le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
Fonctions r´ eelles de plusieurs variables r´ eelles
1 Espaces vectoriels norm´ es K
n.
Kn=Rn ou Cn.
∀n∈N,Kn :={(x1, x2, ..., xn)/x1, x2, ..., xn∈K}.
Kn est un K-espace vectoriel muni des 2 lois ”somme” et ”multiplication par un scalaire”.
1.1 Norme et topologie.
D´efinition 1.1 Soit E, un espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application N : E −→ R+
x 7→ N(x) = ∥x∥ v´erifiant :
∀u, v ∈E, ∀λ ∈R, i) N(u) = 0⇐⇒u= 0, ii) N(λ.u) = |λ|.N(u),
iii) N(u+v)≤N(u) +N(v).
On dit alors que (E, N) est un espace vectoriel norm´e.
Exemples 1.2 i) La valeur absolue est une norme sur R, ainsi que le module sur C. ii) Pour u= (u1, u2, ..., un)∈Kn, on appelle norme euclidienne de u, le r´eel :
∥u∥2 =
√
u21+u22+...+u2n. In´egalit´e de Schwartz :
∀x, y ∈Kn,|< x, y >| ≤ ∥x∥2.∥y∥2
avec < x, y >=∑n
i=1xi.yi. Preuve.
∀t∈R, < x+ty, x+ty >≥0est un polynˆome entde discriminant4< x, y >2 −4∥x∥2.∥y∥2 ≤0.
CQFD
iii) Pour u= (u1, u2, ..., un)∈Kn,
∥u∥1 =|u1|+|u2|+...+|un|. est une norme.
iv) Pour u= (u1, u2, ..., un)∈Kn,
∥u∥∞= max{|u1|,|u2|, ...,|un|}. est une norme.
Remarque 1.3 De la mˆeme mani`ere qu’avec la valeur absolue, on montre que
∀u, v ∈Kn,| ∥u∥ − ∥v∥ | ≤ ∥u−v∥. D´efinition 1.4 (Boules et voisinage)
i) Soit a ∈ Rn, r > 0, on appelle boule (ouverte) de Rn de centre a et de rayon r l’ensemble
B(a, r) = {V ∈Rn/∥V −a∥< r}.
ii) Soit a ∈ Rn. V ⊂ Rn est un voisinage de a ssi V contient une boule de rayon non nul, centr´ee en a :
∃r >0, B(a, r)⊂V.
D´efinition 1.5 (adh´erence)
Soit A⊂Rn, on appelle adh´erence de A et on note A, l’ensemble¯ A¯:={x∈Rn/∀ϵ >0,∃a∈A,∥a−x∥< ϵ}. Exemples 1.6
1) {n1, n∈N∗}={n1, n∈N∗} ∪ {0}. 2) R∗×R=R×R.
3) Soit n∈N∗, a∈Rn, r∈R∗+.
B(a, r) :={V ∈Rn/∥V −a∥< r}={V ∈Rn/∥V −a∥ ≤r}.
Repr´esentation graphique pour n = 2 suivant la norme choisie dans l’exemple ci-dessus.
D´efinition 1.7 Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e.
i) On dit que A⊂E est ouvert ssi
∀x∈A,∃ϵ >0, B(x, r)⊂A.
(Un ouvert est voisinage de tous ses points)
ii) On dit que A⊂E est ferm´e ssi E/A est ouvert.
1.2 Normes equivalentes.
D´efinition 1.8 Deux normes sur un espace vectoriel, N, N′, sont dites equivalentes ssi
∃α, β >0,∀x∈E, α.N(x)≤N′(x)≤β.N(x).
Remarque 1.9 (en exo.)
Les normes vues ci-dessus sont toutes ´equivalentes sur Rn (Ce r´esultat peut se g´en´eraliser `a toutes les normes sur Kn).
