8. ´Equations aux d´eriv´ees partielles

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8. ´ Equations aux d´ eriv´ ees partielles

Beaucoup de probl`emes de physique font intervenir la r´esolution d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Nous allons ´etudier dans ce chapitre les ´equations les plus utilis´ees. Ce sont des ´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires du second ordre.

1. Les grandes ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles de la physique

1.1. ´Equation de Laplace C’est l’´equation :

∇²u= 0. (1.1)

La fonctionu(x, y, z) peut ˆetre l’´energie potentielle de gravitation dans une r´egion ne contenant pas de mati`ere, le potentiel ´electrostatique dans une r´egion ne con- tenant pas de charges, ou encore la temp´erature stationnaire (c’est-`a-dire ne d´epen- dant pas du temps) dans une r´egion ne contenant pas de sources de chaleur.

1.2. ´Equation de la chaleur, ou ´equation de diffusion C’est l’´equation :

∂u

∂t =D∇²u. (1.2)

Ici la fonction u(x, y, z, t) peut ˆetre la temp´erature non stationnaire (c’est-`a-dire d´ependant du temps) dans une r´egion o`u il n’y a pas de sources de chaleur. Ce peut ˆetre aussi la concentration d’une substance diffusante (par exemple une esp`ece chimique). La constanteD > 0 est appel´ee lecoefficient de diffusion. `A une dimen- sion, la fonction u ne d´epend que dex et de t, et l’´equation de diffusion s’´ecrit :

∂u

∂t =D∂²u

∂x². (1.3)

1.3. ´Equation des ondes, ou ´equation de propagation C’est l’´equation :

∇²u= 1 v²

∂²u

∂t². (1.4)

Ici la fonctionu(x, y, z, t) repr´esente le d´eplacement par rapport `a l’´equilibre d’une corde vibrante ou d’une membrane, ou, en acoustique, du milieu vibrant (gaz, liquide ou solide). En ´electricit´e, u(x, y, z, t) peut ˆetre le courant ou le poten- tiel le long d’une ligne de transmission. La fonction u(x, y, z, t) peut ˆetre aussi une composante du champ ´electrique ou du champ magn´etique dans une onde

´electromagn´etique (lumi`ere, ondes radio,. . .). La quantit´evest lavitesse de propa- gation des ondes : par exemple, pour les ondes lumineuses dans le vide, c’est la vitesse de la lumi`ere c, et pour les ondes sonores, c’est la vitesse `a laquelle le son se propage dans le milieu consid´er´e.

A une dimension, on a simplement :`

∂²u

∂x² = 1 v²

∂²u

∂t². (1.5)

Dans ce cours, nous allons davantage nous pr´eoccuper de r´esoudre ces ´equa- tions que de les ´etablir d’un point de vue physique. Nous utiliserons la m´ethode de r´esolution des ´equations aux d´eriv´ees partielles connue sous le nom de s´eparation des variables (ou m´ethode de Fourier).

2. ´ Equation de Laplace

Nous consid´erons ici un probl`eme conduisant `a la r´esolution de l’´equation de Laplace :

∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² + ∂²u

∂z² = 0. (2.1)

Les fonctionsu(x, y, z) v´erifiant l’´equation de Laplace sont appel´eesfonctions har- moniques. L’´equation de Laplace est v´erifi´ee par exemple par la temp´erature sta- tionnaire dans un corps homog`ene Ω ne contenant pas de sources de chaleur, limit´e par une surface σ.

2.1. Conditions aux limites

Pour que la temp´erature du corps soit d´etermin´ee de mani`ere univoque `a partir de cette ´equation, il faut par exemple connaˆıtre la temp´erature sur la surface σ.

On peut donc formuler de la mani`ere suivante les conditions aux limites pour

Equation de Laplace´ 79 l’´equation (2.1) : trouver une fonction u(x, y, z) v´erifiant l’´equation (2.1) `a l’int´e- rieur du volume Ω et prenant en chaque point M de la surface σ des valeurs donn´ees :

u|_σ =φ(M). (2.2)

Si l’on ne connaˆıt pas la temp´erature sur la surface du corps, mais que l’on connaˆıt le flux de chaleur, proportionnel `a ∂u/∂n, en chaque point de la surface, on aura sur la surface σ la condition :

∂u

∂n σ

=ψ(M). (2.3)

Si l’on consid`ere la distribution de la temp´erature sur le domaine plan D, limit´e par le contour C, la fonction u d´epend seulement de deux variables x et y, et v´erifie l’´equation de Laplace pour le plan :

∂²u

∂x² + ∂²u

∂y² = 0. (2.4)

Les conditions aux limites (2.2) ou (2.3) doivent ˆetre v´erifi´ees sur le contour C.

