D´eterminer les solutions maximales de l’´equation homog`ene associ´ee

Universit´e de Grenoble I Ann´ee 2011/2012

Institut Fourier Examen du 16 mai 2012

L3 de Math´ematiques, section A Calcul diff´erentiel

Dur´ee: 3 heures – il sera tenu particuli`erement compte de la r´edaction.

Documents, calculettes et t´el´ephones portables interdits.

Question de cours

0.a. ´Enoncer le th´eor`eme d’inversion locale et le th´eor`eme des fonctions implicites, en dimension quelconque.

0.b. Montrer que le th´eor`eme d’inversion locale et le th´eor`eme des fonctions implicites d´ecoulent l’un de l’autre en dimension finie.

Exercice 1 On consid`ere dans R l’´equation diff´erentielle d’ordre 2

(∗) d²y

dt² + 2dy

dt + 2y= (cost)e^−t.

1.a. Que peut-on dire quant `a l’intervalle de d´efinition des solutions maximales (on justifiera l’affirmation). D´eterminer les solutions maximales de l’´equation homog`ene associ´ee.

1.b. ´Ecrire un syst`eme diff´erentiel d’ordre 1 ´equivalent `a l’´equation (∗).

1.c. D´eterminer une solution particuli`ere du syst`eme pr´ec´edent. En d´eduire quelles sont les solutions maximales de l’´equation diff´erentielle initiale.

Exercice 2 2.a. On consid`ere dans R³ la fonction d´efinie par

f(x, y, z) =x²+y²−z⁶

D´eterminer pour quelles valeurs du param`etre λ ∈R l’ensemble de niveau Sλ ={(x, y, z)∈R³; f(x, y, z) =λ}

est une sous-vari´et´e de R³. Quelle est la dimension de Sλ ? 2.b. Que se passe-t-il au(x) point(s) singulier(s) de Sλ ?

2.c. Si g est une fonction de classe C^k sur un voisinage de (0,0) dans R², montrer que v 7→ _∂u^∂kkg(u, uv)_|u=0 est un polynˆome de degr´e≤ k en v que l’on explicitera en fonction des d´eriv´ees partielles de g.

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2.d. On se propose d’´etudier la classe de diff´erentiabilit´e de la sous-vari´et´e Σp,q deR³ d´efinie par

x^2p+y^2p−z^2q+1 = 0

au voisinage de (0,0,0), lorsque p, q sont des entiers ≥ 0. En observant que cette sous-vari´et´e s’´ecrit globalement comme un graphe z = gp,q(x, y), on commencera par ´etudier la diff´erentiabilit´e de x 7→ gp,q(x,0). En d´eduire quelle est la classe de diff´erentiabilit´e lorque 2p/(2q + 1) n’est pas un entier. `A l’aide de 2.c, donner

´egalement le r´esultat lorsquek = 2p/(2q+1) est un entier, suivant queq = 0 ouq≥1.

Exercice 3

3.a. D´eterminer les extrema de la fonction f(x, y, z) = x²−y+z sur la sph`ere unit´e x²+y²+z² = 1 ; on calculera en particulier le maximum global et le minimum global de f.

3.b. D´eterminer les extrema de f sur la demi-sph`ere d´efinie par x² +y²+z² = 1 et z ≥0.

Exercice 4 On consid`ere dans le planR² le champ de vecteurs

M = (x, y)7→−→

V (M) = (x²+y,−x−y).

4.a. D´eterminer les points singuliers de ce champ de vecteurs.

4.b. Calculer les diff´erentielles D−→

V en ces points, et d´eterminer s’il s’agit de points singuliers stables ou instables.

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