LOGIQUE D´eduction naturelle,

(1)

Universit´e Bordeaux 1

Master d’Informatique 1, 2013/2014

LOGIQUE

D´eduction naturelle,NK

1-Axiomes

Γ,A

|−−

^A

ax

2-R`egles structurelles

Γ⊢A Γ, B⊢A

aff

3-R`egles des connecteurs Γ⊢A ∧B

Γ⊢A

∧

^g

elim

Γ⊢A ∧B

Γ⊢B

∧

^d

elim

^Γ ^⊢A_Γ⊢A∧B^Γ ^⊢B

∧intro

Γ⊢A∨B Γ,A⊢C Γ,B⊢C

Γ⊢C

∨elim

_Γ⊢A∨B^Γ ^⊢A

∨

^g

intro

Γ ⊢B

Γ⊢A∨B

∨

^d

intro

Γ⊢A Γ⊢A→B

Γ⊢B

→elim

_Γ⊢A→B^{Γ, A⊢B}

→intro

Γ⊢A Γ⊢¬A

Γ⊢⊥

¬elim

^Γ,A⊢⊥_Γ⊢¬A

¬intro

Γ,¬A ⊢⊥

Γ⊢A

⊥classic

4-R`egles des quantificateurs Γ⊢∀x A

Γ⊢A[x:=t]

∀elim

_{Γ⊢∀x A}^Γ⊢A

∀intro( si x / ∈ VL(Γ))

Γ ⊢∃xA Γ,A⊢B

Γ⊢B

∃elim( si x / ∈ VL(Γ, B))

^Γ_Γ⊢∃xA^⊢A[x:=t]

∃intro

(2)

D´eduction Naturelle Intuitionniste, NJ

1-Axiomes

Γ,A

|−−

^A

ax

2-R`egles structurelles

Γ⊢A Γ, B⊢A

aff

3-R`egles des connecteurs Γ⊢A ∧B

Γ⊢A

∧

^g

elim

Γ⊢A ∧B

Γ⊢B

∧

^d

elim

^Γ ^⊢A_Γ⊢A∧B^Γ ^⊢B

∧intro

Γ⊢A∨B Γ,A⊢C Γ,B⊢C

Γ⊢C

∨elim

_Γ⊢A∨B^Γ ^⊢A

∨

^g

intro

Γ ⊢B

Γ⊢A∨B

∨

^d

intro

Γ⊢A Γ⊢A→B

Γ→B

→elim

_Γ⊢A→B^{Γ, A⊢B}

→intro

Γ⊢A Γ⊢¬A

Γ⊢⊥

¬elim

^Γ,A⊢⊥_Γ⊢¬A

¬intro

Γ ⊢⊥

Γ⊢A

⊥elim

4-R`egles des quantificateurs Γ⊢∀x A

Γ⊢A[x:=t]

∀elim

_{Γ⊢∀x A}^Γ⊢A

∀intro ( si x / ∈ VL(Γ))

Γ ⊢∃xA Γ,A⊢B

Γ⊢B

∃elim ( si x / ∈ VL(Γ, B))

^Γ_Γ⊢∃xA^⊢A[x:=t]

∃intro

2