2 1) Déterminer le noyau et l’image de l’application li- néaire de R 2[X]dansR2de matrice dans les bases canoniques

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES

1 DÉCOUVERTE DES MATRICES D’APPLICATIONS LINÉAIRES

1 Écrire les matrices des applications linéaires sui- vantes dans les bases canoniques :

1)

§ R² −→ R³

(x,y) 7−→ (x+y,x−y, 2x).

2)

R₃[X] −→ R²

P 7−→ P(1),P^′(1) +P^′′(0) . 3)

§ C

2[X] −→ C

3[X] P 7−→ X P+P^′+P(1).

4) C

1[X] −→ C²

P 7−→ €

P(1+i), Re P(i)Š sur le corps de baseR, dans les bases(1, i,X, iX)et :

€(1, 0),(i, 0),(0, 1),(0, i)Š .

————————————–

2 1) Déterminer le noyau et l’image de l’application li- néaire de R

2[X]dansR²de matrice

_{1 0 2}

−1 1 1

dans les bases canoniques.

2) Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme deR

3[X]de matrice :





3 0 4 1

1 2 4 5

4 −1 4 −1

−1 1 0 2





dans la base canonique.

3) L’endomorphisme deR

3[X]de matrice :





1 −1 0 1

2 1 −1 1

2 0 0 1

2 1 −1 0





dans la base canonique est-il surjectif ?

4) Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 de base B = (e₁,e₂,e₃). Caractériser géométrique- ment l’endomorphisme deEde matrice :

_{−1 2 2}

−7 8 7

6 −6 −5

dansB.

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3 Dans leR-espace vectorielC^∞(R,R), on pose : B= sin, cos, sh , ch

et V =Vect(B).

1) a) Montrer queBest une base deV. b) Montrer queV est stable par dérivation.

On noteDl’endomorphisme deV induit par la dériva- tion etMla matrice deDdansB.

2) a) Déterminer la matrice deDdansB.

b) Montrer queDest un automorphisme deV et calculer de tête la matrice deD⁻¹dansB.

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4 On noteA∈ M_n+1(R)la matrice de terme gé- néral

j−1 i−1

‹

,iet jdécrivant¹1,n+1º. 1) Montrer queAest inversible.

2) Donner une expression simple de l’endomorphisme deR

n[X]de matriceAdans la base canonique.

3) En déduireA⁻¹.

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5 SoitM∈ M₃(R). On suppose que : M²=

_{0 1 0}

0 0 1

0 0 0

. 1) Montrer que : KerM=KerM²

et : ImM=ImM².

2) En déduire que la première colonne et la dernière ligne deM sont nulles, puis dégager de tout cela une contradiction.

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2 CHANGEMENT DE BASES ET MATRICES ÉQUIVALENTES/^SEMBLABLES

6 On noteul’application linéaire deR⁴dansR³dé- finie pour tout(x,y,z,t)∈R⁴par :

u(x,y,z,t) = 2x−y+z+5t,−x+2y+3z−4t,x+5z+6t . 1) Déterminer la matrice de u dans les bases cano-

niques.

2) Montrer que les familles : B=€

(1, 0, 0, 0),(0, 0, 1, 1),(1, 1, 1, 1),(1, 0, 0, 1)Š etC =€

(1, 1, 1),(1, 1, 0),(1, 0, 0)Š

sont des bases deR⁴etR³respectivement.

3) Déterminer Mat_B,C(u).

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7 On pose : A=

_{−1 6 −6}

3 −8 10

3 −9 11

.

1) Résoudre pour tout λ ∈ R le système linéaire : AX =λX d’inconnueX∈R³.

2) On pose : e₁ = (3, 1, 0), e₂ = (−1, 1, 1) et e₃= (0, 1, 1). Pourquoi la famille(e₁,e₂,e₃)est une base deR³?

3) Déterminer la matriceA^′de l’endomorphisme ca- noniquement associé àAdans(e₁,e₂,e₃).

4) En déduireAⁿpour toutn∈N.

————————————–

8 On pose : A=

_{2 1 −1}

0 1 0

1 1 0

.

1) Résoudre pour tout λ ∈ R le système linéaire : AX =λX d’inconnueX∈R³.

2) Montrer que la famille(e₁,e₂,e₃)est une base de R³, avec : e₁ = (1, 0, 1), e₂ = (−1, 1, 0) et e₃= (1, 1, 1).

3) Déterminer la matriceA^′de l’endomorphisme ca- noniquement associé àAdans(e₁,e₂,e₃).

4) En déduireAⁿpour toutn∈N.

————————————–

9 Montrer que les matrices suivantes sont sem- blables :

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES

1)





0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0



,





0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0



,





0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0



.

2)

_{0 0 0}

0 0 1

0 0 0

,

_{0 1 0}

0 0 0

0 0 0

,

_{0 0 0}

4 0 0

0 0 0

. 3)

_{0 1 0}

0 0 1

0 0 0

,

_{0 2 0}

0 0 3

0 0 0

,

_{0 0 0}

1 0 0

0 2 0

.

————————————–

10 SoitA∈ M_n(K)de rang r.

1) Montrer queAest semblable à une matrice de la forme :

B 0 C 0

‹

pour certainesB∈ M_r(K)et C∈ M_n−r,r(K).

