Chap 28 : Fonctions de plusieurs variables
Quand sera un espace vectoriel, ce sera un E −espace vectoriel
I. Introduction à la topologie
2 2
3
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0
( , , ) ( , ) ( , ) ( , )
un ensemble. Une distance sur est une application vérifiant : (symétrie)
(séparation des points) (inégalité
E E d E E
x y E d x y d y x
x y E d x y y x
x y z E d x z d x y d y z
∈ × +
− ∀ ∈ =
− ∀ ∈ = ⇔ =
− ∀ ∈ ≤ +
F
( , )
triangulaire) est alors un espace métrique
E d
( , )
( , ) ( )
espace vectoriel normé. E E est une distance
E N d
x y N x y
× →
−
( )
1 1
1
1
1
[ 0
, ]
1 | | max | |
([ , ], ) 1 sup | ( ) |
| ( ) |
sont des normes
sont des normes
n n
n
n p x
x
x n
n n
p p
j j j
x j
b p p
t a b a
p
E p N N
x x
x x
E E
E a b p N N f f t
f f t dt
+ +
∞
+ +
∞
∈
=
∈
→ →
= ∀ ≥ = =
→ →
= ∀ ≥
∑
C
∫
( , ) , 0
( , ) { / ( , ) } ( , ) { / ( , ) } espace métrique
La boule ouverte de centre et de rayon est La boule fermée de centre et de rayon est
E d a E r
a r a r y E d y a r
a r a r y E d y a r
∈ >
= ∈ <
= ∈ ≤
B B
, 0 ( , )
On dit que est ouvert dans si tq
E E a r a r
Ω∈ Ω ∀ ∈Ω ∃ > B ⊂ Ω
0 ( , )
( , ) { , }
, , la boule est ouverte Une union quelconque d'ouverts est un ouvert Une intersection finie d'ouverts est un ouvert
est un ouvert et est un ouvert
où ouvert de avec
a E r a r
E
E T T E E
∀ ∈ ∀ >
∅
= Ω ⊂ Ω B
les propriétés ci-dessus définit une topologie
Preuve : pour l’intersection, on prend le min des rayons possibles pour avoir une boule dans chaque ouvert 1 1; {0}
Une intersection quelconque d’ouverts n’est pas toujours un ouvert :
n∈ n n
− =
( espace métrique) est fermé \ est ouvert
F⊂E E F si E F
, 0, ( , ) est fermée est fermé, est fermé
Une union finie de fermés est un fermé
Une intersection quelconque de fermés est un fermé
a E r a r
E
∀ ∈ ∀ >
∅
B
0 0
) ,
( , ) (
0, , ( , ) ( ( , ))
espace métrique n On dit que la suite admet comme limite si
n n
E d u n E l E
n N l càd u
l
N d u l
ε ε ε
∈
∀ ≥
∈ ∈
∀ > ∃ ∈ ≤ ∈B
(un n) ∈E Si (un n) admet une limite, alors celle ci est unique On dit que (un n) converge vers l
1 2
2
2
1 2
1 2
( , )
, ( ) ( ) ( )
et deux normes sur On dit que est équivalente à s'il existe tq C'est une relation d'équivalence
N N E N N
v E N v N v N v
α β
α β
∈
∀ ∈ ≤ ≤
2 1
1 2 0 , 1( ) 2( ) , 0, 2( , ) 1( , )
pour pour
et deux normes sur Si tq
N N
N N E ∃ >α ∀ ∈v E N v ≤αN v ⇒ ∀ ∈ ∀ >a E r Ba r ⊂B aαr
1 et deux normes équivalentes sur définissent les mêmes ouverts (donc la même topologie)2
N N E
1 2
1 2
( ) , , ( ) ( )
et deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes : converge pour converge pour
n
n n n n
N N
u ∈E ∀ ∈l E u N ssi u N
∀
Un voisinage de est un ouvert de contenant
a∈E a E a
0 0