2.2. Distribution stationnaire de temp´erature dans une plaque rec- tangulaire

Une longue plaque de m´etal rectangulaire a ses deux longs cˆot´es et l’extr´emit´e

´eloign´ee `a la temp´erature T<sub>0</sub> et la base `a la temp´erature T₁ (Fig. 1).

x=0 x=l

T₀ T₀

T1 Figure 1

O x

y

La largeur de la plaque est`. On cherche la distribution stationnaire de temp´erature

`

a l’int´erieur de la plaque. Pour simplifier, on suppose que la plaque est si longue

par rapport `a sa largeur que sa longueur dans la direction y peut ˆetre consid´er´ee comme infinie. On dit alors qu’on a une plaquesemi-infinie.

La temp´erature T satisfait `a l’´equation de Laplace dans la plaque, o`u il n’y a aucune source de chaleur :

∇²T = 0 ou ∂²T

∂x² + ∂²T

∂y² = 0. (2.5)

Nous avons ´ecrit le laplacien en coordonn´ees rectangulaires, parce que les limites de la plaque sont rectangulaires. Il n’y a pas de d´eriv´ee partielle par rapport `a z parce que la plaque est `a deux dimensions.

•Pour r´esoudre cette ´equation, nous allons essayer une solution de la forme

T(x, y) =X(x)Y(y), (2.6)

o`u, comme indiqu´e,X ne d´epend que dexetY ne d´epend que dey. En substituant la forme (2.6) de T(x, y) dans l’´equation (2.5), on obtient

Y d²X

dx² +X d²Y

dy² = 0, (2.7)

soit :

1 X

d²X dx² + 1

Y d²Y

dy² = 0. (2.8)

L’´etape suivante est r´eellement la clef de la proc´edure de s´eparation des variables.

Chacun des termes de l’´equation (2.8) est une constante, parce que le premier terme est une fonction de x seul, tandis que le second est une fonction de y seul.

On peut donc ´ecrire 1 X

d²X

dx² =−1 Y

d²Y

dy² = const.=−k², k ≥0, (2.9) c’est-`a-dire :

X⁰⁰ =−k²X, Y⁰⁰ =k²Y. (2.10)

La constantek² est appel´ee laconstante de s´eparation. Les solutions des ´equations diff´erentielles (2.10) sont :

X =nsinkx

coskx Y = e^ky

e^−ky. (2.11)

Les solutions de l’´equation (2.5) poss´edant la forme (2.6) sont :

T =XY =







e^ky sinkx, e^−ky sinkx, e^kycoskx, e^−kycoskx.

(2.12)

Equation de Laplace´ 81

• Aucune de ces quatre solutions, dites solutions fondamentales, ne satisfait aux conditions aux limites donn´ees. Nous allons maintenant chercher une combi- naison de ces solutions, avec la constantek choisie convenablement, qui satisfasse aux conditions aux limites donn´ees. Cette m´ethode de r´esolution est bas´ee sur le principe de superposition : l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2.5) ´etant lin´eaire, toute combinaison lin´eaire de solutions de cette ´equation est ´egalement une solu- tion de cette ´equation.

•Pour simplifier les calculs, nous allons prendreT₀ = 0. Nous supposonsk >0 et nous ne gardons donc pas les solutions contenant e^ky puisque T → 0 lorsque y→ ∞. Ensuite, nous ne gardons pas les solutions contenant coskxpuisque T = 0 lorsque x = 0. Ceci nous laisse juste la solution e^−kysinkx, mais la valeur de k doit encore ˆetre d´etermin´ee. Lorsque x = `, nous avons T = 0. Ceci sera vrai si l’on a :

k = nπ

` , n= 1,2, . . . (2.13)

Donc pour n’importe queln entier, la solution

T(x, y) =e^−nπy/` sinnπx

` (2.14)

satisfait les conditions aux limites donn´ees sur les trois cˆot´es o`u la temp´erature a

´et´e suppos´ee nulle.