2) On suppose que ImAet KerAsont supplémentaires dans Kⁿ. Montrer qu’on peut imposer à C d’être nulle dans la question précédente. Que peut-on dire alors deB?

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11 On pose : A=

_{0 1}

3 2

et B=

_{−7 −4}

15 9

. Montrer queAetBsont semblables et déterminer toutes les matricesP∈GL₂(R)pour lesquelles : B=P⁻¹AP.

————————————–

12 On noteϕl’endomorphisme : P7−→(X+2)P^′(X) +P(X−1)

deR₂[X]. Calculer l’image parϕdes vecteurs 1,X+1 et 2X²+4X+3. Qu’en déduit-on ?

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13 Montrer que l’endomorphisme de R² canoni- quement associée à la matrice

2 1 3 0

est diagonalisable.

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14 On noteϕl’endomorphisme : P7−→ X²+2

P^′′+ (X+1)P^′+P deR

2[X]. Montrer queϕest diagonalisable.

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15 SoientE 6=

0_E unK-espace vectoriel de di- mension finienet f ∈ L(E). On suppose f nilpotent d’indice n, i.e. que : fⁿ=0_L(E) et fⁿ⁻¹6=0_L(E). Montrer que dans une certaine base deE,f a pour ma- trice

0 · · · 0

I_n−1 ^...

0

! .

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16 1) On note f l’endomorphisme canoniquement asso- cié à la matrice

_{0 1 1}

0 0 1

0 0 0

. Montrer que dans une certaine base deR³,f a pour matrice

_{0 −1 0}

0 0 −1

0 0 0

. 2) On pose : M=

_{1 1 1}

0 1 1

0 0 1

.

a) Montrer que M est inversible et calculer son inverse.

b) Montrer queMest semblable à son inverse.

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17 Montrer que

_{1 1 −1}

−3 −3 3

−2 −2 2

et

_{0 1 0}

0 0 0

0 0 0

sont semblables.

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18 SoientEunK-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E). On suppose que : f²=f³.

1) Montrer que : E=Ker f−Id_E

⊕Kerf². 2) Montrer que si : rg f −Id_E

=2, alors dans une certaine base deE, f a pour matrice :

_{1 0 0}

0 0 1

0 0 0

ou

_{1 0 0}

0 0 0

0 0 0

.

3) Plus généralement, montrer que dans une certaine base deE, f a pour matrice :

0, I₃,

_{1 0 0}

0 1 0

0 0 0

,

_{1 0 0}

0 0 1

0 0 0

,

_{1 0 0}

0 0 0

0 0 0

ou

_{0 0 1}

0 0 0

0 0 0

.

————————————–

19 Soit A∈ M_n(K)de rang r. Montrer que : rg A²

=r si et seulement siAest semblable à

B 0 0 0

‹

pour une certaine matriceB∈GL_r(K).

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20 1) Pour toutA∈ M_n(K), on notet_Ala forme linéaire M7−→tr(AM)deM_n(K). On note en outretl’ap- plicationA7−→t_AdeM_n(K)dansL M_n(K),K

. a) Montrer quetest linéaire.

b) Montrer, en utilisant la base canonique deM_n(K), quetest un isomorphisme.

2) SoitHun hyperplan deM_n(K).

a) Justifier l’existence d’une matriceA∈ M_n(K) non nulle pour laquelle :

H=¦

M∈ M_n(K)| tr(AM) =0© . b) Pour toutr∈¹0,nº, on pose : J_r=

I_r 0 0 0

‹

dansM_n(K). Trouver une matriceM∈GL_n(K) pour laquelle : tr(J_rM) =0.

c) En déduire queH contient au moins une ma- trice inversible.

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21 SoientEet F deuxK-espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E,F). On noteG l’ensemble des g ∈ L(F,E)pour lesquelles : f g f = 0_L(E,F). Calculer la dimension deG.

Indication : On pourra introduire des bases deEetF dans lesquelles f a une matrice très simple et étudierG matriciellement.

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2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES

22 On dispose de 2 urnes. La première contient 1 boule blanche et 1 noire, et la seconde 2 blanches et 1 noire. On prélève simultanément une boule dans chacune des deux urnes et on les change d’urne. Cette expérience est répétée un nombre indéfini de fois.

On pose : X₀=1 et pour toutk∈N^∗, on noteX_k le nombre de boules blanches dans la première urne à l’issue duk^èmeéchange.

1) Pour toutk∈N, déterminer la loi deX_k+1en fonc- tion de la loi deX_k.

2) On pose : M=1 6

_{0 1 0}

6 3 4

0 2 2

et pour toutk∈N: C_k= _P(X

k=0) P(X_k=1) P(X_k=2)

.

a) Montrer que pour toutk∈N: C_k+1=M C_k. b) Déterminer une matrice P ∈ M₃(R)dans la-

quelleP⁻¹M Pest diagonale.

c) En déduire : lim

k→+∞P(X_k = x) pour tout x∈¹0, 2º.

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3 TRACE D’UN ENDOMORPHISME 23 Soienta,b∈RetA∈ M_n(R). Calculer la trace

des endomorphismes suivants :

1) l’endomorphismeP7−→P(aX+b)deR_n[X].

2) a) l’endomorphismeM7−→M^⊤deM₂(R).

b) l’endomorphismeM7−→M^⊤deM_n(R).

3) l’endomorphismeM7−→AM deM_n(R).

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3