On note ∆ la partie de C 2 formée par les couples (u, v) de complexes tels que u + v = 0 soit Φ la fonction dénie par :

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On note ∆ la partie de C ² formée par les couples (u, v) de complexes tels que u + v = 0 soit Φ la fonction dénie par :

Φ :



 

 

C ² \ ∆ → C ³ (u, v) →

1 + uv

u + v , i 1 − uv u + v , u − v

u + v

Pour tous nombres complexes x , y , z , on considère le système (S) aux inconnues α , β , γ complexes.

(S) :



 

 

xα + xβ − γ = 1 yα + yβ + iγ = i (z − 1)α + (z + 1)β = 0

1. En discutant sur x , y , z , préciser l'ensemble des solutions de (S) . 2. On dénit la partie Im Φ de C ³ par :

∀(x, y, z) ∈ C ³ : (x, y, z) ∈ Im Φ ⇔ ∃(u, v) ∈ C ² \ ∆ tq (x, y, z) = Φ(u, v) Déterminer une équation cartésienne de Im Φ .

3. Quels sont les couples (u, v) pour lesquels Φ(u, v) ∈ R ³ ?

Corrigé

1. Le déterminant attaché au système linéaire (S) est

x x 1

y y i

z − 1 z + 1 0

=

x 0 1

y 0 i

z − 1 2 0

= −2(ix + y)

Lorsque ix + y 6= 0 , le système admet un unique triplet solution que l'on calcule par les formules de Cramer :

1 x −1

i y i

0 z + 1 0

=

1 x 0

i y 2i

0 z + 1 0

= −2i(z + 1)

x 1 −1

y i i

z − 1 0 0

=

x 1 0

y i 2i z − 1 0 0

= 2i(z − 1)

x x 1

y y i

z − 1 z + 1 0

=

x 0 1

y 0 i

z − 1 2 0

= −2(ix − y)

L'unique triplet solution est donc z + 1

x − iy , − z − 1

x − iy , x + iy x − iy

Lorsque ix + y = 0 , on remplace y par −ix . Le système devient :



 

 

xα + xβ − γ = 1 xα + xβ − γ = −1 (z − 1)α + (z + 1)β = 0 Il est donc sans solution.

2. Un triplet (x, y, z) est dans Im Φ si et seulement si il existe des complexes u et v tels que



 

 

 

 

 

 

x = 1 + uv u + v y = i 1 − uv

u + v z = u − v

u + v

⇔



 

 

xu + xv − uv = 1 yu + yv + iuv = i (z − 1)u + (z + 1)v = 0

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Autrement dit (x, y, z) ∈ Im Φ si et seulement si il existe un triplet solution de (S) de la forme (u, v, uv) . Cela est vrai si et seulement si ix + y 6= 0 et

z + 1

x − iy − z − 1 x − iy

= x + iy

x − iy ⇔ 1 − z ² = (x + iy)(x − iy)

⇔ x ² + y ² + z ² = 1 La fonction Φ est donc une paramétrisation de la sphère complexe . Il faut bien noter que x et y étant des nombres complexes, x − iy n'est pas le conjugué de x + iy . 3. On va démontrer que Φ(u, v) ∈ R ³ si et seulement si uv = 1 .

Examinons d'abord la troisième composante.

u − v

u + v ∈ R ⇔ (u − v)(u − v) ∈ R ⇔ |u| ² − |v| ² − vu + uv ∈ R

⇔ −vu + uv ∈ R ⇔ 2i Im(uv) ∈ R ⇔ uv ∈ R Lorsque v 6= 0 , cela revient à ^u _v ∈ R, on pose alors λ = ^u _v ∈ R soit u = λv . Examinons la première composante :

1 + uv

u + v = 1 + λv ²

(1 + λ)v ∈ R ⇔ (1 + λv ² )v ∈ R ⇔ v + λ|v| ² v ∈ R

⇔ (−1 + λ|v| ² )β = 0 avec β = Im v Si β = 0 alors v et u sont réels.

Réciproquement, lorsque u et v sont réels, les premières et troisièmes composantes sont réelles. Il est clair que Φ(u, v) est réel si et seulement si la deuxième composante est nulle soit uv = 1 .

Si λ = _|v| ¹

₂

alors uv = 1 on remplace en utilisant u = ¹ _v et 1 + uv

u + v = 1 + ^v _v

1

v + v = v + v

1 + |v| ² = 2 Re(v) 1 + |v| ² ∈ R i 1 − uv

u + v = i 1 − ^v _v

1

v + v = i v − v

1 + |v| ² = 2 Im(v) 1 + |v| ² ∈ R Si v = 0 alors

Φ(u, 0) = 1

u , i u , 1

ce triplet ne peut pas être formé uniquement de nombres réels.

On a donc bien démontré le résultat annoncé.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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