• Nous devons aussi avoir T = T1 lorsque y = 0. Cette condition n’est pas satisfaite par la formule (2.14) pour n’importe queln. Mais nous allons ´ecrire pour T(x, y) une s´erie infinie :

T(x, y) =

∞

X

n=1

b_ne^−nπy/` sinnπx

` . (2.15)

Poury = 0, nous devons avoir T =T1 : T1 =

∞

X

n=1

bn sin nπx

` . (2.16)

L’expression au second membre de l’´equation (2.16) est le d´eveloppement en s´erie de Fourier de sinus de la fonctionf(x) = T1 sur l’intervalle (0, `). Les coefficients de cette s´erie sont donn´es par :

bn = 2

` Z `

0

f(x) sinnπx

` dx. (2.17)

On a

bn = 2

nπ T1[1−(−1)ⁿ] =





 4T1

nπ , n impair, 0, n pair,

(2.18) d’o`u la solution :

T = 4T1

π

e^−πy/` sin πx

` + 1

3e^−3πy/` sin 3πx

` +· · ·

. (2.19)

3. ´ Equation de diffusion ou ´ equation de la chaleur

L’´equation de diffusion ou ´equation de la chaleur est

∂u

∂t =D∇²u, (3.1)

o`u u(x, y, z, t) est la temp´erature et o`u le coefficient de diffusion D > 0 est une constante caract´eristique du mat´eriau dans lequel la chaleur diffuse. Il est utile de commencer par effectuer une s´eparation de l’´equation (3.1) en une partie spatiale et unepartie temporelle.

•On cherche donc une solution de l’´equation (3.1) de la forme

u =F(x, y, z)T(t). (3.2)

Ici u d´esigne la temp´erature et T la partie de u qui d´epend du temps. En substi- tuant dans l’´equation (3.1) la forme (3.2) de la solution, on obtient

F dT

dt =D T∇²F, (3.3)

soit :

1

F ∇²F = 1 D

1 T

dT

dt. (3.4)

Le membre de gauche de l’´equation (3.4) ne d´epend que des variables d’espace et le membre de droite est seulement une fonction du temps. Donc les deux membres sont ´egaux `a une constante et l’on peut ´ecrire

1

F ∇²F =−k² ou ∇²F +k²F = 0, (3.5)

et : 1

D 1 T

dT

dt =−k² ou dT

dt =−k²DT. (3.6)

L’´equation en temps peut ˆetre int´egr´ee. On obtient :

T =e^−Dk2t. (3.7)

La raison physique pour avoir choisi la constante de s´eparation −k² n´egative est que, lorsque t augmente, la temp´erature du corps peut d´ecroˆıtre vers z´ero, mais ne peut ´evidemment pas devenir infinie, ce qui aurait ´et´e le cas si nous avions choisi +k². L’´equation (3.5) relative aux coordonn´ees d’espace s’appelle l’´equation de Helmholtz.

Consid´erons maintenant le flux de chaleur `a travers une plaque d’´epaisseur ` (par exemple la paroi d’un r´efrig´erateur). On suppose que les faces de cette plaque

Equation de diffusion ou ´´ equation de la chaleur 83 sont si larges qu’on peut n´egliger tous les effets de bord et supposer que la chaleur s’´ecoule uniquement dans la direction x (Fig. 2).

y

O x

l

Figure 2

Ce probl`eme est alors identique au probl`eme de la diffusion de la chaleur dans une barre de longueur ` avec des cˆot´es isolants. Pour le r´esoudre, il faut se donner, d’une part, des conditions initiales, d’autre part, des conditions aux limites.

•Conditions initiales :

On suppose qu’`a l’instant t= 0 la plaque poss`ede une distribution de temp´e- rature telle que le mur x = 0 est `a la temp´erature T0, et le mur x = ` est `a la temp´erature T1.

•Conditions aux limites :

A partir de` t = 0, on suppose que les murs x = 0 et x = ` sont tous les deux maintenus `a la temp´erature T<sub>0</sub> (prise ´egale `a 0 pour simplifier les calculs).

On cherche `a connaˆıtre la temp´erature T(x, t >0).

Tout d’abord, cherchons la distribution initiale de temp´erature T(x, t = 0).

