Activit´e de math´ematiques
D´ erivation des fonctions usuelles
D´ efinition du nombre d´ eriv´ e d’une fonction f en x
0.
D´efinition 1. Une fonction f d´efinie sur un intervalle ouvert I de R est dite d´erivable en x0 ∈ I si le quotient f(x)−f(x0)
x−x0
admet une limite quand x tend vers x0, cette limite est alors appel´ee nombre d´eriv´e de la fonction f en x0 et not´eef′(x0).
D´efinition 2. Une fonction f d´efinie sur un intervalle ouvert I de R est dite d´erivable en x0 ∈ I si le quotient f(x0+h)−f(x0)
h admet une limite quand h tend vers 0, cette limite est alors appel´ee nombre d´eriv´ede la fonction f en x0 et not´ee f′(x0).
Prouver que les deux d´efinitions ci-dessus sont ´equivalentes.
Nombre d´ eriv´ e des fonctions usuelles
On d´efinit le taux d’accroissement d’une fonctionf enx0 par ∆(h) = f(x0+h)−f(x0)
h .
1. On consid`ere la fonction carr´e f(x) = x2. Calculer son taux d’accroissement ∆(h) en x0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour toutx0 ∈Ret que f′(x0) = 2x0.
2. On consid`ere la fonction cube f(x) = x3. Calculer son taux d’accroissement ∆(h) en x0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour toutx0 ∈Ret que f′(x0) = 3x20.
3. On consid`ere la fonction inverse f(x) = 1
x. Calculer son taux d’accroissement ∆(h) en x0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour toutx0 ∈R∗ et que f′(x0) =− 1
x20. 4. On consid`ere la fonction racine carr´ee f(x) =√
x. Calculer son taux d’accroissement ∆(h) en x0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour tout x0 ∈R∗+ et quef′(x0) = 1
2√x0
.
5. (a) On consid`ere la fonction sinus f(x) = sin(x). Calculer son taux d’accroissement ∆(h) en x0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour tout x0 ∈Ret que f′(x0) = cos(x0).
(b) On consid`ere la fonction cosinusf(x) = cos(x). Calculer son taux d’accroissement ∆(h) enx0 et prouver que f admet un nombre d´eriv´e en x0 pour tout x0 ∈Ret que f′(x0) =−sin(x0).
On pourra pour cette question utiliser les r´esultats suivants :
sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa lim
x→0
sinx x = 1 cos(a+b) = cosacosb−sinasinb lim
x→0
cosx−1 x = 0
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