2 G´ en´ eralit´ es.
2.1 D´ efinition.
D´efinition 2.1
On appelle fonction r´eelle de n variables r´eelles, une fonction f de Rn dans R : f : Df ⊂Rn −→ R
x1 x2
...
xn
7→ f(
x1 x2
...
xn
)
Exemples 2.2
i) f : R2 −→ R
(x, y) 7→ √
x2+y2 .
ii) f : R2 −→ R
(x, y) 7→ √
x2 +y2−1 .
iii) f : R3 −→ R
(x, y, z) 7→ x.ln(z)y .
Remarque 2.3 Les fonctions de plusieurs variables ne sont pas forc´ement `a valeur dans R.
f : Rn −→ Rp
x1
x2 ...
xn
7→
f1(x1, x2, ..., xn) f2(x1, x2, ..., xn)
...
fp(x1, x2, ..., xn)
alors les fi s’appellent les composantes de f.
Les notions de limite, continuit´e, diff´erentiabilit´e, ... se d´efinissent `a partir des composantes.
Exemples 2.4 pour f(x, y, z) = (x2+2yzx −z2,x+y1 )
Repr´esentation graphique.
On peut repr´esenter graphiquementf :R2 −→Rpar une surface dansR3 en prenantz =f(x, y) ouf(x, y)−z = 0.
Exemples 2.5
Figure 1 – f(x, y) =x2+y etf(x, y) =x2+y2
2.2 Limite en un point.
D´efinition 2.6 f :Df ⊂Rn−→R. Soient a= (a1, ..., an)∈Df et l∈R. On dit que f tend vers l en a si
∀ϵ >0,∃α >0/∀u∈Df(∥u−a∥< α=⇒ |f(u)−l|< ϵ).
Remarque 2.7 Si la limite existe, elle est unique.
Exemples 2.8 1) f(x, y) =x.sin(x+1y) converge vers 0 en (0,0).
2) f(x, y) = x.(yx22+x)+y+y2 2 converge vers 1 en (0,0) 3) f(x, y) = x.y|x3|+y.x+|y|3 converge vers 0 en (0,0) 4) f(x, y) = xx64+y.y38 converge vers 0 en (0,0).
Remarque 2.9 Si Γ⊂Df avec a ∈Γ alors l = lim
u→a,u∈Df
f(u) =⇒l = lim
u→a,u∈Γf(u).
Exercice 2.10 1) f(x, y) = x4x+y2y2. 2) f(x, y) = xx63+yy24.
Propri´et´es 2.10.1 Soient f : D ⊂ Rn −→ R et g : D ⊂ Rn −→ R admettant des limites en a∈D alors :
i) limu→a(f(u) +g(u)) =limu→af(u) +limu→ag(u), ii) si λ∈R, limu→aλ.f(u) =λ.limu→af(u),
iii) limu→af.g(u) = limu→af(u).limu→ag(u), iv) si limu→ag(u)̸= 0, limu→afg(u) = limlimu→af(u)
u→ag(u),
Propri´et´es 2.10.2 Soient f :Df ⊂Rn−→R admettant une limite l en a∈D et et g :Dg ⊂ R−→R admettant une limite l′ en l alors :
ulim→ag◦f(u) = l′.
2.3 Continuit´ e.
D´efinition 2.11 f :Df ⊂Rn−→R. Soit a= (a1, ..., an)∈Df. On dit que f est continue en a si
∀ϵ >0,∃α >0/∀u∈Df(∥u−a∥< α=⇒ |f(u)−f(a)|< ϵ)
⇐⇒ lim
u→af(u) =f(a).
Propri´et´es 2.11.1 i) Si f : D ⊂ Rn −→ R et g : D ⊂ Rn −→ R sont continues en a alors f +g, λ.f, f.g, fg sont continues en a,
ii) Les fonctions polynˆomes (`a plusieurs ind´etermin´ees) sont continues en tous points, iii) Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de d´efinition.
iv) Si f : Df ⊂ Rn −→ R continue en a et g : Dg ⊂ R −→ R continue en f(a) alors g ◦f continue en a.
v) Si f :Rn −→R continue et g :R−→R continue alors f(..., g(.), ...) continue.