Elle varie lin´eairement avec x, ce qui peut se d´emontrer au moyen de l’´equation de Laplace. La temp´erature initialeu0 v´erifie en effet l’´equation de Laplace

d²u0

dx² = 0, (3.8)

dont la solution est une fonction lin´eaire de x :

u₀ =ax+b. (3.9)

Commeu0 = 0 `a x= 0 et u0 =T1 `a x=`, on a : u0 = T1

` x. (3.10)

Pourt >0,usatisfait `a l’´equation de la chaleur (3.1). Nous avons d´ej`a effectu´e la s´eparation des variables pour cette ´equation. La solution `a variables s´epar´ees est de la forme

u=F(x)T(t), (3.11)

o`u F(x) v´erifie l’´equation :

d²F

dx² +k²F = 0 (3.12)

On a donc

F(x) =

sinkx

coskx, (3.13)

et les solutions fondamentales sont : u=

e^−Dk2tsinkx

e^−Dk2tcoskx. (3.14)

Comme on suppose que u s’annule en x = 0, on ne garde pas la solution en coskx. Comme on veut que u s’annule aussi en x=`, on doit avoir

sink` = 0, (3.15)

donc :

k = nπ

` . (3.16)

Les solutions fondamentales sont donc

u =e^{−n2π2Dt/`2} sinnπx

` , (3.17)

et la solution du probl`eme sera la s´erie : u(x, t) =

∞

X

n=1

b_ne^{−n2π2Dt/`2} sinnπx

` . (3.18)

A l’instantt = 0, on doit avoir u=u0, d’o`u

∞

X

n=1

bnsinnπx

` =u0 = T1

` x. (3.19)

On est donc ramen´e `a trouver la s´erie de Fourier de la fonction impaire ´egale `a T1

` x sur l’intervalle (0, `). On obtient bn= T1

` 2l

π

(−1)ⁿ⁻¹

n , (3.20)

Equation d’ondes´ 85 d’o`u la solution pour u :

u(x, t) = 2T1

π

e^−π2Dt/`2 sin πx

` − 1

2e^−4π2Dt/`2 sin 2πx

` +· · ·

. (3.21) Equation de Schr¨´ odinger

Les m´ethodes de r´esolution illustr´ees ci-dessus pour l’´equation de la chaleur s’appliquent aussi `a l’´equation de Schr¨odinger `a laquelle ob´eissent les fonctions d’ondeψ(x, t) de la m´ecanique quantique :

i¯h ∂ψ

∂t =−¯h² 2m

∂²ψ

∂x². (3.22)

Le “coefficient de diffusion” est toutefois ici imaginaire, ce dont il faut soigneuse- ment tenir compte dans l’analyse des r´esultats.

4. ´ Equation d’ondes

Prenons l’exemple de la corde vibrante. Il s’agit d’une corde ´etir´ee, dont les extr´emit´es sont fix´ees enx= 0 et enx=`. Lorsque la corde vibre, son d´eplacement verticaly `a partir de sa position d’´equilibre d´epend de x et de t. Nous supposons que le d´eplacement y est toujours tr`es petit et que la pente ∂y/∂xde la corde en un point quelconque et `a un instant quelconque est petite. Autrement dit, nous supposons que la corde ne s’´ecarte jamais beaucoup de sa position d’´equilibre. En fait, nous ne distinguons pas entre la longueur de la corde et la distance entre les supports. Ces hypoth`eses faites, on peut montrer que le d´eplacement y v´erifie l’´equation d’ondes `a une dimension :

∂²y

∂x² = 1 v²

∂²y

∂t². (4.1)

La constante v d´epend de la tension et de la densit´e lin´eaire de la corde. Elle est appel´ee vitesse de propagation des ondes parce que c’est la vitesse `a laquelle une perturbation se d´eplace sur la corde. Pour s´eparer les variables, on pose :

y=X(x)T(t). (4.2)

Les fonctionsX(x) et T(t) ob´eissent aux ´equations diff´erentielles 1

X d²X

dx² = 1 v²

1 T

d²T

dt² =−k², (4.3)

c’est-`a-dire :

X⁰⁰+k²X = 0, (4.4)

T⁰⁰ +k²v²T = 0. (4.5)

Pour des raisons physiques, la constante de s´eparation doit ici ˆetre n´egative. Elle a donc ´et´e ´ecrite sous la forme −k². Les solutions doivent d´ecrire des vibrations repr´esent´ees par des sinus et des cosinus. Les solutions des deux ´equations (4.4) et (4.5) sont :

X =nsinkx

coskx T =nsinkvt= sinωt

coskvt= cosωt. (4.6)

On a introduit la pulsationω =kv. Les solutions fondamentales poury sont donc :

y =







sinkx sinωt, sinkx cosωt, coskx sinωt, coskx cosωt.

