´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.

Institut Galil´ee 2010-2011 Fili`ere MACS2

Math´ematiques, Th´eorie G´en´erale I

Devoir maison 2 : ´ Equations diff´ erentielles et

´ equations aux d´ eriv´ ees partielles.

Ce devoir est `a rendre pour le 21/03/2011. Le plus grand soin sera apport´e `a la r´edaction des d´emonstrations.

Exercice 1

1. R´esoudre, dans l’ensemble des fonctions localement int´egrables surR, l’´equation diff´erentielle : 2xu⁰−u= 0.

2. SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0. SoitT1 sa restriction `aD<sup>0</sup>(R<sup>∗</sup>+) et soitT2 sa restriction `a D⁰(R^∗−).

a. CalculerT1 etT2.

b. SoitS=T −T₁−T₂. V´erifier que le support deS est inclus dans{0}.

c. SoitR=Pp

k=0akδ^(k)∈ D⁰(R) o`u lesak sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒ R= 0.

d. En d´eduire les solutions dansD⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T= 0.

2. R´esoudre, dansD⁰(R), l’´equation diff´erentielle :

2xT⁰−T =δ₀.

3. En d´eduire une solutionT ∈ D⁰(R) de l’´equation diff´erentielle 2xT⁰−T =f, o`uf ∈ D<sup>0</sup>(R) est `a support compact.

Exercice 2

SoitN ∈N. On pose :

F_N : R → C t 7→ _2π¹ PN

k=−Ne^ikt . La fonctionF_N ∈L¹_loc(R). On noteT_N la distribution associ´ee `a F_N. 1. Montrer que, pour toutt∈R\2πZ,

FN(t) = 1 2π

sin(^(2N₂^+1)t) sin^t₂ .

2. SoitM ∈N. Soitϕ∈C₀^∞(R) dont le support est inclus dans [−(2M+ 1)π,(2M + 1)π]. Montrer que :

< T_N, ϕ >= 1 2π

Z π

−π

sin(^(2N+1)t₂ ) sin₂^t φ(t) dt, o`u, pour toutt∈R,φ(t) =PM

k=−Mϕ(t+ 2kπ).

3. En ´ecrivantφ(t) =φ(0) +tψ(t) o`uψ est de classeC^∞, montrer que la suite (TN)_N∈Nconverge dansD⁰(R) vers la distributionP

n∈Zδ2πn.

Exercice 3

On consid`ere la distribution deD⁰(R²) donn´ee par la fonction int´egrable :

∀(t, x)∈R², E(x, t) = ₁

2 si t− |x|>0 0 si t− |x| ≤0 . 1. Calculer (∂²_tt−∂²_xx)E dansD⁰(R²).

2. En d´eduire une solutionu∈ D⁰(R²) de l’´equation aux d´eriv´ees partielles :

∂_tt²u−∂_xx² u=f, o`uf ∈ D<sup>0</sup>(R<sup>2</sup>) est `a support compact.

3. Sif ∈C₀^∞(Ω), Ω ouvert deR², que peut-on dire deu?

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