(un n)∈∈E converge vers l∈E ssi ∀V voisinage de il existe l, n ∈ tq ∀ ≥n N u, n∈V est un ouvert est un voisinage de chacun de ses pointsssi
Ω Ω
Il existe un unique plus grand ouvert inclus dans : c'est l'intérieur de , noté Il existe un unique plus petit fermé contenant : c'est l'adhérence de , noté
A E A A A
A A A
⊂
( , ) ( ) ( )
)
0, ( , )
( ) ,
( ) ( lim
espace métrique On a équivalence entre :
tq voisinage de
n n n
n
E d A E
i x A
ii r a A x r
iii V x a A V
iv a ∈ A a x
→+∞
⊂
∈
∀ > ∃ ∈ ∩
∀ ∃ ∈ ∩
∃ ∈ =
B
Preuve : 1 1
( )ii ( )iv rn ,an x, ( )i ( )ii contr. : r 0, a A a, ( , )x r
n n
⇒ = ∈B ⇒ ∃ > ∀ ∈ ∉B
0 \ ( , )x r fermé A ( ) ( ) contr : x A x E A\ ouvert r 0, ( , )
A F E ⊃ ii i ∉ ⇒ ∈ ⇒ ∃ > x r A
⇒ ⊂ = B ⇒ B ∩ = ∅
( , ) ( )
( ) 0, ( , ) ( )
espace métrique , on a équivalence entre :
voisinage de ,
E d A E x E
i x A
ii r x r A
iii V x V A
⊂ ∀ ∈
∈
∃ > ⊂
∃ ⊂
B
( , ) ssi ouvert
ssi fermé
A B A A A A A A B A B
A B E A A A A B
A B A A A A A A B A B
⊂ = =
∪ ⊂ ∪
∀ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⇒
⊂ =
=
∩ ⊂ ∩
( ) \
La frontière de A⊂E est Fr A = ∂ =A A A est dense dans si
A⊂E E A=E
0
0 0
0 ( , )
( ) lim
On a équivalence entre : est dense dans , ,
, n n n telle que n n
A E
x E r x r A
x E a ∈ A a x
→+∞
−
− ∀ ∈ ∀ > ∩ ≠ ∅
− ∀ ∈ ∃ ∈ =
B
( )
est compact si on peut extraire de toute suite n n une sous-suite convergente dans
K⊂E u ∈K K
Un compact est nécessairement ferméK
Preuve : On prend (un)∈K CV vers x0∈K K, compact⇒ss-suite CV dans + unicité limiteK ( ,E N) ev normé. On dit que A⊂E est borné si ∃ >R 0 tel que A⊂B(0E,)
( ,E N) ev normé. Si K ⊂E est compact, alors est bornéK
( , ) 0 ( ) ( )
n n n
n n n n n
x →∞→ ⇒l d x l →∞→ x →∞→ ⇒l N x →∞→N l
0
1
( ... )1 : max | |
Pour cette norme, tout ev de dim f
e partie fer
inie, de base , muni de la norm
mée bornée de est compacte (FAUX en dimension infinie) e
n
n j j j
n j j
E e e N x e x
E
∞ = ∈
=
∑
B
Preuve : n= ⇒1 Bolzano−Weierstrass n∈ : On construit des ss-suites CV pour chaque ej+ =K K
II. Fonctions continues
1) ( 2
( , et , )
Dans le reste du chapitre, E d F d sont deux espaces métri uesq
1 2
1 2
( , ) 0 0 ( ( , )) ( ( ), )
0 0 ( , ) ( ( ), ( ))
( ) , ( )
est continue en si : , tel que
, tel que ,
voisinage de dans voisinage de dans tel que
f E F a E f a f a
x E d x a d f x f a
V f a F W a E f W V
ε δ δ ε
ε δ δ ε
∈ ∈ ∀ > ∃ > ⊂
⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ < ⇒ <
⇔ ∀ ∃ ⊂
F B B
( , ),
( ) , lim lim ( ) ( )
( ) lim ( ( ))
Critère séquentiel :
continue en
est continue en tel que , CV
n n n n
n n n
n n
n n n
f E F a E
f a x E x a f x f a
f a ssi x E x a f x
→+∞ →+
∈
∞
→+∞
∈ ∈
− ⇒ ∀ ∈ = ⇒ =
− ∀ ∈ =
F
Preuve : 0
2 1
1 2
, , ( ( ), ) ( ( ))
contr.: non en tq , non CV
n n
n n n n
n
y a
f a x a d f x a a f y
y x
n ε
+
=
⇐ C ∃ ∈B > ⇒ = →
1 1
( , ) .