Exemples 2.12 i) f(x, y) = sin(√
|(sin(x))2+ 3.y3|) est continue sur R2. ii) Soit f :R2 →R
{
f(x, y) = xyxx22−+yy22 si (x, y)̸= (0,0) f(0,0) = 0
f est-elle continue sur R2? iii) Soit f :R2 →R
{ f(x, y) = xsin(1y) +ysin(x1) si x.y ̸= 0 f(x, y) = 0 sinon
3 D´ eriv´ ees partielles.
3.1 D´ eriv´ ees partielles d’ordre 1.
Soit f :Df ⊂Rn −→R. Soit a= (a1, a2, ..., an)∈Df.
D´efinition 3.1 On dit que f admet une d´eriv´ee partielle par rapport `a xi en a si xi 7→f(a1, ..., xi, ..., an) est d´erivable en ai.
Cette d´eriv´ee est not´ee fx′
i(a) ou ∂x∂f
i(a).
Exemples 3.2 1) Soit f(x, y) = 2x2y, g(x, y) = sin(xy)xy . D´eterminer les d´eriv´ees partielles.
2) f(x, y, z) =x2.z.arctanyz pour z ̸= 0.
Remarque 3.3 ∂f∂x(x0, y0) est la pente de la tangente `a la surface repr´esentant f sur le plan y=y0.
Exercice 3.4 1) Soit
f(x, y) =
{ y.sin(x)
x si x̸= 0 y si x= 0 Est-elle continue ? admet-elle des d´eriv´ees partielles ? 2) Soit
f(x, y) =
{ sin(x3)−sin(y3)
x2+y2 si (x, y)̸= (0,0) 0 sinon
Est-elle continue ? admet-elle des d´eriv´ees partielles ? sont-elles continues ?
Remarque 3.5 Une fonction admettant des d´eriv´ees partielles en(x0, y0)n’est pas n´ecessairement continue en (x0, y0).
Exemple Soit
f(x, y) =
{ x.y
x2+y2 si (x, y)̸= (0,0) 0 sinon
Montrer que f n’est pas continue et admet des d´eriv´ees partielles en tout point.
3.2 Application aux plans tangents.
Le plan tangent `a une surface en 1 point a le mˆeme rˆole que la tangente pour les courbes.
D´efinition 3.6 Soitf :Df ⊂R2 −→R une fonction continue dont les d´eriv´ees partielles sont continues (on dit que f est C1).
Une ´equation duplan tangent `a la surface d’´equationz =f(x, y) au point (x0, y0, f(x0, y0)) est
(z−z0) = ∂f
∂x(x0, y0)(x−x0) + ∂f
∂y(x0, y0)(y−y0).
Exemples 3.7 Trouver l’´equation du plan tangent en(1,1,3)`a la surface repr´esentantf(x, y) = 2.x2+y2.
Remarque 3.8 On peut d´efinir une surface en prenant, pour une fonction g : R3 −→ R, les solutions de l’´equation g(x, y, z) = 0.
Dans ce cas l’´equation du plan tangent au point(x0, y0, z0) est
∂g
∂x(x0, y0, z0)(x−x0) + ∂g
∂y(x0, y0, z0)(y−y0) + ∂g
∂z(x0, y0, z0)(z−z0) = 0.
3.3 D´ eriv´ ees partielles d’une compos´ ees.
Th´eor`eme 3.9 Soit f :R2 −→R admettant des d´eriv´ees partielles continue en (x0, y0).
Soit u, v :R−→R d´erivable en t0 avec u(t0) =x0 et v(t0) = y0. Alors f(u(.), v(.)) :R−→R est d´erivable en t0 et
f′(t0) = ∂f
∂x(x0, y0).∂u
∂t(t0) + ∂f
∂y(x0, y0).∂v
∂t(t0).
