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Partie 0. Un exemple.

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Texte intégral

(1)

DS 2

mercredi 4 octobre 2017 (durée 4 heures) Toute calculatrice interdite

Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n'en rapporte aucun.

EXERCICE

On considère la matrice A=

0 a 1 a 0 1 a 1 0

oùaest un réel.

(a) Déterminer le déterminant deAet en déduire le rang de A(on discutera selona).

(b) Dans cette question on pose a=−2. La matriceA est-elle diagonalisable ? (c) Dans cette question et les suivantes on pose a=1.

La matriceAest-elle diagonalisable ? (si oui, on ne demande pas de la diagonaliser).

(d) Quel est le polynôme minimal deA?

(e) Justier qu'il existe deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N telles que pour toutn,An=anA+bnI. Donner l'expression dean et bn en fonction den.

PROBLÈME

Préliminaires (dénitions et rappels).

• Dans tout le problèmeE désigne un espace vectoriel de dimension nie sur le corps Cdes nombres complexes.

On notensa dimension et on supposen>2. On noteL(E)son algèbre d'endomorphismes.

• Soitu∈ L(E). SiB est une base deE, on noteM at(u,B)la matrice deusur la baseB.

• Soitu∈ L(E). Pour tout entier naturelpnon nul. on noteup=u◦. . .◦u

| {z }

p f ois

. On poseu0=Id.

• SoitP∈C[X]et u∈ L(E); on notera P(u)l'application linéaire dénie par :

∀q∈N, P(u) = X

06k6q

akuk siP(X) = X

06k6q

akXk.

• Soitu∈ L(E). On appelle commutant de ul'ensembleC(u)des endomorphismes qui commutent avecu; on a : C(u) ={v∈ L(E), u◦v=v◦u}.

C(u)est un sous-espace vectoriel deL(E)(on ne demande pas de le prouver).

• On dit qu'un endomorphismeu∈ L(E)est nilpotent si et seulement si il existe un entier naturel non nulptel queup= 0. Dans ce cas, le plus petit entierpvériantup= 0 est appelé indice de nilpotence deu.

• On noteMn(C)l'algèbre des matrices carrées ànlignes etncolonnes et à coecients dans le corps des nombres complexesC.

• On noteraEi,j la matrice deMn(C)dont tous les termes sont nuls sauf celui situé sur la ligneiet la colonnej qui vaut 1. On rappelle que l'ensemble des matrices(Ei,j)16i,j6n constitue une base deMn(C).

(2)

Partie 0. Un exemple.

Dans cette partie, on considère la matriceM deMn(C)telle que : M est diagonale et ses coecients diagonaux sont lesnentiers consécutifs1,2, . . . . n. Ainsi, on a :

M =

1 0 0 . . 0

0 2 0 0 . . 0 0 . 0 . . . 0 . . . . . . . 0

0 . . . 0 n

On noteC(M)le sous-espace vectoriel formé par les matrices deMn(C)qui commutent avecM. 1. Démontrer queC(M)est l'ensemble des matrices diagonales.

2. En déduire la dimension deC(M).

Dans toute la suite du problème,udésigne un endomorphisme deE.

Partie I. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

Siλ∈Cest une valeur propre deu, on noteEλ(u)le sous-espace propre associé : Eλ(u) = ker (u−λid) = ker (λid−u).

Dans cette partie, on suppose l'endomorphismeudiagonalisable.

Soientp∈N et (λ1, λ2, . . ., λp)∈Cp ses valeurs propres distinctes 2 à 2. On a :

E= M

16i6p

Eλi(u).

On poseni = dimEλi(u)pour16i6p.

Soit B une base de E. On rappelle que la base B est dite adaptée à la somme directe E = L

16i6p

Eλi(u) s'il existe pour chaque entieri compris entre1et p, une baseBi= (ei1, . . ., ein

i)du sous-espace vectorielEλi(u)telle que B =

e11, . . ., e1n

1, e21, . . ., e2n

2, . . ., ep1, . . ., epn

p

(attention : eik ne désigne pas une puissance de vecteur, c'est juste une notation pour désigner le kième vecteur de la baseBi).

1. Montrer que siv∈ C(u)alors les sous-espaces propres deusont stables parv.

En déduire que la restriction deuàEλi(u)est un endomorphisme deEλi(u). Cet endomorphisme sera notéui. 2. Pour tout entier i compris entre 1 et p, que peut-on dire de ui ? Quelle est la matrice de ui dans la base

(ei1, . . ., ein

i)?

3. En déduire que v ∈ C(u) si et seulement si, sur une base B adaptée à la somme directe E = L

16i6p

Eλi(u)la matrice dev, notéeM at(v,B)est de la forme :

M at(v,B) =

V1 0 0 . . 0 0 V2 0 0 . .

0 0 . 0 . .

. 0 . . . .

. . . 0

0 . . . 0 Vp

avecVi∈ Mni(C)pour16i6p. 4. Montrer quedimC(u) = P

16i6p

n2i.