( )
( ) ( )
( ) ( )
est continue sur si elle est continue en tout point de On a équivalence entre : continue sur
ouvert de , est ouvert dans fermé de , est fermé dans
f E F E E
i f E
ii F f E
iii G F f G
−
−
∈
∀Ω Ω
∀ F
E
Preuve : ( )i ⇒( )ii ouvert de Ω F ⇒B( ( ), )f a ρ ⊂ Ω, C0 ⇒ >δ 0, ( , )B aδ ⊂ f−1( ( ( ), )B f a ρ ⊂ f−1( )Ω
0 0
( )ii ⇒( )i a∈E, ouvertε >0,a V∈ = f−1( ( ( ), ))B f a E ⇒ >δ 0 / ( , )B aδ ⊂V ⇒ f( ( , ))B a δ ⊂B( ( ), )f a ε ( ,E N∞) evn de dim FINIE, f ∈L( , )E F est nécessairement continue de dans (et même lipschitzienne)E F ( , )E d métrique, C0( , )E ={f ∈F( , )E continue est une sous-algèbre de } F( , )E
, ( )
1 1
1
( )
: det
( ) det( ) ( )
( ) d et ( *) ( )
est continue est continue
est ouvert dans
n
n n
j
i j i j j
n
j j j
n
j
j j
n
E
x e x A a A a
Gl
σ σ
ϕ ε σ
= ∈ =
−
→
→
⇒
= =
=
∑ ∑ ∏
M
M
S
L'image d'un compact par une application continue est un compact
( , ) ( )
On dit que E d est complet si toute suite de Cauchy xn n∈En est convergente (dans )E
III. Cas de la dimension finie
Dans cette partie, est un E −ev de dimension finie
0 =(e1... )en base deE,N∞ la norme associée ∀ ∈ ∀ >a E, r 0, ( ,B a r) est compacte B
0 =(e1...en) base de , E N∞ la norme associée. Soit une autre norme sur Alors et N E. N N∞ sont équivalentes B
Preuve :
1 1 1
( , ) ( , )
* ( ) ( ) | | ( ) ( ) su | p | ( ) *
n
j j j j j
n n n
j j j j
j
E N E N
N v N x e x N e N e x KN v
v v
ϕ ∞
= = ∈ ∞
=
→
≤ = ≤ =
∑ ∑ ∑
(0,1) { , ( ) 1} ( ...) 0 ( )
1 ( )
0, ( ), ( ) ( 0 ( )
( ) ( )
borné, fermé suite cv Compact compact
Mq p.abs , imp)
n
n E
S v E N v mq S S
u N u
k v S N v k k S S k
n N u N u
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∞
∞
∞ ∞
= = ∈ = ∈ → ⇒
∃ > ∀ ∈ ≥ = ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ≥
C
Toutes les normes sur un −ev de dimension finie sont équivalentes
0 2
2
( , ),( , )
( ) ( ) ( )
( , )
ev normés de dimension finie, une autre norme sur : les compacts de sont les parties fermées normées
pour pour
continue
n
n n n n n n n n
E N F N N E
E
x E x l E N ssi x l E N
f E F f
→∞ →∞
−
− ∈ → ∈ → ∈
− ∈F 2
0
( , ) ( , )
: ( , ) ( , ) ( , )
sur continue sur toute application linéaire est continue tout de dimension finie est fermé dans
tout ev normé de dimension finie est complet
E N ssi f E N
E N F N
sev F E
E N
ϕ
− →
−
−
1 2
1 2
2 1
( , ) ( , )
, ( ) :
( ) 0, , ( ) ( )
deux normes. On a équivalence entre : E continue
E N E N
N N i Id
v v
ii k v E N v kN v
ϕ = →
∃ > ∀ ∈ ≤
Preuve :
2
0
2 2 1
( )ii ⇒( )i N ( ( )ϕ u −ϕ( ))v =N u v( − ≤) kN u v( − ⇒ −) k lips. ( )i ⇒( )ii ϕ C ,Ω =BN (0,1)
1 1
1
2 1
1
1
( ) ( , ) / (0, ) ( ) 0 , (0, ) ( ) 1...