Preuve.
f(u(t0+h), v(t0+h))−f(u(t0), v(t0))
=f(u(t0) + ∂u∂t(t0).h+o(h), v(t0) + ∂v∂t(t0).h+o(h))−f(u(t0), v(t0))
= ∂f∂x(x0, y0).(∂u∂t(t0).h+o(h)) + ∂f∂y(x0, y0).(∂v∂t(t0).h+o(h))
= ∂f∂x(x0, y0).∂u∂t(t0).h+∂f∂y(x0, y0).∂v∂t(t0).h+ ∂f∂x(x0, y0).o(h)) + ∂f∂y(x0, y0).o(h)).
D’o`u le r´esultat en divisant par h et en faisant tendre h vers 0 CQFD
Remarque 3.10 On peut adapter ce r´esultat `a une fonction f(g1(.), g2(.), ..., gn(.)) o`u f : Rn−→R et ∀i∈ {1,2, ..., n}, gi :Rp −→R (p, n∈N∗).
Exemple : Trouver les d´eriv´ees partielles de f(x +y, xy, sin(xy)) en fonction des d´eriv´ees partielles (continues) de f.
3.4 D´ eriv´ ees partielles d’ordre ≥ 2.
Les d´eriv´ees partielles sont elles aussi des fonctions de plusieurs variables. On peut donc les d´eriver `a nouveau et obtenir ainsi lesd´eriv´ees partielles secondes de f. On note alors :
∂2f
∂x2 := ∂∂f∂x
∂x , ∂2f
∂x ∂y := ∂∂f∂y
∂x , ...
Et ainsi de suite pour les d´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur...
Exercice 3.11 Soit f(x, y, z) =x2.z.arctanyz. 1) Calculer ∂∂x2f2, ∂∂y2f2, ∂x ∂y∂2f , ∂y ∂x∂2f .
2) Que remarquez-vous ? (voir th´eor`eme de Schwarz ci-dessous) Th´eor`eme 3.12 (th´eor`eme de Schwarz)
Soit une application f : Df ⊂R2 −→R telle que f admette des d´eriv´ees partielles ∂x ∂y∂2f , ∂y ∂x∂2f continues en un point a de Df. Alors
∂2f
∂x ∂y(a) = ∂2f
∂y ∂x(a) Preuve.
Soit a= (x0, y0). Soit h, k ∈Rtels que [x0, x0+h]×[y0, y0+k]⊂Df. Posons ∆ =f(x0+h, y0+k)−f(x0+h, y0)−f(x0, y0+k) +f(x0, y0).
Analysons ∆ de deux mani`ere :
a) ∆ =ϕ(x0+h)−ϕ(x0) avec ϕ(x) = f(x, y0 +k)−f(x, y0).
ϕ ´etant d´erivable, on peut appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a ϕ sur [x0, x0 +h], d’o`u
∃h1 ∈[0, h],∆ =h.ϕ′(x0+h1).
Maisϕ′(x0+h1) = ∂f∂x(x0+h1, y0+k)−∂f∂x(x0+h1, y0). On applique le th´eor`eme des accroissements finis de nouveau (`ay7→ ∂f∂x(x0+h1, y) sur [y0, y0+k]) et on obtient
∃h1 ∈[0, h],∃k1 ∈[0, k],∆ = h.k. ∂2f
∂y ∂x(x0+h1, y0+k1).
b) ∆ =ψ(y0+k)−ψ(y0) avec ψ(y) = f(x0+h, y)−f(x0, y).
ψ ´etant d´erivable, on peut appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a ψ sur [y0, y0+k], d’o`u
∃k2 ∈[0, k],∆ =k.ψ′(y0+k2).
