CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD6 - Application de la r´ eduction
Exercice 1
On consid`ere la suite (un) de Fibonacci d´efinie par la relation de r´ecurrence : un+2=un+1+un, u0= 0, u1= 1
1. Calculeru5. 2. On poseXn =
un un+1
. Trouver une matriceA∈ M2(R) telle queXn+1=AXn. 3. En d´eduire une formule deXn en fonction deX0.
4. Montrer que la matriceAest diagonalisable et la diagonaliser.
5. En d´eduire une expression explicite de un en fonction de
1±√ 5 2
n
. 6. D´eterminer un ´equivalent deun et la limite de uun+1
n . Exercice 2
Donner une expression explicite (en fonction deu0 et w0) de la suite (un) r´ecurrente d´efinie par la relation
un+1= 3un+wn, wn+1=−un+wn. Exercice 3
SoitA ∈ M4(C) une matrice diagonalisable. On note (aij)i,j ses coefficients. On consid`ere quatre suites (xn)n∈N,(yn)n∈N,(zn)n∈N,(tn)n∈Ntelles que
xn+1 = a11xn+a12yn+a13zn+a14tn
yn+1 = a21xn+a22yn+a23zn+a24tn
zn+1 = a31xn+a32yn+a33zn+a34tn
tn+1 = a41xn+a42yn+a43zn+a44tn
1. Dans cette question seulement, on suppose que toutes les valeurs propres deAsont de module<1.
Montrer que chacune des quatre suites (xn)n∈N,(yn)n∈N,(zn)n∈N,(tn)n∈Ntend vers 0.
2. (a) On suppose queAadmet une valeur propre de module>1 et l’on noteU ∈ M4,1(C) un vecteur propre associ´e, de coordonn´ees (Ui)i=1,...,4. Prouver que si l’on consid`ere la suite r´ecurrente associ´ee `a la condition initiale (x0, y0, z0, t0) = (U1, U2, U3, U4) alors au moins une des quatre suites (|xn|),(|yn|),(|zn|) et (|tn|) tend vers +∞.
(b) On traite le cas particulier o`uAest la matrice
A:=
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
D´eterminer les valeurs propres deAet prouver qu’il existe une condition initiale (x0, y0, z0, t0) de sorte que l’une des quatre suites (|xn|),(|yn|),(|zn|) ou (|tn|) tend vers +∞.
1
Exercice 4
SoitAune matrice diagonalisable, prouver la formule det(exp(A)) = exp(tr(A)).
Exercice 5
Soitxet y deux fonctions de classeC1 surR`a valeurs dansC. On suppose qu’il existe un r´eel αtel quexet y v´erifient le syst`eme :
∀t∈R x0(t) =iαy(t), y0(t) =iαx(t) 1. En notantX(t) =
x(t) y(t)
, trouver une matriceA∈ M2(R) qui d´epend deαtel que le syst`eme se mette sous la formeX0(t) =AX(t).
2. En introduisant une exponentielle de matrice, d´eduire des formules explicites pour exprimerx(t) et y(t) en fonction dex(0) ety(0).
3. Conclure quexety sont deux fonctions p´eriodiques dont on exprimera la p´eriode.
Exercice 6
On consid`ere le syst`eme diff´erentiel
(x0 =x+y y0 =y o`uxet y sont des fonctions r´eelles inconnues.
1. R´esoudre la deuxi`eme ´equation, puis en utilisant la variation de la constante, r´esoudre le syst`eme.
2. Mettre le syst`eme sous la formeX0 = AX. Calculer les puissances de A, puis, en utilisant une exponentielle de matrice, retrouver le r´esultat de la premi`ere question.
Exercice 7
Consid´erons un r´eel a et trois fonctions x, y, z de classe C1 sur R `a valeurs dans R qui v´erifient le syst`eme :
x0 = 2ax+ay y0 = ax+ 2ay z0 = 2az Montrer que sia <0 alors on a lim
t→+∞|x(t)|+|y(t)|+|z(t)|= 0.
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