UNIVERSITÉPIERRE ETMARIECURIE ANNÉEUNIVERSITAIRE2011-2012 L2-PEIP2-LM256
Examen du 26 Juin 2012 Durée : 2 heures.
Les notes de cours et les calculatrices ne sont pas autorisées. Le sujet comprend trois exercices, qui sont indépendants.
Exercice 1
On considère la courbe paramétréeC de l’espaceR3donnée par : x(t)=et, y(t)=e2t, z(t)=t, où 0≤t≤1.
1) Calculer un vecteur tangent à C au point M(t)=¡
x(t),y(t),z(t)¢
, puis un vecteur unitaire tangent.
2) soitV1 le champ de vecteurs défini parV~1(x,y,z)=(x2+y,z2,y3). Calculer I1=
Z
CV~1(M)dM~.
3) SoitV~2le champ de vecteur défini par
V~2(x,y,z)=(−2x z2sinx2+2xsiny2, 2x2ycosy2+3y2ez, 2zcosx2+y3ez).
3) Calculer−→rotV2. Que peut-on en déduire ? 4) Trouver une fonctionf telle queV~2=−−−→
gradf. 5) CalculerI2=
Z
C
V~2(M)dM~.
Exercice 2
On considère la fonction de deux variablesF(x,y)=x4+y4ex2−1, le domaine D={(x,y)∈R2,F(x,y)<0}
ainsi que son contourC, c’est à dire l’ensembleC ={(x,y)∈R2,F(x,y)=0}.
1) Montrer que 0=(0, 0) appartient àD,et que le pointA=(0, 1) appartient àC. 2) Montrer que si (x,y)∈D (resp.C), alors les points (x,−y), (−x,y) (−x,−y) appartiennent àD(resp.C).
3) Montrer queD⊂[−1, 1]×[−1, 1].
4) Calculer−−−→
gradF. Quels sont les points où−−−→
gradF s’annule ? 1
5) Calculer−−−→
gradF(A). Donner un vecteur tangent àC enA.
6) Donner l’équation de la droite affine tangente àC enA.
7) Montrer queC∩{(x,y),y≥0} est le graphe d’une fonction que l’on détermi- nera. On poseD+=D∩{(x,y),y≥0}, et on noteC+le contour deD+.
8) CalculerI1= Ï
D+y3ex2(2x2−x)d xd y.
9) SoitV~(x,y)=(V1(x,y),V2(x,y))=(x2y4ex2,y3ex2). Calculerg=∂V2
∂x −∂V1
∂y . 10) Calculer I2=
Z
C+
V~2(M)dM~, où C+ est orientée dans le sens trigonomé- trique.
Exercice 3
A) SoitD1le triangle dansR2de sommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1). Calculer l’intégrale doubleI1=Î
D1x2y2d xd y.
B) SoitV1la partie deR3définie par
V1={(x,y,z)∈R3, 6−x2−y2≥z≥4x2+4y2+1}.
Calculer le volume deV1[on pourra utilser des coordonnées polaires ou cylin- driques].
C) SoitS1={(x,y,z)∈R3, 3x+2y+z=6,x≥0,y≥0,z≥0}.
C 1) Montrer queS1est une portion de graphe d’une fonction que l’on explici- tera.
C 2) Montrer que le point A1=(1, 1, 1) appartient àS1. Donner l’équation du plan affine tangent àS1enA1.
C 3) CalculerI2= Ï
S1
cos(x+y+z)dσ.
D) SoitS2={(x,y,z)∈R3,x2+y2+z2=4,x≥0,y≥0,z≥0}.
D 1) Montrer que le pointA2=(1, 1,p
2) apparteint àS2. Donner l’équation du plan affine tangent àS2enA2.
D 2)Quelles sont les coordonnées sphériques du pointA2? D3 ) En utilisant des coordonnées sphériques, calculerI3=
Ï
S2
x2y zdσ.
2