Maisψ′(y0+k2) = ∂f∂x(x0+h, y0+k2)−∂f∂x(x0, y0+k2). On applique le th´eor`eme des accroissements finis de nouveau (`ax7→ ∂f∂x(x, y0+k2) sur [x0, x0+k]) et on obtient
∃k2 ∈[0, h],∃h2 ∈[0, k],∆ =k.h. ∂2f
∂x ∂y(x0+h1, y0+k1).
Donc
∂2f
∂y ∂x(x0+h1, y0+k1) = ∂2f
∂x ∂y(x0+h1, y0+k1).
En faisant tendre h etk vers 0, on obtient le r´esultat.
CQFD
4 diff´ erentiabilit´ e.
4.1 diff´ erentielle.
Les d´eriv´ees partielles nous donnent l’accroissement d’une fonction par rapport `a une variable.
La diff´erentielle va nous permettre de connaˆıtre l’accroissement d’une fonction par rapport `a toutes les variables.
D´efinition 4.1 Soit f : D ⊂ R2 −→ R. On dit que f est diff´erentiable au point (x0, y0) s’il existe a, b∈R tels que
f(x0 +h, y0+k) = f(x0, y0) +a.h+b.k+h.ϵ1(h, k) +k.ϵ2(h, k), avec
lim
(h,k)→(0,0)ϵ1(h, k) = 0 pour i= 1,2.
Remarque 4.2 Une fonction diff´erentiable en (x0, y0) est continue en (x0, y0).
Le th´eor`eme suivant nous donne une condition suffisante surf pour ˆetre diff´erentiable.
Th´eor`eme 4.3 Soit f : D ⊂ R2 −→ R. Si les d´eriv´ees partielles ∂f∂x et ∂f∂y existent dans un voisinage de centre (x0, y0) et sont continues en (x0, y0), alors f est diff´erentiable en (x0, y0) :
f(x0+h, y0+k) =f(x0, y0) + ∂f
∂x(x0, y0)h+ ∂f
∂y(x0, y0)k+hϵ1(h, k) +kϵ2(h, k), avec
lim
(h,k)→(0,0)ϵi(h, k) = 0 pour i= 1,2.
D´efinition 4.4 Siz =f(x, y), alorsla diff´erentielledz, appel´ee aussidiff´erentielle totale, est d´efinie pas
dz =df = ∂f
∂x(x, y)dx+∂f
∂y(x, y)dy.
4.2 Diff´ erentielles exactes.
D´efinition 4.5 Une forme diff´erentielle ω = p(x, y)dx + q(x, y)dy est dite diff´erentielle exacte ssi il existe une fonction f :R2 −→R telle que ω soit la diff´erentielle de f.
Remarque 4.6 D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, si p, q sont C1, alors : (ω exacte) =⇒ ∂p
∂y = ∂q
∂x. Exemples 4.7 Les diff´erentielles ci-dessous sont-elles exactes ? i) ω=xdx+xdy.
ii) ω =xdx+ydy.
iii) ω=yexydx+xexydy+dz.
4.3 Formule de Taylor-Lagrange d’ordre 2.
Soit f :U ⊂Rn −→R de classe C2 (U ouvert).
Soit a∈U. Soit r >0 tel que B(a, r)⊂U. Soith =
h1 h2
...
hn
∈Rn avec 0 <∥h∥< r.
Consid´erons
ϕ: [0,1] −→ R
t 7→ f(a+th) ϕ est C2 sur [0,1].
En appliquant la formule de Taylor avec reste int´egral, on obtient
Th´eor`eme 4.8 Soit f :U ⊂Rn−→R de classe C2 (U ouvert).
Soit a ∈U.
f(a+h) =f(a) +
∑n i=1
hi∂f
∂xi(a) + 1 2
∑
1≤i,j≤p
hi.hj ∂2f
∂xi∂xj(a) +o(∥h∥2).
