Dérivation : rappels et compléments
1. Rappels
a) Dérivée en un point
Définition : si 𝑓 est une fonction et 𝑎 un réel, on dit que 𝑓 est dérivable en 𝑎 si le quotient 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 admet une limite finie quand 𝑥 tend vers 𝑎 Remarque : en posant 𝑥 = 𝑎 + ℎ, le quotient s’écrit 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ , ℎ tend vers 0.
On a 𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ
S’il n’y a pas de limite ou si la limite est infinie, 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑎 b) Fonction dérivée, calculs
On appelle fonction dérivée de 𝑓 la fonction 𝑓′
Règles de calcul :
On a vu en première les formules suivantes :
Forme de 𝑓 Forme de 𝑓′ Forme de 𝑓 Forme de 𝑓′
Constantes 0 𝑥2 2𝑥
𝑥 1 𝑥3 3𝑥2
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛−1
1 𝑥
−1 𝑥2
1 𝑥𝑛
−𝑛 𝑥𝑛+1
√𝑥 1
2√𝑥 Dérivée et opérations :
Si 𝑢, 𝑣 sont deux fonctions dérivables et 𝑘 une constante, on a : Les fonctions 𝑢 + 𝑣, 𝑘𝑢, 𝑢𝑣,𝑢
𝑣 sont dérivables et
(𝑢 + 𝑣)′= 𝑢′+ 𝑣′ (𝑘𝑢)′= 𝑘𝑢′ (𝑢𝑣)′= 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′
(𝑢 𝑣)
′
=𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2 c) Tangente
Si 𝑓 est dérivable en 𝑎, la tangente à la courbe de 𝑓 en son point 𝐴 d’abscisse 𝑎 a pour coefficient directeur 𝑓′(𝑎). Son équation est :
𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) d) Dérivée et sens de variation
Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation. En revanche, il est important d’étudier LE SIGNE de 𝑓′, il ne faut pas se contenter de chercher les valeurs où 𝑓′ s’annule. On résout l’inéquation 𝑓′(𝑥) > 0 pour trouver les intervalles sur lesquels 𝑓 est croissante.
Pour cette résolution, on sera parfois amené à faire des tableaux de signe
2. Dérivée d’une fonction composée a) Fonction composée
Définition : Composer deux fonctions, 𝑢 et 𝑣 c’est les effectuer successivement : on calcule d’abord 𝑢(𝑥), et au résultat on applique 𝑣, ce qui donne 𝑣[𝑢(𝑥)]
On note 𝑣 ∘ 𝑢 et on lit 𝑣 rond 𝑢.
Exemple : Si 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 3 et 𝑣(𝑡) = 𝑡2, alors 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) = (2𝑥 + 3)2 tandis que 𝑢 ∘ 𝑣(𝑡) = 2𝑡2+ 3
Deux remarques : ici, j’ai donné des noms différents aux deux variables, mais ce n’est pas obligatoire
D’autre part, on voit sur cet exemple que les fonctions 𝑢 ∘ 𝑣 et 𝑣 ∘ 𝑢 sont en général différentes
b) Dérivée de 𝑢𝑛
On compose une fonction dérivable 𝑢 par la fonction 𝑣(𝑡) = 𝑡𝑛, on obtient 𝑢𝑛 Si 𝑢 est dérivable, alors 𝑢𝑛 est dérivable et la dérivée de 𝑢𝑛 est 𝑛𝑢𝑛−1𝑢′
Par exemple, la dérivée de (𝑥2+ 2𝑥 + 3)5 est 5(𝑥2+ 2𝑥 + 3)4(2𝑥 + 2) c) Dérivée de √𝑢
Si 𝑢 est dérivable et strictement positive, alors √𝑢 est dérivable, de dérivée 𝑢′
2√𝑢
Exemple : la dérivée de √𝑥2+ 1 est 2𝑥
2√𝑥2+1
d) Dérivée de 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)
Si 𝑓 est dérivable et que 𝑎, 𝑏 sont deux constantes, alors 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏) est dérivable de dérivée 𝑎𝑓′(𝑎𝑥 + 𝑏)
e) Formule générale (hors programme)
On peut écrire, si 𝑓 et 𝑢 sont deux fonctions dérivables, que la dérivée de 𝑓(𝑢) est 𝑢′ × 𝑓′(𝑢)
3. Tableau final des formules de dérivée
Il y a dans ce tableau certaines formules qui n’ont pas encore été vues 𝑢 et 𝑣 désignent des fonctions, 𝑎 et 𝑏 des réels, 𝑥 est la variable.
Forme de 𝒇 Forme de 𝒇’ Forme de 𝒇 Forme de 𝒇’
constantes 0 u + v u’+v’
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 𝑎𝑢 𝑎𝑢’
x2 2x u2 2𝑢𝑢’
xn nxn−1 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛 𝑎𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛−1 𝑢𝑣 𝑢’𝑣 + 𝑢𝑣’ u
v
u v uv v ' − '
2
1 x
−1 x2
1 𝑎𝑥+𝑏
−𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏)2 1
xn
−
+
n xn 1
1 (𝑎𝑥+𝑏)𝑛
−𝑛𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛+1
x 1
2 x √𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎
2√𝑎𝑥 + 𝑏
un nun−1u' 1
v
−v v
'
2
1 vn
−
+
nv vn
'
1 u u
u ' 2
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥
+ 𝑏)
𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥
+ 𝑏)
−𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑙𝑛𝑥 1
x ln (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑎𝑥+𝑏 𝑎𝑒𝑎𝑥+𝑏
ln 𝑢 𝑢′
𝑢 eu u’eu
4. Algorithme de balayage
On s’en sert pour déterminer une solution approchée à une équation de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑘 qu’on ne peut pas résoudre
Il faut connaître un intervalle [𝑎 ; 𝑏] dans lequel se trouve la solution
Au début 𝑥 vaut 𝑎, on calcule 𝑓(𝑎) qu’on trouve (par exemple) plus petit que 𝑘 Et on augmente 𝑥 d’une petite quantité, tant que 𝑓(𝑥) reste plus petit que 𝑘 À la fin 𝑓(𝑥) dépasse 𝑘, et on a dépassé la solution
Le programme (en supposant 𝑎, 𝑓, 𝑘 connus) pour un pas de 0,001:
x = a
while f(x) < k : x = x + 0.001
5. Primitives a) Définition
Si 𝑓 est une fonction, on dit que 𝐹 est une primitive de 𝑓 si 𝑓 est la dérivée de 𝐹 b) Remarque
On ne dit pas la primitive mais une primitive car c) Recherche de primitives
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 2
𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 7 ℎ définie par ℎ(𝑥) = 1
√𝑥
d) Tableau des primitives :
Toutes ne sont pas à savoir pour l’instant …
4. Primitives