2 ( )
ouvert ds N E N
r v
E N r B r v u B r N u
ϕ− ϕ− N v
⇒ Ω ⇒ ⊂ Ω ⇒ ∀ ≠ = ⊂ ⇒ ≤
0 0 0
1 2), 3
( ,E d ),( ,F d (G,d ) esp. métriques, f ∈F( , ),E F g∈F(F G f, ), en et en C a g C f a( )⇒g f en C a
IV. Continuité de fonctions de plusieurs variables
muni d'une norme quelconque, sera un ouvert de
E=n Ω E
1 1
1 1
, ( , ), ( ... ) , 0 ( , )
] ; [
( ... , , ... ) tq
On appelle ème application partielle de en l'application
n
n
i
n
i i
f a a a r a r
a r a r
i f a f
x f a a− x a+ a
Ω ⊂ ∈ Ω = ∈Ω > ∞ ⊂ Ω
− + →
F B
( , ) est continue en ( ...1 n) i n, i est continue en i
f ∈ ΩF a= a a ∈Ω ⇒ ∀ ∈ f a
/!\ La réciproque est fausse /!\
1 1 cos . . ;
Méthodes pour montrer la (dis)continuité : prendre soit une suite , soit sin
n
p ex r n n r
θ
∈ θ
0 1
1
( , ... ( , ) ( )
( ) ( ( ). )
( ))
.. est continue en sont en
p
p
p p
f f a prendre N
v a
f v f v s f
f si
v ∞
Ω → ∈ Ω ∈ Ω
=
F ∈Ω F C
1... p sont les applications coordonnées de
f f f
0 0
, ( , ) est un de ( , ) ( , ) est une ss-algèbre de ( , )
n p p
Ω ⊂ C Ω sev F Ω C Ω F Ω
V. Dérivées partielles, différentiabilité
. , ( , )
ouvert, norme sur
n n
Ω ⊂ f ∈ ΩF
] , [
( , ) , 0 ( , ) }
( )
0.
