Correction ds 1 : fonctions et dérivation. TES 2 du 6/10/08
Exercice 1 :
1. f ' (0 ) = coefficient directeur de la droite (T) = 1 : réponse a 2. g est définie si f(x) 0 soit x ∈ [ - 5 ; 2 ] : réponse b.
3. g(0) =
f 0
= 2
: réponse c.4. g'(x) =
f ' x
2 f x
donc g' ( 1 ) =f '1
2 f 1
= 0 : réponse b.5. le coefficient directeur de la droite (T) est 1 et l'ordonnée à l'origine est 2 donc une équation est y = x + 2 : réponse b.
Exercice 2 :
1. f ( 2 ) = 2 ; f ' ( - 2 ) = 0 ; f ' ( 2 ) = coefficient directeur de la droite (EF) =
3 – 2 4 – 2
=1 2
2. Équation de la tangente : y =f ' ( x0 ) ( x – x0 ) + f ( x0 ) x0 = 2 et d'après 1. : y =
1
2
( x – 2 ) + 2 soit y =x 2
+ 13. On déduit le signe de f ' en fonction des variations de f :
x –4 –2 1 6
Signe de f ' (x) + 0 – 0 +
4. f ( x ) x si la courbe est au dessus de la droite soit si x ∈ [ 2 ; 6 ].
5. g ( - 4 ) = ( f ( - 4) ) ² = 0 ² = 0
g' ( x ) = 2 f ' ( x) f( x ) donc g ' ( 2 ) = 2 f ' ( 2) f ( 2 ) = 2 × 1
2 × 2 = 2
6. f 0 . Sur [ 0 ; + ∞ [ , la fonction x ² est croissante donc la fonction g : composée de la fonction f suivie de x² est du même sens de variation que f:
x –4 –2 1 6
g(x) 0
42,25
3 Exercice 3 :
1. f ' ( x ) = 3 x ² – 12 = 3 ( x ² – 2² ) = 3 ( x + 2 ) ( x – 2 ) 2.
x –2 2 + ∞
3( x + 2 ) 0 + +
x – 2 - 0 +
Signe de f '(x) - 0 +
Sens de variation de f
3. D'après le tableau ci-dessus , f admet un minimum en 2 : f ( 2 ) = 8 : strictement positif.
4. g'(x) =
f ' x
2 f x
=3 x 2 x – 2
2 x
3−12 x 24
5. D'après l'expression trouvé au 4, f ' et g ' sont du même signe . Donc g a les mêmes variations que f : décroissante sur [ - 2 ; 2 ] et croissante sur [ 2 ; + ∞ [.
6.
Exercice 5 :
1. a) Le coût total est de 60 €.
b) Avec 150 € , on peut produire 18 objets ( ont arrondi au nombre inférieur ) 2. a) Par lecture graphique : g ( 14 ) = 60
6 = 10 € . La courbe monte de plus en plus vite donc g ( 19) > g ( 14).
b) Il y a deux courbes qui passent par le point de coordonnées ( 14 ; 10 ) mais il y en a une seule qui vérifie g ( 19) > g ( 14) : C1. 3. a) Le coût moyen h ( 5 ) ≈ 8€ car h ( 5 ) = f5
5 ≈
40
5
b) Coefficient directeur de la droite (OQ ) :
y Q – y O x Q – x O
=f5– f0
5 – 0 =