(4.7)

Comme la corde est fix´ee enx= 0 et en x=`, il faut que pour ces valeurs de x, la fonction y s’annule `a tout instant. Nous ne gardons donc que les termes en sinkx dans les solutions (4.7) et nous choisissons k de sorte que sink`= 0, soit :

k = nπ

` , n= 1,2, . . . . (4.8)

Les solutions (4.7) deviennent donc :

y =











sinnπx

` sinnπvt

` sinnπx

` cosnπvt

` .

(4.9)

La combinaison particuli`ere de solutions (4.9) `a choisir pour r´esoudre un probl`eme donn´e d´epend des conditions initiales. Nous allons donner en d´etail la solution pour deux types classiques de conditions initiales, correspondant respectivement

`

a la corde pinc´ee et `a la corde frapp´ee.

4.1. La corde pinc´ee

Supposons qu’`a l’instant initial, la corde est ´ecart´ee de sa position d’´equilibre.

Autrement dit, nous nous donnons la formey0 =f(x) de la corde `a l’instant initial, et aussi le fait que la vitesse ∂y

∂t des points sur la corde est nulle `a l’instant initial (Fig. 3).

C’est le probl`eme de lacorde pinc´ee. Nous chercherons la solution du probl`eme sous la forme

y=

∞

X

n=1

b_n sin nπx

` cosnπvt

` , (4.10)

qui assure une vitesse nulle `a l’instant t = 0.

Equation d’ondes´ 87 y

O x

y0 = f(x)

l/2 l

y0 = 2h(l-x)/l y0 = 2hx/l

Figure 3

Les coefficients bn se d´eterminent en ´ecrivant qu’`a t = 0 on a y0 = f(x), c’est-`a- dire :

y0 =

∞

X

n=1

bn sinnπx

` =f(x). (4.11)

Il suffit de calculer les coefficients de Fourierb_net de les substituer dans la formule (4.10). Le r´esultat est :

y= 8h π²

sinπx

` cosπvt

` − 1

9 sin3πx

` cos3πvt

` +· · ·

. (4.12)

4.2. La corde frapp´ee

Il est possible de r´esoudre de mani`ere analogue le probl`eme de lacorde frapp´ee (c’est par exemple le cas d’une corde de piano). Dans ce cas, y= 0 pour t = 0, et la vitesse initiale ∂y

∂t `a t = 0 est une fonction donn´ee V(x) de x. La solution du probl`eme est de la forme

y=

∞

X

n=1

Bn sin nπx

` sinnπvt

` , (4.13)

choix qui assure y= 0 `a l’instant t = 0.

Les coefficientsB_n doivent ˆetre d´etermin´es de mani`ere `a avoir : ∂y

∂t

t=0

=

∞

X

n=1

B_nnπv

` sinnπx

` =

∞

X

n=1

b_n sin nπx

` =V(x). (4.14)

Autrement dit, la vitesse initialeV(x) doit ˆetre d´evelopp´ee en s´erie de Fourier de sinus.

4.3. Les modes propres de vibration

Si la corde vibre de telle sorte qu’au lieu d’une s´erie infinie poury nous ayons juste une des solutions (4.8), par exemple

y = sinnπx

` sinnπvt

` , (4.15)

la forme de la corde, lorsque les d´eplacements ont leurs valeurs maximales, est : y= sinnπx

` . (4.16)

Les graphes correspondants sont repr´esent´es sur la Fig. 4.

Figure 4

-2 -1 0 1

2 n = 2

0 3,142

y

x -2

-1 0 1

2 n = 1

0 3,142

y

x

-2 -1 0 1

2 n = 3

0 3,142

y

x

-2 -1 0 1

2 n = 4

0 3,142

y

x

Lorsque n= 1, la fr´equence est v/(2l) ; en musique, ce son est appel´e le son fondamental. Si n= 2, la fr´equence est le double de la fr´equence du fondamental ; ce son est appel´e le second harmonique, et ainsi de suite. Toutes les fr´equences que la corde peut produire sont des multiples de la fr´equence fondamentale. Ces fr´equences sont appel´ees les fr´equences caract´eristiques de la corde. Les fa¸cons dont la corde peut vibrer pour produire un son pur caract´eris´e par une fr´equence unique sont appel´ees les modes normaux de vibration. Toute vibration est une combinaison lin´eaire de ces modes normaux (voir par exemple les formules (4.11) ou (4.12). La solution (pour une valeur den) d´ecrivant un mode normal est appel´ee fonction caract´eristique ou fonction propre.