1 si [[p₁]]v =1 ou[[p₂]]v =1

Exemples

Pour l'aectation v1= [y 7→1]on a que

I [[x]]v₁ =0 (car v₁(x) =0)

I [[y]]v₁ =1 (car v₁(y) =1)

I Donc : [[(x ∧y)]]v₁=0

I et [[(x∨y)]]v1=1.

Exemples

Pour l'aectation v1= [y 7→1]on a que

I [[x]]v₁ =0 (car v₁(x) =0)

I [[y]]v₁ =1 (car v₁(y) =1)

I Donc : [[(x ∧y)]]v₁=0

I et [[(x∨y)]]v1=1.

Exemples

Pour l'aectation v1= [y 7→1]on a que

I [[x]]v₁ =0 (car v₁(x) =0)

I [[y]]v₁ =1 (car v₁(y) =1)

I Donc : [[(x ∧y)]]v₁=0

I et [[(x∨y)]]v1=1.

Exemples

Pour l'aectation v1= [y 7→1]on a que

I [[x]]v₁ =0 (car v₁(x) =0)

I [[y]]v₁ =1 (car v₁(y) =1)

I Donc : [[(x ∧y)]]v₁=0

I et [[(x∨y)]]v1=1.

Stratégie d'interprétation

Théorème : Soient p et q des formules propositionnelles et v une aectation, alors

[[(p∧q)]]v =

0 si[[p]]v =0 [[q]]v si[[p]]v =1 [[(p∨q)]]v =

1 si[[p]]v =1 [[q]]v si[[p]]v =0

Démonstration

Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de[[p]]v : Cas[[p]]v =0: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v =0. C'est une conséquence immédiate de la dénition.

Cas[[p]]v =1: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v = [[q]]v. Il y a deux cas, selon la valeur de [[q]]v:

Cas [[q]]v =0: Nous avons[[(p∧q)]]v =0= [[q]]v Cas [[q]]v =1: Nous avons[[(p∧q)]]v =1= [[q]]v

Démonstration

Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de[[p]]v : Cas[[p]]v =0: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v =0. C'est une conséquence immédiate de la dénition.

Cas[[p]]v =1: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v = [[q]]v. Il y a deux cas, selon la valeur de [[q]]v:

Cas [[q]]v =0: Nous avons[[(p∧q)]]v =0= [[q]]v Cas [[q]]v =1: Nous avons[[(p∧q)]]v =1= [[q]]v

Démonstration

Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de[[p]]v : Cas[[p]]v =0: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v =0. C'est une conséquence immédiate de la dénition.

Cas[[p]]v =1: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v = [[q]]v. Il y a deux cas, selon la valeur de [[q]]v:

Cas [[q]]v =0: Nous avons[[(p∧q)]]v =0= [[q]]v Cas [[q]]v =1: Nous avons[[(p∧q)]]v =1= [[q]]v

Démonstration

Nous démontrons seulement le premier des deux énoncés; le second se montre de façon analogue. Il y deux cas, selon la valeur de[[p]]v : Cas[[p]]v =0: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v =0. C'est une conséquence immédiate de la dénition.

Cas[[p]]v =1: Nous avons à montrer que dans ce cas

[[(p∧q)]]v = [[q]]v. Il y a deux cas, selon la valeur de [[q]]v:

Cas [[q]]v =0: Nous avons[[(p∧q)]]v =0= [[q]]v Cas [[q]]v =1: Nous avons[[(p∧q)]]v =1= [[q]]v

L'intérêt de ce théorème

I Pour évaluer[[(p∧q)]]v on évalue d'abord[[p]]v, et selon le résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer [[q]]v, ce qui est bon à savoir quand q est une très grande expression.

I On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la plus petite).

L'intérêt de ce théorème

I Pour évaluer[[(p∧q)]]v on évalue d'abord[[p]]v, et selon le résultat obtenu il se peut qu'il ne soit plus nécessaire d'évaluer [[q]]v, ce qui est bon à savoir quand q est une très grande expression.

I On aurait pu donner une variante du théorème dans laquelle on interprète d'abord q au lieu de p, ou encore des variantes avec des critères plus sophistiqués (par exemple: on commence avec l'interprétation de la formule parmi p, q qui est est la plus petite).

Évaluation et interprétation

I En général, une application d'une fonction à des arguments est évaluée.

I Plus spéciquement, une formule propositionnelle est interprétéepar rapport à une aectation.

L'interprétation de p par rapport à v est obtenue par l'évaluation de[[p]]v.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Dénition

Soit p une formule propositionnelle.