( ) '(0
{
)
, tq , 0
On dit que est dérivable en selon le vecteur si est dérivable en On note la dérivée de en selon
n h
h h
n
h
f a r a r h r
t f a th
h
f a h
D f a f a h
δ ϕ δ δ
ϕ ϕ
− →
∈ Ω ∈Ω > ⊂ Ω ∈ = +
=
F B
1 1
( ... ) ... ) . ( , ),
( ) ,(
( ) '(0) base canonique de coordonnées d'un vecteur dans
On dit que admet une dérivée partielle en si j j est défini
n
n n
e
j
e e
e e x f a
f j a f a D
x
x f a ϕ
= ∈ Ω ∈Ω
∂ = =
∂
B B F
( ) ( ) '( ) admet une dérivée partielle en l'application partielle est dérivable en : e i i
j
f j a ssi f a f a f a
x
∂ =
∂ peut admettre des dérivées partielles en et ne pas être continue en
f a a
est de classe sur si admet des dérivées partielles en tout point de et que celles ci sont continues1
f C Ω f Ω
1
1
1 0
1
( , ) ( ... ) 0 ( , ) ,
( ... ) (0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) où lim ( ) 0
, , tq
n
n
n
n j
j j h
f a f
f a a a r a r
h h f a a h h h h
h h r x ε ε
∞
∞ = →
∈ Ω = ⊂ Ω > ⊂ Ω
+ = + ∂ × + ×
∀ = ∈ =
∑
∂C B
B
Preuve : (dim 2 :) f a( + −h) f a( )→"palier" f a( 1+h a1, 2), f2:t f a( 1+h t1, )∈D1(]a2 −r,a2+r[, )
2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1
1 2 1 1 2
2
2
2 2
1 2
0
: ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
/
0
tq , Idem, tq
h
f f
TAF c d a c h A f a h a f a a h c h c A c a h
y x
f f f f f f
f a h f a a h a h N h a h c a c a a
x y ∞ y y x x →
∂ ∂
< = + − = + × =
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − −∂ × −∂ × ≤ ∂ + −∂ + ∂ −∂ →
0 /
, 0 ( , ) ( , )
(0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 0
( ) tq est différentiable en si
tel que , où
est appelée différentielle de en et notée ou
n
h a
a r a r f a
h r f a h f a h h h h
f a df a df
ϕ
ϕ ε ε
ϕ
→
∈Ω > ⊂ Ω ∃ ∈
∀ ∈ + = + + =
B L
B
1
1 ( ) : ( ) ( , )
Une fonction est différentiable en tout point de , et , n
j
n j
j
a df a h f a h
= x
Ω ∀ ∈Ω ∂ ∈
∑
∂C L
/
( , )
a un sens : ( ) , mais seul n'a AUCUN SENS
n
a
df df f
a df a df
Ω ∂
=
L
( , ) diff. en admet des dérivées selon tout vecteur en , et , ( ) /a( )
n
f ∈ ΩF a∈Ω ⇒ f a ∀ ∈h D f ah =df h
/ /
1
( ) ( ) : ( ) ( )
diff. en admet dériv. part. en a j a n j
j j
h
j
f f
f a f n a a df e df h D f a a h
x = x
∂ ∂
⇒ = = ×
∂
∑
∂) 1
( , p est de classe si chacune des j ( , ) app. coordonées l'est
f ∈ ΩF C f ∈ ΩF
Chaque admet lui-même dérivées partielles, et j ( ) p
k
f n f a
x
∂ ∈
∂
0
1
1 0
( , ) de classe , , 0 / ( , ) . (0, ), ( ) ( ) ( ) ( )
h
p
k k n
k
f a r a r h r f a h f a h f a h h
x ε
→
= →
∈ Ω ∈Ω > ⊂ Ω ∀ ∈ + = + ∂ +
∑
∂F C B B
1
/ /
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La jacobienne de en :
p n
i j
n
Can a p n a
i j
f h
f a Jac f a df a df h J
x ∈ ∈ h
∂
= =∂ ∈ ⇒ = ×
Mat M
0
1 1
0 0 / ( ) 0 0 0
1
( , ) ) : '( ) ( '( )) ( ( )) '( )
( ( )
, )
, ( dér. sur et t n
j
j j
I f
f g I t I g t df t t t
t f t x
I γ
γ γ γ γ
γ =
→ ∂
∈C Ω ∈C ⇒ ∀ ∈ = =
∑
∂ ×Preuve : δ / ( (f γ t0 +δ))= f( ( ))γ t0 +d /γ(t0f)(δγ'( )t0 +δε δ2( ))+ δγ'( )t0 +δε δ ε2( ) ( )...h
0 0
( ) et dérivable e
La condition différentiable en f a=γ t γ n t est suffisante pour ce théorème
/ ( ) /
1
1 1
1 1
1
. ( , ), ( , ), ( ) ( ... )
( )
( , ) ( ) ( ( )) (
...
