b) Montrer que les solutions maximales sont globales

Universit´e de Lille L3 Math´ematiques

2019-2020 M-62

Th´eorie de Cauchy

Exercice 1

a) Montrer que la fonction Arctan est 1-lipschitzienne surR.

b) Montrer que la fonctionx7→x² est localement lipschitzienne surRmais pas lipschitzienne.

c) La fonctionx7→ |x|est-elle localement lipschitzienne surR? d) Montrer que la fonctionx7→p

|x| n’est pas localement lipschizienne surR.

Exercice 2

On consid`ere l’´equation diff´erentielley<sup>0</sup>=f(y), o`u la fonctionf est d´efinie surRpar

f(x) =

0 six≤0 x si 0< x≤1 1 six >1

a) Montrer que, pour toute condition initialey(t0) =y0, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution maximale.

b) Montrer que les solutions maximales sont globales.

Exercice 3

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰= y² 1 +y².

a) Montrer que, pour toute condition initialey(t0) =y0, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution maximale (ϕ, J).

b) Quelles sont les solutions constantes (appel´ees solutionsstationnaires) ? c) En d´eduire queϕreste de signe constant surJ.

d) Montrer queJ =R.

e) Montrer que ϕ est croissante, puis qu’elle admet des limites λ (resp. µ) en −∞ (resp. +∞), avec λ, µ∈R∪ {±∞}.

f) On supposey0>0.

i) Montrer queλ∈Rpuis que _1+λ^λ2₂ = 0. En d´eduireλ.

ii) Montrer que, siµ∈R, alors _1+µ^µ22 = 0. En d´eduireµ.

g) On supposey0<0 : d´eterminer de mˆemeλetµ.

h) Tracer l’allure des graphes des solutions.

Exercice 4

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰= Arctan ty

1 +t²y²

.

1

a) Justifier que, pour toute condition initiale, le probl`eme de Cauchy associ´e admet une unique solution maximale. Montrer que ces solutions sont globales.

b) Montrer que si (ϕ,R) est solution, alors la fonctionϕest paire.

Exercice 5 examen 2019

Soitα >0 fix´e. On consid`ere l’´equation diff´erentielle y⁰=αy(1−y) avec la condition initialey(0) =y₀.

a) Montrer que ce probl`eme admet une unique solution maximale (ϕ,]T_∗;T^∗[).

b) Quelles sont les solutions stationnaires ?

c) On supposey0∈]0; 1[ : montrer que la fonctionϕest born´ee et en d´eduire queT∗=−∞etT^∗= +∞.

Faire le tableau de variations (sens de variation et calcul des limites ´eventuelles) deϕsurR. d) Siy₀>1, montrer que T^∗= +∞et d´eterminer le comportement deϕ(t) quandt→+∞.

e) Siy₀<0, montrer que T_∗=−∞et d´eterminer le comportement deϕ(t) quandt→ −∞.

f) Tracer le portrait de phase de l’´equation, en repr´esentant le champ des vitesses et l’allure de quelques solutions pour des conditions initiales vari´ees.

Exercice 6

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰= (1 + cost)y−y² avec la condition initialey(0) =y0.

a) Montrer que ce probl`eme admet une unique solution maximale (ϕ,]T_∗;T^∗[), et que ϕ est ou bien identiquement nulle, ou bien jamais nulle.

b) On suppose y₀ ≥ 0. Soit f(t) = e^−ctϕ(t) : choisirc ∈ R pour que f soit d´ecroissante. Montrer que pour une telle valeur dec, on a

∀t∈[0;T^∗[, 0≤ϕ(t)≤y₀e^ct c) En d´eduire queT^∗= +∞.

Exercice 7

On consid`ere l’´equation diff´erentielley⁰= t³(1−y²)y

1 +t² avec la condition initialey(0) =y₀.

a) Montrer qu’il existe une unique solution maximale (ϕ, J). Quelles sont les solutions stationnaires ? b) Montrer queϕest paire, et qu’il existea∈R^+∗∪ {+∞} tel queJ =]−a;a[.

c) On suppose y₀ > 1 : faire le tableau de variation de ϕ et en d´eduire que J = R. Montrer que ϕ(t)−−−−→

t→±∞ 1.

d) Mˆeme question si 0< y0<1.

e) Tracer l’allure des solutions associ´ees aux conditions initialesy0≥0.

Exercice 8

Montrer que le probl`eme de Cauchy







y⁰⁰=−y−y³ y(0) =a y⁰(0) =b

admet une unique solution maximale, et que celle-ci est globale(indication : multiplier l’´equation par y⁰).

2

Exercice 9

a) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel

x⁰=y

y⁰ =−x en posantz=x+iy, et tracer le portrait de phase.

b) On d´efinit la fonctionf surRpar

f(u) = e^−1/u siu >0 0 siu≤0 Montrer quef est de classeC¹ surR.

c) Montrer que le syst`eme diff´erentiel

x⁰=y−x·f(x²+y²) y⁰ =−x−y·f(x²+y²)

admet une unique solution maximale (ϕ,]T_∗;T^∗[) quelle que soit la condition initiale. Montrer que T^∗= +∞(on pourra ´etudier la fonctionϕ²₁+ϕ²₂) et queϕ−−−−→

→+∞ 0.

Exercice 10

On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

x⁰=x²−y−1 y⁰=x(y+ 1) avec la condition initialex(0) =x0,y(0) =y0.

a) Montrer qu’il existe une unique solution maximale (ϕ, J).

b) On supposex²₀+y²₀<1 : montrer que la fonctionf d´efinie surJ en posantf(t) :=ϕ₁(t)²+ϕ₂(t)²−1 est solution d’une ´equation diff´erentielle. En d´eduire queJ =R.

c) On supposex²₀+y²₀= 1. Montrer queϕest `a valeurs dans le cercle unit´e. D´ecrit-elle tout le cercle ?

Exercice 11

On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

x⁰=−2x+x²y+ 2 y⁰=x−x²y avec la condition initialex(0) =x0≥0,y(0) =y0≥0.

a) Justifier qu’il existe une unique solution maximale (ϕ,]T_∗;T^∗[). D´eterminer les solutions stationnaires.

b) Repr´esenter le champ de vecteurs associ´e sur les demi-axes [Ox) et [Oy). En d´eduire que la trajectoire dans le plan de phase reste dans le quart de planx≥0, y≥0 pour toutt∈[0;T^∗[.

c) En remarquant que (ϕ1+ϕ2)⁰ ≤2 pourt∈[0;T^∗[, montrer queT^∗= +∞.

3