I On écrit v |=p si[[p]]v =1, et on dit p estvraie par rapport àv .

I On écrit v 6|=p si [[p]]v =0, et on dit p est fausse par rapport àv .

I On dit que p est satisfaisables'il existe une aectation v telle que v |=p.

I On dit que p est falsiables'il existe une aectation v telle que v 6|=p.

I On écrit |=p si v |=p pour toute aectation v, et on dit que p estvalide(ou une tautologie).

I On écrit 6|=p si v 6|=p pour toute aectation v, et on dit que p estcontradictoire.

Exemples

La formule(x∨y) est

I satisfaisable (elle est vraie par rapport à[x 7→1])

I falsiable (elle est fausse par rapport à [])

I pas une tautologie

I pas contradictoire

Exemples

La formule(x∨y) est

I satisfaisable (elle est vraie par rapport à[x 7→1])

I falsiable (elle est fausse par rapport à [])

I pas une tautologie

I pas contradictoire

Exemples

La formule(x∨y) est

I satisfaisable (elle est vraie par rapport à[x 7→1])

I falsiable (elle est fausse par rapport à [])

I pas une tautologie

I pas contradictoire

Exemples

La formule(x∨y) est

I satisfaisable (elle est vraie par rapport à[x 7→1])

I falsiable (elle est fausse par rapport à [])

I pas une tautologie

I pas contradictoire

Exemples

I (x∨ ¬x)est une tautologie.

I (x∧ ¬x)est contradictoire.

Exemples

I (x∨ ¬x)est une tautologie.

I (x∧ ¬x)est contradictoire.

Notions de sémantique

Ne pas confondre les notations:

I Une formule est vraieou faussetoujours par rapport à une aectation.

I Une formule peut êtresatisfaisable ou falsiabletout court. Il n'y a pas de satisfaisable par une aectation .

I Une formule peut êtrevalideou contradictoire.

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition :

Une formule p est valide si et seulement si¬p n'est pas satisfaisable.

Démonstration :

On a la chaîne d'équivalences suivante : p est valide

ssi v |=p pour toute aectation v ssi [[p]]v =1 pour toute aectation v ssi [[¬p]]v =0 pour toute aectation v ssi v |=¬p pour aucune aectation v ssi ¬p n'est pas satisfaisable

Proposition : Une formule p est contradictoire si et seulement si

¬p est valide.

(Exercice !)

Décider validité etc.

I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles.

I Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles !

I Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes.

Décider validité etc.

I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles.

I Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles !

I Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes.

Décider validité etc.

I Pour savoir si une formule propositionnelle donnée est satisfaisable ou valide il faut donc en principe évaluer la formule sur toutes les aectations possibles.

I Problème : il y a un nombre inni d'aectations possibles car il y a un nombre inni de variables propositionnelles !

I Heureusement, le théorème suivant dit que seulement les variables qui aparaissent dans les formules sont pertinentes.

D'abord une proposition

Proposition : Soit p une formule propositionnelle et v₁,v₂ des aectations telles que v₁(x) =v₂(x)pour toute variable x ∈ V(p).

Alors[[p]]v1 = [[p]]v2. Exercice (sera fait en TD) !

Le théorème de coïncidence

Théorème : Une formule p est

1. satisfaisable si et seulement s'il existe une aectation v telle que supp(v)⊆ V(p) et v |=p.

2. valide si et seulement si v |=p pour toute aectation v avec supp(v)⊆ V(p).

Démonstration du premier énoncé

Si v |=p avec supp(v)⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable.

Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |=p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit:

v(x) =

w(x) si x ∈ V(p) 0 si x 6∈ V(p)

On a que supp(v)⊆ V(p), et v |=p par la proposition précédente.

Démonstration du premier énoncé

Si v |=p avec supp(v)⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable.

Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |=p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit:

v(x) =

w(x) si x ∈ V(p) 0 si x 6∈ V(p)

On a que supp(v)⊆ V(p), et v |=p par la proposition précédente.

Démonstration du premier énoncé

Si v |=p avec supp(v)⊆ V(p) alors p est, par dénition satisfaisable.

Si p est satisfaisable il y a une aectation w telle que w |=p. Nous construisons une nouvelle aectation v comme suit:

v(x) =

w(x) si x ∈ V(p) 0 si x 6∈ V(p)

On a que supp(v)⊆ V(p), et v |=p par la proposition précédente.

Une méthode pour décider satisfaisabilité

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que[[p]]v =1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable.

Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ?

Une méthode pour décider satisfaisabilité

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que[[p]]v =1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable.

Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ?

Une méthode pour décider satisfaisabilité

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que[[p]]v =1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable.

Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ?

Une méthode pour décider satisfaisabilité

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour toute aectation v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que[[p]]v =1 on sait que p est satisfaisable, si on n'en trouve pas alors p n'est pas satisfaisable.

Combien d'aectations est-ce qu'il y a tester, si la formule a n variables ?

Décider validité d'une formule

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v =0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide.

Décider validité d'une formule

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v =0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide.

Décider validité d'une formule

1. Calculer V(p)

2. Engendrer l'ensemble A des aectations v avec supp(v)⊆ V(p)

3. Évaluer [[p]]v pour tout v ∈A. Dès qu'on tombe sur un v tel que [[p]]v =0 on sait que p n'est pas valide, si on n'en trouve pas alors p est valide.

Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

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0 0 1 1 0 1 1

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Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

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1 1 1 0 1 0 1

Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

0 0 0 1 0 0 0

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Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

0 0 0 1 0 0 0

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0 0 1 1 0 1 1

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0 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 0 1

Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 1

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Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

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Tables de vérité

x1 x2 x3 ¬x2 (x1∧x2) (x3∧ ¬x2) ((x1∧x2)∨(x3∧ ¬x2)) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

¬(2) (1)∧(2) (3)∧(4) (5)∨(6)

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1 1 1 0 1 0 1

Ecacité de notre algorithme

I Si la formule a n variables : 2ⁿ aectations possibles à essayer (dans le pire des cas)

I Temps d'exécution exponentiel

I Acceptable seulement pour des petites formules.

I Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines !

Ecacité de notre algorithme

I Si la formule a n variables : 2ⁿ aectations possibles à essayer (dans le pire des cas)

I Temps d'exécution exponentiel

I Acceptable seulement pour des petites formules.

I Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines !

Ecacité de notre algorithme

I Si la formule a n variables : 2ⁿ aectations possibles à essayer (dans le pire des cas)

I Temps d'exécution exponentiel

I Acceptable seulement pour des petites formules.

I Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines !

Ecacité de notre algorithme

I Si la formule a n variables : 2ⁿ aectations possibles à essayer (dans le pire des cas)

I Temps d'exécution exponentiel

I Acceptable seulement pour des petites formules.

I Comment faire pour des formules avec 10.000 variables ? Voir dans quelques semaines !

Raccourcis

I On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧: (p₁∧p₂∧. . .∧p_n)

ainsi que de l'opérateur∨ :

(p1∨p2∨. . .∨pn)

I On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour de la formuleentière.

Raccourcis

I On a le droit d'enchaîner des applications de l'opérateur ∧: (p₁∧p₂∧. . .∧p_n)

ainsi que de l'opérateur∨ :

(p1∨p2∨. . .∨pn)

I On se permet d'omettre la paire de parenthèses qui est autour de la formuleentière.

Récupérer la syntaxe stricte

I Remplacer

(p₁∧p₂∧p₃∧. . .∧p_n) par

(p1∧(p2∧(p3. . .∧pn). . .)) et pareil pour les chaînes ∨.

I Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la formule si nécessaire

Récupérer la syntaxe stricte

I Remplacer

(p₁∧p₂∧p₃∧. . .∧p_n) par

(p1∧(p2∧(p3. . .∧pn). . .)) et pareil pour les chaînes ∨.

I Mettre une paire de parenthèses extérieures autour de la formule si nécessaire

Exemple

(x₁∧x₂∧x₃)∨y₁∨(z₁∧z₂∧z₃∧z₄) s'écrit en syntaxe stricte comme

(x₁∧(x₂∧x₃))∨

y₁∨(z₁∧(z₂∧(z₃∧z₄)))

Exemple

(x₁∧x₂∧x₃)∨y₁∨(z₁∧z₂∧z₃∧z₄) s'écrit en syntaxe stricte comme

(x₁∧(x₂∧x₃))∨

y₁∨(z₁∧(z₂∧(z₃∧z₄)))

Syntaxe stricte ou raccourcie ?

I On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples.

I Par contre, quand on vous demande de démontrer une propriété de la syntaxe (comme: |w|₍=|w|₎ pour toute w ∈Form) c'est toujours la syntaxe stricte !

Syntaxe stricte ou raccourcie ?

I On autorise la syntaxe raccourcie dans les exemples.

I Par contre, quand on vous demande de démontrer une propriété de la syntaxe (comme: |w|₍=|w|₎ pour toute w ∈Form) c'est toujours la syntaxe stricte !