5. Montrer que siuest diagonalisable, alorsdimC(u)>n.

6. Montrer qu'il existeu∈ L(E)diagonalisable tel quedimC(u) =n.

(3)

7. Dans cette question seulement on pose ul'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est A=

0 1 1 −1

1 0 −1 1

0 0 1 0

0 0 0 1

. Vérier queuest diagonalisbale et déterminer la dimension de son commutant.

Partie II. Commutant d'un endomorphisme nilpotent d'indice 2.

On suppose dans cette partie queuest nilpotent d'indice2et quen>2. On noterle rang deu. On poses=n−2r. 1. Montrer queImu⊂keru. En déduire que r6n

2.

2. SoitGun supplémentaire dekerudansE muni de la base(e01, e02, . . ., e0r),

(a) Notonsu˜la restriction deuàF. Montrer queu˜est un isomorphisme deGsur son image à préciser.

(b) Montrer que la famille(u(e01), u(e02), . . ., u(e0r))est une base deImu.

3. En utilisant un sous-espace vectorielH de E tel que keru= Imu⊕H, montrer qu'il existe une baseB0 de E telle que :

M at(u,B0) =

0 0 Ir

0 0 0 0 0 0

↔ ↔ ↔r s r l l l r s r

Ir désigne la matrice identité d'ordrer.

4. Soitv∈ L(E); la matrice dev dans la baseB0 est dénie par blocs en posant :

M at(v,B0) =

A1 A2 A3

A4 A5 A6

A7 A8 A9

↔r ↔s ↔r l l l r s r

Montrer quev∈ C(u)si et seulement si





A4= 0s,r

A7= 0r,r

A8= 0r,s

A9=A1

0p,q désignant la matrice nulle àplignes etqcolonnes.

5. En déduire que dim(C(u)) =n2+ 2r2−2rn. Montrer que : dimC(u)>n2 2 .

6. Dans cette question seulement on pose ul'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est A=

0 2 0 4

2 0 4 0

0 −1 0 −2

−1 0 −2 0

.

(a) Quelle est la dimension deC(u)?

(b) Que conclure sur l'inégalité de la question précédente ?

Partie III. Commutant d'un endomorphisme u vériant la relation (1) :

(1) (u−Id)◦(u−2Id)2= 0.

Iddésigne l'application identique deE. On rappelle que :

(u−2Id)2= (u−2Id)◦(u−2Id).

On poseE1= ker (u−Id)etE2= ker (u−2Id)2,n1= dimE1etn2= dimE2; on suppose de plusn1>1,n2>1 et n>2.

1. (a) Énoncer le théorème de décomposition des noyaux.

(b) Montrer que : E =E1⊕E2.

(4)

(c) Justier que les espacesE1 etE2 sont stables paru.

Dans la suite on notep1le projecteur surE1 parallèlement àE2 etp2le projecteur surE2 parallèlement àE1. 2. Décomposer en éléments simples dansC(X)la fraction rationnelle

F(X) = 1

(X−1)(X−2)2.

(Pour ceux qui n'y arrivent pas et pour ne pas les empêcher de faire la suite, on doit trouver F(X) = 1

X−1 − 1

X−2 + 1

(X−2)2. Mais vous n'êtes pas autorisés à partir de ce résultat pour obtenir la décom- position en éléments simples ...)

En déduire deux polynômesU et V tels que :

1 =U(X)(X−1) +V(X)(X−2)2,degU <2 et degV <1.

3. Soitx∈E et posonsx1= [V(u)◦(u−2Id)2](x)et x2= [U(u)◦(u−Id)](x). Montrer quex1∈E1etx2∈E2. En déduire quep1=V(u)◦(u−2Id)2 etp2=U(u)◦(u−Id).

4. On note d = p1 + 2p2 ; montrer que d est diagonalisable (on pourra travailler dans une base adaptée à la décompositionE=E1⊕E2.)

5. Soitw=u−d. Calculerw2, en déduire quew= 0ouwest nilpotent d'indice2. 6. Détermination dedimC(u).

(a) Montrer que : v∈ C(u)si et seulement siv∈ C(d)et v∈ C(w).

(b) Déterminer les restrictions dew àE1 et E2 respectivement. En déduire qu'il existe une baseBdeE telle que

M at(w,B) = 0 0

0 N

↔ ↔n1 n2

l l

n2

n1

oùN est la matrice de l'endomorphisme induit par(u−2Id)surE2 sur une base de E2. (c) Montrer que le rang de la matriceN est égal àn2−dim (ker (u−2Id)).

(d) Montrer que v∈ C(u)si et seulement si

M at(v,B) =

V1 0 0 V2

↔ ↔n1 n2

l l

n2 n1

et

V2N=N V2. (e) Montrer queuest diagonalisable si et seulement siN = 0.

(f) On supposeunon diagonalisable. DéterminerdimC(U)en fonction den1,n2 etdim (ker (u−2Id)).

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