(i) Calculer ses d´eriv´ees partielles

S3 MIMP 2008-2009

M202.MIMP ´El´ements de calcul diff´erentiel Responsable: S. De Bi`evre

Feuille d’exercices 3 D´eriv´ees partielles et directionnelles

Exercice 1

D´eterminer, pour chacune des fonctions suivantes, leur domaine de d´efinition.

Puis, calculer leurs d´eriv´ees partielles, en chaque point de leur domaine, lorsqu’elles existent:

(i)f(x, y) =x²exp(xy) (ii)f(x, y) = ln(x+p

x²+y²) (iii) f(x, y) = sin²x+ cos²y (iv)f(x, y, z) =x²y²√

z Exercice 2

On consid`ere la fonctionf, d´efinie surR² parf(x, y) =xcosy+yexpx.

(i) Calculer ses d´eriv´ees partielles.

(ii) Soitv= (cosθ,sinθ), θ∈[0,2π[. CalculerD_vf(0,0). Pour quelle(s) valeurs de θ cette d´eriv´ee directionnelle de f est-elle maximale/minimale?

Que cela signifie-t-il?

Exercice 3

Soitf :R→Rd´erivable. Calculer les d´eriv´ees partielles de :

g(x, y) =f(x+y) h(x, y) =f(x²+y²) k(x, y) =f(xy) Exercice 4

Soitf :R²→R, d´efinie par

f(x, y) =x si |x|>|y|

f(x, y) =y si |x|<|y|

f(x, y) = 0 si |x|=|y|.

Etudier la continuit´e de´ f, l’existence des d´eriv´ees partielles et leur conti- nuit´e.

Exercice 5

Soitf :R²→Rd´efinie par

f(x, y) =xy^x_x²2^−y+y²² si (x, y)6= (0,0) f(0,0) = 0

Etudier la continuit´e de´ f. Montrer quef est C¹.