ENTENDRE LA FORME D’UN TAMBOUR
Mini-projet “Analyse num´erique et optimisation” - MAP 431
Propos´e par Karim Trabelsi- [email protected]
En 1966, Kac pose la question “Peut-on entendre la forme d’un tambour ?”, c. `a d., si l’on connaˆıt les fr´equences auxquelles un tambour vibre, peut-on d´eterminer sa forme ? Math´ematiquement, cela correspond au probl`eme sui- vant. Consid´erons une membrane D fix´ee sur son bord. Si l’on note u son d´eplacement `a partir de sa configuration de r´ef´erence (i.e. au repos), alors il est solution du syst`eme suivant
∇2u = u,¨ dansD×]0,∞[, u = 0, sur∂D, u(x, t= 0) = u0, dansD×]0,∞[,
˙
u(x, t= 0) = u1, dansD×]0,∞[,
(1) {mainpb}
o`u nous supposons que les conditions initiales sont r´eguli`eres u0∈H01(D)∩H2(D) et u1∈H01(D).
0.1
En utilisant les th´eor`emes du cours, montrer que le probl`eme (1) poss`ede une solution unique dans
C(]0,∞[, H01(D)∩H2(D))∩C1(]0,∞[, H01(D))∩C2(]0,∞[, L2(D)).
1 Solutions radiales du probl`eme du tambour
Dans un premier temps, nous allons supposer que le support de la mem- brane est exactement le disque unit´e ferm´e dans le planz= 0, i.e.D=D(0,1).
1.1
Montrer que si les fonctions u0 et u1 sont radiales alors la solution u l’est
´egalement.
1.2
En ´ecrivant le Laplacien en coordonn´ees polaires, d´eduire que le d´eplacement v: [0,1]×[0,∞[→R,(r, t)→v(r, t) =u(x, t)est solution d’un autre probl`eme aux limites pos´e sur[0,1]×[0,∞[et que l’on note(∗).
1
1.3
Montrer, `a l’aide de la solution du probl`eme (1), que le probl`eme(∗)poss`ede une solution continue et unique dans C(]0,∞[, H)o`uH = {w ∈ H1(0,1) : w(1) = 0}.
2 R´esolution du probl`eme 1d par diff´erences finies ( Scilab )
2.1
Ecrire un sch´ema aux diff´erences finies explicite en temps qui r´esout de mani`ere approch´ee(∗)avec pour conditions initiales
u0= 0 et u1(r) =−((sinhr)2−1)2.
Tracer la solution approch´ee `a diff´erents instantst ∈ {0,0.1,0.2, . . . ,1}pour une pas d’espace∆r= 0.02et un pas de temps∆t= ∆r/2et∆t= 2∆r. Tester la stabilit´e du sch´ema.
2.2
Ecrire un sch´ema aux diff´erences finies implicite en temps pour le mˆeme probl`eme.
On prendra les mˆemes valeurs pour les pas de temps et d’espace.
3 R´esolution du probl`eme 2d par ´el´ements finis ( FreeFem++ )
Dans cette partie nous nous int´eressons au probl`eme 2d initial (1).
3.1
Ecrire la formulation variationnelle associ´ee `a ce probl`eme et la discr´etiser en espace et en temps `a l’aide d’unθ-sch´ema.
3.2
A l’aide du logiciel FreeFem++, r´esoudre num´eriquement le probl`eme (1), avec pour donn´ees initiales
u0= 0 et u1(x, y) =−((sinhp
x2+y2)2−1)2.
On prendra un maillage uniforme du disque avec 60 points sur le bord, un pas de temps de 0.01. Tracer la solution ainsi que la coupe de la solution dans le plany= 0aux temps0,0.5,1,1.5et2.
2
4 Les solutions oscillantes du probl`eme 1d ( Scilab )
! ! ! Cette partie est facultative ! ! !
4.1
A pr´esent, en s´eparant les variables du probl`eme(∗):u(r, t) =ϕ(x)ψ(t), mon- trer que les celle-ci sont oscillantes en temps et que ϕ est la solution d’un probl`eme aux valeurs propres que l’on notera(∗∗).
4.2
Discr´etiser le probl`eme(∗∗)et d´eduire une valeur approch´ee des 5 premi`eres fr´equences d’oscillation. Tracer les 5 premiers modes propres. On prendra le mˆeme pas d’espace qu’auparavant.
5 Peut-on entendre la forme du tambour ? ( FreeFem++ )
5.1
En s´eparant les variables dans le probl`eme (1) :u(x, t) =φ(x)Ψ(t), montrer que les solutions du probl`eme (1) de cette forme sont oscillantes p´eriodiquement en temps. Montrer queϕest la solution d’un probl`eme aux valeurs propres que l’on notera(∗ ∗ ∗).
5.2
Nous allons consid´erer deux formes de tambour diff´erentes connues sous les noms de “cocotte” et “fl`eche” (voir la figure ci-dessous).
FIG. 1 – La “fl`eche” (`a gauche) et la “cocotte”.
3
Calculer les valeurs propres du probl`eme(∗ ∗ ∗)pos´e sur chacune des deux formes. On calculera les 10 valeurs propres les plus proches de5. Calculer et tracer les modes propres correspondants. Interpr´eter les r´esultats.
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