5–0 f  5  –f  0  

Correction ds 1 : fonctions et dérivation. TES 2 du 6/10/08

Exercice 1 :

1. f ' (0 ) = coefficient directeur de la droite (T) = 1 : réponse a 2. g est définie si f(x)  0 soit x ∈ [ - 5 ; 2 ] : réponse b.

3. g(0) =

 ^{f 0}

 ²

4. g'(x) =

f ' x

2  ^{f x }

f '1

2  ^{f 1}

5. le coefficient directeur de la droite (T) est 1 et l'ordonnée à l'origine est 2 donc une équation est y = x + 2 : réponse b.

Exercice 2 :

1. f ( 2 ) = 2 ; f ' ( - 2 ) = 0 ; f ' ( 2 ) = coefficient directeur de la droite (EF) =

3 – 2 4 – 2

1 2

2. Équation de la tangente : y =f ' ( x0 ) ( x – x0 ) + f ( x0 ) x0 = 2 et d'après 1. : y =

1

2

x 2

3. On déduit le signe de f ' en fonction des variations de f :

x –4 –2 1 6

Signe de f ' (x) + 0 – 0 +

4. f ( x )  x si la courbe  est au dessus de la droite  soit si x ∈ [ 2 ; 6 ].

5. g ( - 4 ) = ( f ( - 4) ) ² = 0 ² = 0

g' ( x ) = 2 f ' ( x) f( x ) donc g ' ( 2 ) = 2 f ' ( 2) f ( 2 ) = 2 × 1

2 ^{× 2 = 2}

6. f  0 . Sur [ 0 ; + ∞ [ , la fonction x ² est croissante donc la fonction g : composée de la fonction f suivie de x² est du même sens de variation que f:

x –4 –2 1 6

g(x) 0

42,25

3 Exercice 3 :

1. f ' ( x ) = 3 x ² – 12 = 3 ( x ² – 2² ) = 3 ( x + 2 ) ( x – 2 ) 2.

x –2 2 + ∞

3( x + 2 ) 0 + +

x – 2 - 0 +

Signe de f '(x) - 0 +

Sens de variation de f

3. D'après le tableau ci-dessus , f admet un minimum en 2 : f ( 2 ) = 8 : strictement positif.

4. g'(x) =

f ' x

2  ^{f x }

3 x 2 x – 2

2  ^x

^{−12 x 24}

5. D'après l'expression trouvé au 4, f ' et g ' sont du même signe . Donc g a les mêmes variations que f : décroissante sur [ - 2 ; 2 ] et croissante sur [ 2 ; + ∞ [.

6.

Exercice 5 :

1. a) Le coût total est de 60 €.

b) Avec 150 € , on peut produire 18 objets ( ont arrondi au nombre inférieur ) 2. a) Par lecture graphique : g ( 14 ) = 60

6 = 10 € . La courbe monte de plus en plus vite donc g ( 19) > g ( 14).

b) Il y a deux courbes qui passent par le point de coordonnées ( 14 ; 10 ) mais il y en a une seule qui vérifie g ( 19) > g ( 14) : C1. 3. a) Le coût moyen h ( 5 ) ≈ 8€ car h ( 5 ) = f5

5 ^≈

40

5

b) Coefficient directeur de la droite (OQ ) :

y Q – y O x Q – x O

f5– f0

5 – 0 ⁼

f 5

5