) (
, ( ))
, , (
, et les coordonnées dans et
, et C'est à dire,
q n p q n
n
p k
q j
j k j
q
n
q
b b
k
U f U y y x x
d f f
f U j b U b b b
d f
df d f
dy x y
b U v
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
=
⊂ Ω ⊂ ∈ Ω ∈ Ω
∂ ∂
⇒ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ = × =
∂ ∂
∀ ∈ ∀ ∈
∑
C C
C
)/b =df/ ( )ϕ b dϕ/b
On a la même propriété en remplaçant tous les " " par des "différentiable"C1
1
/
/ 1
1
( , )
( , ) ( )
est et ,
On note diff en
n
a
n x
j a
n n
n
j j
j j
x j
f f a df f
dx f a df f a dx
x x ϕ
=
∈ ⇒ ∀ ∈ =
→ ∂
= → ∈ Ω ∈Ω ⇒ =
∑
∂L C
F
( )( ) ( )( ( )) ( )( )
Jac f ϕ b =Jac f ϕ b ×Jacϕ b
1 1 1 /
/ /
1 1
( )
, 1( , ).
( ), ( ) ( )
deux ouverts. est un difféomorphisme de sur si est bijective de sur et est de sur et
n n
n
a
a f a
U f f
df U
f U f− U df Gl − d f−
Ω ⊂ ∈ Ω − Ω
Ω Ω ⇒ ∈ =
C C
C
1 2 2
2 2
2
1
*
1
( , ) , 2 arctan
] , [ \ }
( , ) ( cos , sin )
cos sin
cos sin
( )( , ) ( )( , ) sin cos
sin cos
{( ,0),
est un difféomorphisme,
x y x y y
x x y
r r r
Jac r r Jac r J
r r r
x x
ϕ
ϕ π π
θ θ θ
θ θ
θ θ
ϕ θ θ θ ϕ θ θ θ
−
+
−
−
+
+ +
× − → ∈
−
−
= =−
C
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1
( )( , )
(
( , ) cos ( cos , sin ) sin ( cos , sin )
( , ) sin ( c
, )
os , sin ) cos ( cos , sin )
x y
x y x y
y x
x y x y
f f f
r r r r r
r x y
f f
ac x y
f
f f f
r r r r r r r
x y
θ θ θ θ θ θ θ
ϕ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
ϕ
− + +
−
+ +
∂ = ∂ + ∂
∂
=
∈ = ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= − +
∂
Ω
∂ ∂
C
VI. Dérivées d’ordre supérieur
2 2 2
2 2
/ / /
: ( ) ( , ( , )) { }
On note la dérivée partielle de (si elle existe), et x
Si est différentiable : bilin de
e
j i j i i i i i
n n n
a a a
f f f f f
x x x x j x x x
df a df d f d df f
∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ =∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∈L L =
1 2
0 2
2 2
2
2 2
( , )
( , ) ( , ) 1, ,
avec est de classe si elle admet dérivées partielles d'ordre 2 en tout point, et que ces fonctions sont toutes sur
n
i j j i
f n
n
f f
f i j n
x x x x
∈ Ω Ω ⊂
Ω
∂ ∂
∈ Ω ⇒ ∀ ∈ =
∂ ∂ ∂ ∂
C C
C C
Preuve : ∆ =h k, f a( +h b, +k)− f a( +h b, )− f a b( , +k)+ f a b( , ) ϕh:y f a( +h y, )− f a y( , )
, , , , , ,
2 2
,
, ,
1
,
1
2 0
: / ' ( ) ( , ) ( , ) :
( , ) , lim ( , ) : ( , ) ( , )
tq Idem avec
