Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Lecture graphique (15 minutes) (6 points)
Soit f une fonction d´efinie sur [−3 ; 2].
La courbeCf de la fonctionf a ´et´e repr´esent´ee dans un rep`ere.
(1) D´eterminer graphiquement f(2), f(−1) etf(1).
(2) D´eterminer graphiquement f0(2), f0(−1) et f0(1).
(3) D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangenteT1
`
aCf au point d’abscisse−1.
(4) Quel est le signef0(0)
(5) Donner le tableau de variations de f puis de signes def0
−3 1 2
−5 1 5 7
0
C
A B
C
Solution:
(1) Graphiquementf(−2) = 1, f(−1) = 3 et f(1) = 1 (2) Graphiquementf0(−2) = 7−1
−1 + 2 = 6,f0(−1) = 4−2
−2 =−1 et f0(1) = 4−1 2−1 = 3 ; (3) Au point d’abscisse−1, l’´equation de la tangente est : y=−(x+ 1) + 3 =−x+ 2 (4) f est d´ecroissante autout de 0,f0(0) est donc n´egatif.
(5) x f f0(x)
−3 −1,2 0,5 2
+ 0 − 0 +
Exercice 2 : ´Etude d’une suite (20 minutes) (7 points)
Le diab`ete de type 1 est une maladie qui apparaˆıt le plus souvent durant l’enfance ou l’adolescence. Les individus atteints par cette maladie produisent tr`es peu ou pas du tout d’insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l’organisme. En 2016, 542 000 enfants dans le monde ´etaient atteints de diab`ete de type 1. Des ´etudes r´ecentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diab´etiques va augmenter de 3 % par an `a partir de 2016. On noteunle nombre d’enfants diab´etiques dans le monde pour l’ann´ee (2016+n). Ainsi u0 = 542 000.
1. ´Etude de la suite (un) : (a) Calculeru1.
(b) Donner la nature de la suite (un) et pr´eciser sa raison.
(c) Pour tout entier natureln, exprimer un en fonction de n.
TES 5 DS 1 Page 2 de 5 2. Calculer le nombre d’enfants atteints de diab`ete de type 1 dans le monde en 2021.
3. On consid`ere l’algorithme suivant :
Initialisation U prend la valeur 542 000 N prend la valeur 0 Traitement Tant queU <625 000
U prend la valeur 1,03×U N prend la valeurN + 1 Fin Tant que
(a) Recopier et compl´eter le tableau ci-dessous. On arrondira les valeurs de U `a l’unit´e.
U 542 000 558 260
N 0 1
U <
625 000 ? VRAI
(b) Que permet de calculer cet algorithme dans le contexte de l’exercice ?
Solution:
1. ´Etude de la suite (un) : (a) Calculons u1 .
A un taux d’´` evolution de 3 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,03.
u1 = 542 000×1,03 = 558 260
(b) La suite (un) est une suite g´eom´etrique de raison 1,03 puisque l’on passe d’un terme au suivant en multipliant par 1,03.
(c) Pour tout entier naturel n, exprimonsun en fonction den.
Le terme g´en´eral d’une suite g´eom´etrique de premier termeu0 et de raisonq estun=u0qn. un= 542 000(1,03)n
2. Calculons le nombre d’enfants atteints de diab`ete de type 1 dans le monde en 2021.
En 2021,n= 5 d’o`uu5 = 542 000×1,035 ≈628 327.
Nous pouvons pr´evoir, selon ce mod`ele, environ 628 327enfants atteints de diab`ete de type 1 en 2021.
3. On consid`ere l’algorithme suivant :
Initialisation U prend la valeur 542 000 N prend la valeur 0 Traitement Tant queU¡625 000
U prend la valeur 1,03×U N prend la valeurN+ 1 Fin Tant que
(a) Compl´etons le tableau ci-dessous. Les valeurs deU sont arrondies `a l’unit´e.
U 542 000 558 260 575 008 592 258 610 026 628 327
N 0 1 2 3 4 5
U <
625 000 ? Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux
(b) Cet algorithme permet de calculer, dans le contexte de l’exercice, le nombre d’ann´ees depuis 2016 qu’il faudrait pour que le nombre d’enfants dans le monde atteints de diab`ete de type 1 d´epasse 625 000.
Exercice 3 : Probl`eme sur les fonctions (20 minutes) (7 points) On s’int´eresse `a une mod´elisation de la propagation de l’´epid´emie de la grippe en France durant l’hiver 2014 - 2015. Les relev´es statistiques, fournis par le r´eseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la p´eriode du 29 d´ecembre 2014 au 1er mars 2015 ont permis de mettre en ´evidence une courbe de tendance, `a l’aide d’un tableur.
Soit f la fonction d´efinie, pour tout x∈[2 ; 10], parf(x) =−30x2+ 360x−360.
