D´ eriv´ ees n-i` emes usuelles
D est l’op´erateur de d´erivation.
n d´esigne un entier naturel.
Les intervalles de validit´e sont `a pr´eciser.
• Dn(exp) = exp ; D2n(ch) = ch ; D2n+1(ch) = sh ; D2n(sh) = sh ; D2n+1(sh) = ch
• Dn(cos) (x) = cos
x+n·π 2
; D2n(cos) = (−1)ncos ; D2n+1(cos) = (−1)n+1sin
• Dn(sin) (x) = sin
x+n·π 2
; D2n(sin) = (−1)nsin ; D2n+1(sin) = (−1)ncos
• poura∈Cetk∈N :
dn dxn
(x−a)k=
k(k−1). . .(k−n+ 1).(x−a)k−n= k!
(k−n)!(x−a)k−n si n < k
n! si n=k
0 si n > k
dn dxn
1 x−a
= (−1)n.n!
(x−a)n+1
(on en d´eduit les d´eriv´ees de toute fonction rationnelle, apr`es d´ecomposition en ´el´ements simples dansC(X))
• poura∈Retα∈R: dn
dxn
(x−a)α=α(α−1). . .(α−n+ 1).(x−a)α−n (sur ]a,+∞[)
d dx
|x−a|α=α·|x−a|α x−a et dn
dxn
|x−a|α=α(α−1). . .(α−n+ 1)· |x−a|α
(x−a)n (sur ]−∞, a[ et sur ]a,+∞[)
