Spécialité 1ère – Chapitre 8 Page 1
Chapitre 8 : Les variables aléatoires réelles I- Définitions
1) Variable aléatoire
Exemple 1 :
On considère l’expérience aléatoire suivante : un joueur lance un dé cubique équilibré : si le résultat est un nombre impair, il gagne, en euros, le triple du numéro indiqué, sinon, il perd 10€.
Considérons le « gain algébrique » du joueur : il vaut 3 (s’il obtient la face 1), 9 (s’il obtient la face 3), 15 (s’il obtient la face 5) ou − (s’il obtient une face avec un nombre pair).
Ce gain est donc une variable qui peut prendre 4 valeurs selon le résultat de l’expérience aléatoire.
Définition 1 :
On considère une expérience aléatoire dont l’univers (ensemble de toutes les issues possibles) est noté Ω.
Une variable aléatoire (notée ) est une fonction définie sur Ω à valeurs dans ℝ. Autrement dit, à chaque issue de Ω, la fonction associe une valeur réelle.
Exemple 2 :
Reprenons le jeu précédent et notons le gain algébrique du joueur.
La variable aléatoire est définie sur Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et prend les valeurs −10, 3, 9 ou 15.
Lorsque le résultat du dé donne 2, 4 ou 6, la variable aléatoire prend la valeur −10 : on note [ = −10] l’événement correspondant.
Lorsque le résultat du dé donne 1, la variable aléatoire prend la valeur 3 : on note [ = 3]
l’événement correspondant.
Lorsque le résultat du dé donne 3, la variable aléatoire prend la valeur 9 : on note [ = 9]
l’événement correspondant.
Lorsque le résultat du dé donne 5, la variable aléatoire prend la valeur 15 : on note [ = 15]
l’événement correspondant.
1 2 3 4 5 6
− 3
9
15
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2) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 2 :
La loi de probabilité d’une variable aléatoire est la donnée des valeurs que peut prendre et des probabilités des événements associés notés ( = ).
Remarque 1 :
En notant = ( = ), les valeurs peuvent être regroupées dans un tableau récapitulatif :
!" # $ … &
'(( = !") # $ … &
Remarque 2 :
Il est à noter que #+ $+ ⋯ + & = 1 Exemple 3 : Reprenons le jeu précédent.
L’événement [ = 3] est réalisé par une seule issue : la face 1.
L’événement [ = 9] est réalisé par une seule issue : la face 3.
L’événement [ = 15] est réalisé par une seule issue : la face 5.
L’événement [ = −10] est réalisé par 3 issues : les faces 2, 4 ou 6.
On déduit que ( = 3) = #+ ; ( = 9) =#+ ; ( = 15) =#+ et ( = −10) = .+=#$ Nous venons de définir la loi de probabilité de la variable aléatoire .
On regroupe ces valeurs dans un tableau :
!" −10 3 9 15
'(( = !") 1
2 1
6 1
6 1
6 Vérification : #
$+#++#++#+ = 1
Exemple 4 : Dans un jeu de société, un dé cubique équilibré possède trois faces numérotées 1, deux faces 2 et une face 3. Notons le numéro obtenu lors du lancer du dé. peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3. De plus ( = 1) =.+=#$ , ( = 2) =$+=#. et ( = 3) =#+ :
!" 1 2 3
'(( = !") 1
2 1
3 1
6
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II – Paramètres d’une variables aléatoire
On considère une expérience aléatoire définie sur un univers Ω et une probabilité P associée à cette expérience.
On considère une variable aléatoire associée à cette expérience et prenant / valeurs #, $, … & de probabilités respectives #, $, … , &.
!" # $ … &
'(( = !") # $ … &
Définition 3 :
L’espérance mathématique de (, notée 0((), est le nombre défini par : 1() = ##+ $$+ . . . + && = 2
&
3#
La variance de (, notée 4((), est le nombre défini par :
5() = #(#− 1())² + $($− 1())²+ . . . + &(&− 1())² = 2 (− 1())²
&
3#
La variance peut aussi se calculer de la façon suivante : 5() = ##² + $$²+ . . . + &&² − 71()8$ = 2 $
&
3#
− 71()8$
L’écart-type de (, noté 9((), est défini par : :() = ;5()
Remarque 3 :
La notation avec le symbole ∑ ne doit pas vous perturber, c’est la notation mathématique que l’on utilise pour les sommes afin d’éviter les pointillés.
Exemple 5 :Reprenons le jeu des exemples 1, 2 et 3 : 1() = −10 ×3
6 + 3 ×1
6 + 9 ×1
6 + 15 ×1
6 = −30 + 3 + 9 + 15
6 =−3
6 = −
> = −, ? 5() = 7−10 − (−0,5)8$×3
6 + 73 −(−0,5)8$×1
6 + 79 −(−0,5)8$×1
6 + 715 −(−0,5)8$×1 6
=@A
@ = >, >?
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Autre calcul possible de la variance : 5() = (−10)$×3
6 + 3$×1
6 + 9$×1
6 + 15$×1
6 − B−1 2C
$ =@A
@ = >, >?
On déduit de la variance que :
:() = ;5() = D@A
@ = √@A
> ≈ ,
Exemple 6 :Reprenons l’exemple 4 : 1() = 1 ×3
6 + 2 ×2
6 + 3 ×1
6 =3 + 4 + 3 6 =10
6 =? G 5() = B1 −5
3C
$×3
6 + B2 −5 3C
$×2
6 + B3 −5 3C
$×1
6 =?
A ≈ , ?H
Autre calcul possible de la variance : 5() = 1$×3
6 + 2$×2
6 + 3$×1 6 − B5
3C
$ =?
A ≈ , ?H On déduit de la variance que :
:() = ;5() = D?
A= √?G ≈ , I?
Remarque 4 :
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire peut être interprétée comme la moyenne des valeurs prises par lors d’un grand nombre de répétitions de la même expérience aléatoire.
Dans l’exemple 5, l’espérance mathématique vaut −0,5 ce qui signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, la moyenne de gain est de −0,50 € par partie jouée : on a donc une perte moyenne de 50 centimes par partie jouée.
Si l’on remplace −10 par −9 dans les gains possibles du jeu, l’espérance mathématique serait égale à 0 (vérifiez-le), on dit dans ce cas que le jeu est équitable.
Généralement, l’espérance mathématique d’un jeu d’argent est négative et ce n’est pas surprenant !
Remarque 5 :
La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion utilisés en statistiques (avec les mêmes notations). Plus ils sont grands, plus les valeurs de la variable aléatoire sont
dispersées autour de la moyenne (l’espérance).
L’écart-type est, en quelque sorte, une moyenne des écarts à la moyenne.
