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R´ eduction de Jordan

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Academic year: 2022

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(1)

L2 Parcours sp´ ecial 2012-2013 Universit´ e Paul Sabatier Approfondissement math´ ematiques

R´ eduction de Jordan

1 Michael 3

D´ eterminer une r´ eduite de Jordan de chacune des matrices suivantes :

A =

4 0 −1

−1 1 3

0 −1 4

 , B =

4 1 −2

−1 2 2

0 0 3

 , C =

4 1 −3

−1 2 1

0 0 2

 .

2 Genre dent 4

Soit A la matrice de M

4

( R ) suivante :

A =

−2 −1 1 2

1 −4 1 2

0 0 −5 4

0 0 −1 −1

1. D´ eterminer le polynˆ ome caract´ eristique de A.

2. Montrer que A n’est pas diagonalisable.

3. D´ eterminer une r´ eduite de Jordan en pr´ ecisant la base et la matrice de passage.

4. Calculer le polynˆ ome minimal de A.

5. En d´ eduire l’expression de A

−1

et de A

n

pour n ≥ 1.

3 Michael Genre dent

Reprendre l’exercice pr´ ec´ edent pour les matrices suivantes :

B =

4 −8 0 −3

0 4 0 0

6 −8 −2 −3

0 −8 0 −2

 , C =

−2 −1 1 2

1 −4 1 2

0 0 −5 4

0 0 −1 −1

.

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