ENSIIE Logique
PAL Feuille de TD 2
Logique propositionnelle (1/2)
Exercice 1
On consid`ere les propositions suivantes :
• Si Alice et Julie viennent `a Paris, Zo´e viendra aussi
• Si Julie vient `a Paris, Alice aussi
• Julie ou Zo´e, l’une des deux au moins, viendra `a Paris.
Question 1 :Formaliser ces 3 propositions en logique des propositions.
Question 2 :D´emontrer que Zo´e viendra `a Paris en faisant une d´emonstration s´emantique.
Exercice 2 Club ´ecossais : mod´elisation
Pour constituer un club on a ´enonc´e le r`eglement suivant :
Article premier : Tout membre non ´Ecossais porte des chaussettes oranges.
Article second : Tout membre porte un kilt ou ne porte pas de chaussettes oranges.
Article troisi`eme : Les membres mari´es ne sortent pas le dimanche.
Article quatri`eme : Un membre sort le dimanche ssi il est ´Ecossais.
Article cinqui`eme : Tout membre qui porte un kilt est ´Ecossais et mari´e.
Article sixi`eme : Tout membre ´Ecossais porte un kilt.
Question 1 :Mod´eliser le probl`eme `a l’aide de la logique propositionnelle
Question 2 :Donner une explication s´emantique au fait que ce club ne puisse pas avoir de membre.
Exercice 3
Ecrire les tables de verit´e des formules suivantes : 1. (p⇒q)⇒q⇒p
2. (p∧q)∨(¬p∧ ¬q)
∧ (¬p∧q)∨(p∧ ¬q) 3. (p⇒q)∨s
∧ (s⇒q)∨ ¬p
4. ((p⇒q)⇒r)⇒s
5. ¬ ¬((p∨q)⇒s)⇒ ¬((p∧r)⇒s) 6. (p⇒q)∧(r ⇒s)
⇒ (p∧r)⇒(q∧s) 7. (¬q∧ ¬p)∨(q∧ ¬p)∨(q∧p)∨r
Exercice 4
Soit F une formule propositionnelle n’utilisant que les connecteurs ∧et∨. Montrer que toute in- terpr´etationItelle queI(p) = 1sipapparaˆıt dansF v´erifieI |=F.
Exercice 5
SoitFetGdeux formules propositionnelles ne partageant pas de variables. Montrer queF ⇒Gest une tautologie si et seulement si¬Fest une tautologie ouGest une tautologie.
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