h k h k h k h k h k h k
h k
h k h k h
h
k k
x
f f f
f EAF c c k a h c a c k EAF
y y y
f f
a c h k f a b x f x b k f x h
x y h k x y
ϕ α
→ ψ
∂ ∂ ∂
⇒ ∆ = × =∂ + −∂ ∂ ⇒
∂ ∆ ∂
∆ =∂ ∂ × × ⇒ =∂ ∂ + −
C C
C
... 1
Si elles existent, on définit de même (l'ordre est important, sauf si est de lc asse )
p
p
i
p i
f f
x x
∂
∂ ∂ C
2
2
( 2
2 , )
( , )
( )( ) ( )( )
où , la Hessienne de en :
est est symétrique
n
n
i j i j
f a f a
Hess f a f f Hess f a
x x ∈
∈ Ω Ω ⊂ ∀ ∈Ω
∂
=∂ ∂ ⇒ C
C
2
2 2
/ /
( , ), ( ) a( , )j i ( )( ) Can( )
i j
a
i j f a f e e Hess f a d f
x x
∀ ∂ = ∂ ⇒ =
∂ ∂ Mat
VII. Etude d’extrema
/ ( , )
( , ) différentiable sur ouvert de n. Si a un extremum local en , a 0 n n
f ∈ ΩF Ω f a∈Ω df = L
Si on recherche les extrema de sur quelconque, cette condition n'est valable que sur Dans tous les cas, il faudra valider les candidats (max, min, point selle...)
f A A
1
( ) ( )
On montrera plus tard : Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en et matrice diagonale telle que t
n n
M BON
càd P D M PDP− PD P
∈
∃ ∈ = =
M O
1
2
2
2
2 1
1 2 (
2
/ ( , )
, ) /
2
) 0
( , ) . ( 0 )
( ) ) ( , ( )
( 0
où point critique de
sym BON tq
a L
w w a
f a f df
H Hess f a w w d f λ
λ
=
∈ Ω Ω ⊂ =
= ⇒
C
Mat
2 2 2
2
det( ) 0 det( ) 0
tr( ) 0 ( ) 0
det( ) 0
tr( ) 0 ( ) 0
point selle Inconnu
ou minimum
ou maximum
H H
H f a
H x
H f a
x
< ⇒ = ⇒
∂
> > ⇒
∂
> ⇒
< ∂ < ⇒
∂
1
( )
/ ( )
1( , ) avec ( )( ) ( ) ( ) ( ) |
n
f a x
a n
f a x
f Grad f a f a df h f a h
δ
∂
∂
∂
∈C Ω Ω∈ = ∇ = = 〈∇ 〉
VIII. Equations aux dérivées partielles
1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
/ .
( , ) / 0 ( , )/ ( ... ) , ( ... ) ( ... ) ,
avec les intervalles de
avec
n
j j
n n
j
n j
n n
n j
I I
f f f x x f x x h x x h I
x
=
−
=
−
Ω ⊂ Ω =
∈ Ω ∂ = = ∈ Ω ∀ ∈Ω = ∈
∂
∏
∏
C C C
{ }
2
2
2 2
1 2
( 2, ) / 0 : ( , ) ( ) ( ) / , ( , )
Equation des cordes vibrantes : f f
f f x y A x y B x y A B
x t
∈ ∂ −∂ = = + + − ∈
∂ ∂
C C
Méthodes : passage en coordonnées polaires, changement de variables pour se ramener à prod. croisé...
2 2
2 2
1
2 2
2 2 : (
( , ) :
( )
1 1
( , ) ( , ) ( , ) , ) ( co s , sin )
avec Le Laplacien de
En coordonées polaires : (où )
n
j n
j
f f f f
a a
x
f r r r f r r
r r r
f f f
f r
θ θ r θ θ θ θ
θ
=
Ω →
∈ Ω Ω ⊂ ∆ ∂
∂
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
C
∑