On admet quef(x) mod´elise le nombre de malades d´eclar´es pour 100 000 habitants au bout de xsemaines
´
ecoul´ees depuis le d´ebut de l’´epid´emie. On note C sa courbe repr´esentative dans le plan muni d’un rep`ere orthogonal.
Partie A
A partir du graphique ci-dessous, r´` epondre aux questions suivantes :
1. Selon ce mod`ele, au bout de combien de semaines le pic de l’´epid´emie a-t-il ´et´e atteint ?
2. D´eterminer le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a ´et´e sup´erieur ou ´egal `a 600. On laissera les traits de justification apparents sur le graphique `a rendre avec la copie.
3. (a) Montrer que f(x)>600 ´equivaut `a −x2+ 12x−32>0.
(b) En d´eduire les solutions sur [2 ; 10] de l’in´equation f(x)>600.
(c) Comparer avec le r´esultat obtenu dans la question 2.
Solution:
1. Selon ce mod`ele, au bout de six semaines le pic de l’´epid´emie a ´et´e atteint. Nous lisons l’abscisse du sommet de la parabole.
2. Le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a ´et´e sup´erieur ou ´egal `a 600 est 4. De la semaine 4 `a la semaine 8, sur cet intervalle, la courbe est situ´ee au dessus de la droite d’´equation y= 600.
3. (a) Montrons quef(x)>600 ´equivaut `a −x2+ 12x−32>0.
f(x)>600
−30x2+ 360x−360>600
−30x2+ 360x−360−600>0
−30x2+ 360x−960>0 30 −x2+ 12x−32
>0
Puisque 30 est un nombre r´eel strictement positif, nous pouvons diviser les deux membres de l’in´egalit´e par 30. Nous obtenons ainsi l’in´egalit´e demand´ee.
(b) D´eterminons alors les solutions de −x2 + 12x−32 = 0. Ceci est une ´equation du second degr´e, calculons alors ∆.
∆ = 122−4×(−1)×(−32) = 144−128 = 16. Le trinˆome admet donc deux racines x1 = −b−√
b2−4ac
2a x2 = −b+√
b2−4ac 2a d’o`ux1= −12−4
−2 = 8 x2 = −12 + 4
−2 = 4.
Par cons´equent −x2+ 12x−32 =−(x−4)(x−8).
En dressant un tableau de signes nous obtenons surR
x −∞ 2 4 8 10 +∞
−(x−4)(x−8) − − 0 + 0 − −
Il en r´esulte que l’ensemble des solutions sur [2 ; 10] de l’in´equation f(x)>600 est [4 ; 8].
(c) Nous retrouvons le r´esultat obtenu dans la question 2.
TES 5 DS 1 Page 4 de 5 Partie B
1. (a) Calculerf0(x), o`uf0 d´esigne la fonction d´eriv´ee de f sur l’intervalle [2 ; 10].
(b) En d´eduire le tableau de signe de f0 puis le tableau de variations de f sur l’intervalle [2 ; 10].
2. (a) Calculer le nombre d´eriv´e de f en 3.
(b) Tracer la tangente `a C au point d’abscisse 3 dans le rep`ere.
3. On admet que le r´eelf0(x) repr´esente la vitesse de propagation de l’´epid´emie au bout de xsemaines.
La grippe se propage-t-elle plus vite au bout de 3 semaines ou de 4 semaines ? Justifier la r´eponse.
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
Annexe (à rendre avec la copie) Annexe 2, exercice 2
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de semaines Nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants
C
Antilles–Guyane 7 15 juin 2016
Solution:
1. (a) Calculons f0(x), o`uf0 d´esigne la fonction d´eriv´ee def sur l’intervalle [2 ; 10]
f0(x) =−30(2x) + 360 =−60x+ 360 = 60(−x+ 6).
puis r´esolvons l’in´equationf0(x)>0 sur cet intervalle.
SurR−x+ 6>0 est ´equivalent `a x66.
L’ensemble des solutions de l’in´equation est [2 ; 6]
(b) Dressons le tableau de variations de f sur l’intervalle [2 ; 10].
Etudions d’abord le sens de variation de´ f.
Si pour toutx∈I, f0(x)<0 alors la fonctionf est strictement d´ecroissante sur I.
Pour x∈]6 ; 10], f0(x)<0, par cons´equent f est strictement d´ecroissante sur cet intervalle.
Si pour toutx∈I, f0(x)>0 alors f est strictement croissante surI.
Pour x∈[2 ; 6[, f0(x)>0 par cons´equent f est strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau des variations de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 10].