Remarque 4.9 (Matrice Hessienne)
Soit f :Rn−→R. On appelle matrice Hessienne de f la matrice H(f) =
∂2f
∂x12
∂2f
∂x1∂x2 ... ∂x∂2f
1∂xn
∂2f
∂x2∂x1
∂2f
∂x22 ... ∂x∂2f
2∂xn
... ... ... ...
∂2f
∂xn∂x1
∂2f
∂xn∂x2 ... ∂x∂2f
n2
.
On a alors
f(a+h) = (f(a) +
∑n i=1
hi∂f
∂xi
(a)) + 1
2.(ht.H(f).h) +o(∥h∥2).
4.4 Extremums.
D´efinition 4.10 Soit f :Df ⊂Rn−→ R. On dit que f admet un maximum local (resp.
minimum local) en a ∈ Df si il existe une boule B de centre a (i.e. un ensemble de la forme, pour un ϵ > 0, B = {x∈ Rn,∥a−x∥ < ϵ}) telle que ∀x ∈ B∩Df, f(x) ≤f(a) (resp.
f(x)≥f(a)).
Proposition 4.11 Soit f : Df ⊂ Rn −→ R admettant des d´eriv´ees partielles en toutes les variables sur un disque (i.e. boule dans R2) de centre a de rayon ϵ >0.
Si f admet un extremum local en a alors toutes les d´eriv´ees partielles sont nulles en a (i.e. si n= 2, le plan tangent `a la surface repr´esentant f est parall`ele au plan (Ox, Oy))
Preuve.
La formule de Taylor donne imm´ediatement le r´esultat.
CQFD
Remarque 4.12 Le r´esultat pr´ec´edent implique que les points susceptibles d’ˆetre des extrema sont les points pour lesquels f n’admet pas de d´eriv´ee partielle en toutes les variables ou ceux auxquels les d´eriv´ees partielles sont nulles (points critiques).
Exemples 4.13 1) f(x, y) = x4+y4 −4xy+ 1.
2) g(x, y) = x((ln(x))2+y2).
Proposition 4.14 Soit f : Df ⊂ R2 −→ R admettant des d´eriv´ees partielles premi`ere et seconde continues sur un disque (i.e. boule dans R2) de centre a de rayon ϵ > 0 telles que
∂f
∂x(a) = 0 et ∂f∂y(a) = 0.
Soit
Q(a) = det(H(f)(a)) = ∂2f
∂x2(a).∂2f
∂y2(a)−( ∂2f
∂x ∂y(a))2. Alors
a) Si Q(a)>0 et ∂∂x2f2(a)>0 alors a est un minimum local.
b) Si Q(a)>0 et ∂∂x2f2(a)<0 alors a est un maximum local.
c) Si Q(a) < 0 alors a n’est ni un maximum local, ni un minimum local (a est appel´e point selle).
d) Si Q(a) = 0, on ne peut pas conclure.
Preuve.
(preuve rapide)
Grˆace `a la formule de Taylor-Young `a l’ordre 2 :
f(a+h)−f(a) = 12.(∂∂x2f2(a).h21+ ∂∂y2f2(a).h22 + 2.∂x ∂y∂2f (a).h1.h2) +o(∥h∥2) avec h= ( h1
h2 )
. Le discriminant du polynˆome en h1, P(h1) = ∂∂x2f2(a).h21+ ∂∂y2f2(a).h22+ 2.∂x ∂y∂2f (a).h1.h2 est ∆ = (2.∂x ∂y∂2f (a).h2)2−4.∂∂x2f2(a).∂∂y2f2(a).h22. Donc le signe de P(h1) est constant ssi Q(a)>0.
On en d´eduit alors le r´esultat CQFD
Remarque 4.15 L’´etude de la matrice Hessienne permet de g´en´eraliser ce qui pr´ec`ede `a l’´etude des extrema de fonctions de n variables avec n >2.
Exemples 4.16 Reprenons f(x, y) = x4+y4−4xy+ 1 et g(x, y) = x((ln(x))2+y2).
