ÉCS2
Rappels et compléments d’Algèbre Linéaire.
Les essentiels.1 Catalogue des propriétés les plus utiles (ECS1)
E désigne un espace vectoriel de dimension finiensur le corpsK(RouC).
B= (e1, ..., en)est une base quelconque de E.
Fdésigne un espace vectoriel de dimension finiemsur le corpsK(RouC).
C= (f1, ..., fm)est une base quelconque de F.
SoitD= (u1, . . . , up)une famille depvecteurs de E.
1. Il y a équivalence entre : (a) D est une base deE;
(b) D est libre et génératrice deE; (c) D est libre etp=n
(d) D est génératrice etp=n
(e) p=net
∀u∈E,∃!(xi)pi=0∈Kp, u=
p
X
i=1
xiui.
2. SoitM∈Mn,p(K)dont les colonnes sont les coordonnées deu1, . . . , up dansB. (a) dimVect(u1, . . . , up) =rg(M)
(C’est le rang de la familleD).
(b) D est libre ssi rg(M) =p
(c) D est génératrice deEssi rg(M) = n
(d) D est une base de E ssi n = pet rg(M) =n
(e) Dest une base deEssin=petM est inversible
3. Soit f une application linéaire de E dans F. Soit M = matC,B(f), c’est-à-dire la matrice dont les colonnes contiennent les coordonnées desf(ei)dans la baseC. (a) u∈Ker(f) ⇔f(u) = 0F
(b) f injective ssi Ker(f) ={0E} (c) f injective ssidimKer(f) = 0
(d) f injective ssi (f(e1), . . . , f(en)) libre
(e) f injective ssi rg(M) = dim E 4. Im(f) ={v∈F/∃u∈E, f(u) =v} =f(E). Pour déterminer pratiquement Im(f),
mieux vaut utiliser : Im(f) =Vect(f(e1), . . . , f(en)).
Mdésigne encorematC,B(f).
(a) rg(f) =rg(M)
(b) dim E = dimKer(f) +rg(f) (c) f surjective ssi Im(f) = F (d) f surjective ssi rg(f) = dim F
(e) f surjective ssi (f(e1), . . . , f(en)) est génératrice deF
(f) f surjective ssi rg(M) = dim(F)
5. Isomorphismes : lorsquedim E = dim F =n, il y a équivalence entre : (a) f est injective
(b) f est surjective (c) rg(f) =n (d) rg(M) =n
(MdésignantmatC,B(f))
(e) Minversible
(M−1est alors la matrice def−1) (f) L’image d’une base de E est une
base deF
2 Les bases canoniques (ECS1)
• Une notation pratique, lesymbole de Kronecker.
On définit le symbole de Kronecker par δi,j=
(1 sii=j 0 sii6=j
Il ne faut pas y chercher de signification profonde ou de message caché, ce n’est qu’une notation :1sii=j et 0sinon, et c’est tout.
• Voici les bases canoniques à connaître :
+DeRn : lesnvecteurs définis par(ei)j =δi,j, autrement dit : e1= (1,0,0, . . . ,0),
e2= (0,1,0, . . . ,0), ...
en= (0,0,0. . . ,0,1).
+DeRn[X]: la famille de n+ 1polynômes(1,X,X2, . . . ,Xn) = (Xk)nk=0; À noter :on l’ordonne en général par puissances croissantes.
+DeMn,p(K): Lesnpmatrices définies par(Ek,`)i,j =δi,j, autrement dit : chaque matriceEk,` ne contient que des0, à l’exception du coefficient situé à lakème ligne et`ème colonne qui vaut 1.
3 Changement de base (ECS2)
• Définition : siB et C sont deux bases deE, la matrice de passage de B à C, notée PB,C est la matrice dont les colonnes expriment les vecteurs de la nouvelle base Cdans l’ancienne baseB. On a :PB,C=matB,C(idE).
• Théorème de changement de base : +PB,Cest inversible, etP−1B,C=PC,B
+vecteur :XC=PC,BXB
+endomorphisme :matC(f) =PC,BmatB(f)PB,C
Pour mémoriser ces formules, lisez les bases en indice de droite à gauche ! ! !
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