TES 5 DS 1 Page 5 de 5
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
2. Déterminons le nombre de plaintes enregistrées en 2013.
Entre 2011 et 2013 le coefficient multiplicateur est 1,834. Par conséquent, le nombre de plaintes enregistrées en France en 2013 est 1036×1,834 c’est-à-dire environ 1 900 plaintes.
EXERCICE2 6 points
On s’intéresse à une modélisation de la propagation de l’épidémie de la grippe en France durant l’hiver 2014 - 2015.
Les relevés statistiques, fournis par le réseau Sentinelle, du nombre de cas pour 100 000 habitants sur la période du 29 décembre 2014 au 1ermars 2015 ont permis de mettre en évidence une courbe de tendance, à l’aide d’un tableur.
Soitf la fonction définie, pour toutx∈[2 ; 10], par
f(x)= −30x2+360x−360.
On admet quef(x) modélise le nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants au bout dexsemaines écoulées depuis le début de l’épidémie.
On noteCsa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Partie A
À partir du graphique de l’annexe 2, répondre aux questions suivantes :
1. Selon ce modèle, au bout de six semaines le pic de l’épidémie a été atteint. Nous lisons l’abscisse du sommet de la parabole.
2. Le nombre de semaines pendant lesquelles le nombre de malades a été supérieur ou égal à 600 est 4. De la semaine 4 à la semaine 8, sur cet intervalle, la courbe est située au dessus de la droite d’équationy=600.
3. a. Montrons quef(x)!600 équivaut à−x2+12x−32!0.
f(x)!600
−30x2+360x−360!600
−30x2+360x−360−600!0
−30x2+360x−960!0 30!
−x2+12x−32"
!0
Puisque 30 est un nombre réel strictement positif, nous pouvons diviser les deux membres de l’inégalité par 30. Nous obtenons ainsi l’inégalité demandée.
b. Déterminons alors les solutions de−x2+12x−32=0. Ceci est une équation du second degré, calculons alors∆.
∆=122−4×(−1)×(−32)=144−128=16. Le trinôme admet donc deux racines x1=−b−#
b2−4ac
2a x2=−b+#
b2−4ac 2a d’oùx1=−12−4
−2 =8 x2= −12+4
−2 =4.
Par conséquent−x2+12x−32= −(x−4)(x−8).
En dressant un tableau de signes nous obtenons surR
x −∞ 2 4 8 10 +∞
−(x−4)(x−8) − − 0 + 0 − −
Il en résulte que l’ensemble des solutions sur [2 ; 10] de l’inéquationf(x)!600 est [4 ; 8].
c. Nous retrouvons le résultat obtenu dans la question 2.
Partie B
1. a. Calculonsf′(x), oùf′désigne la fonction dérivée def sur l’intervalle [2 ; 10]
f′(x)= −30(2x)+360= −60x+360=60(−x+6).
puis résolvons l’inéquationf′(x)!0 sur cet intervalle.
SurR−x+6!0 est équivalent àx"6.
L’ensemble des solutions de l’inéquation est [2 ; 6]
b. Dressons le tableau de variations def sur l’intervalle [2 ; 10].
Étudions d’abord le sens de variation def.
Si pour toutx∈I,f′(x)<0 alors la fonctionf est strictement décroissante surI.
Pourx∈]6 ;10], f′(x)<0, par conséquent f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si pour toutx∈I,f′(x)>0 alorsf est strictement croissante surI.
Pourx∈[2 ; 6[, f′(x)>0 par conséquentf est strictement croissante sur cet intervalle.
Dressons le tableau des variations de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 10].
x 2 6 10
f′(x) + 0 −
Variations def
240 240
720
2. a. Calculons le nombre dérivé def en 3.
f′(3)=60(−3+6)=180
b. La tangente àC au point d’abscisse 3 est tracée dans le repère de l’annexe 2. Son équation esty=180(x−3)+450 ouy=180x−90.
Antilles–Guyane 2 15 juin 2016
2. (a) Calculons le nombre d´eriv´e def en 3.
f0(3) = 60(−3 + 6) = 180
(b) La tangente `a C au point d’abscisse 3 est trac´ee dans le rep`ere. Son ´equation est y = 180(x−3) + 450 ou y= 180x−90.
3. On admet que le r´eel f0(x) repr´esente la vitesse de propagation de l’´epid´emie au bout de x semaines.
La grippe se propage-t-elle plus vite au bout de 3 semaines ou de 4 semaines ?
Pour y r´epondre, calculons f0(4). f0(4) = 60(−4 + 6) = 120. Comme f0(4)< f0(3), la grippe se propageait plus rapidement au bout de trois semaines qu’au bout de quatre semaines.
Baccalauréat STMG A. P. M. E. P.
Annexe (à rendre avec la copie)
Annexe 2, exercice 2
200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de semaines Nombre de malades déclarés pour 100 000 habitants
C
Antilles–Guyane 6 15 juin 2016
