Compléments sur la dérivation

Compléments sur la dérivation

DELOBEL HALLOSSERIE LUITAUD

B Pascal

septembre 2017

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

Dans ce chapitreIdésigne un intervalle etaun réel deI.

Définition 1 (Nombre dérivé)

f est dérivable enasignifie que f(a+h)−f(a)

h admet une limite finie quandhtend vers0.

Cette limite est alors appeléenombre dérivéde f enaet est notéef⁰(a):

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h ^x

y

C^f (T) A

×

a f(a)

M

×

a+h f(a+h)

Dans ce chapitreIdésigne un intervalle etaun réel deI.

Définition 1 (Nombre dérivé)

f est dérivable enasignifie que f(a+h)−f(a)

h admet une limite finie quandhtend vers0.

Cette limite est alors appeléenombre dérivéde f enaet est notéef⁰(a):

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h ^x

y

C^f (T) A

×

a f(a)

M

×

a+h f(a+h)

Remarque

En posantx=a+h

h→0lim

f(a+h)−f(a) h est équivalent à

x→alim

f(x)−f(a) x−a

x y

Cf

(T) A

×

a f(a)

M

×

x f(x)

h

Remarque

En posantx=a+h

h→0lim

f(a+h)−f(a) h est équivalent à

x→alim

f(x)−f(a) x−a

x y

Cf

(T) A

×

a f(a)

M

×

x f(x)

h

Exercice 1

On considère les fonctions définies sur

0 ; +∞

parf(x) =√

xetg(x) =x√ x.

1.

Montrer quef n’est pas dérivable en0.

2.

Montrer queg est dérivable en0.

x y

Cf

Cg

Exercice 1

On considère les fonctions définies sur

0 ; +∞

parf(x) =√

xetg(x) =x√ x.

1.

Montrer quef n’est pas dérivable en0.

2.

Montrer queg est dérivable en0.

y

Cf

Cg

Propriété 1 (Tangente)

Si une fonctionf est dérivable ena, Cf admet au pointA(a;f(a))une tangente de coefficient directeurf⁰(a). L’équation de cette tangente est :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a) y

y

C (T)

f⁰(x0)

A

×

f(a)

Propriété 1 (Tangente)

Si une fonctionf est dérivable ena, Cf admet au pointA(a;f(a))une tangente de coefficient directeurf⁰(a). L’équation de cette tangente est :

y=f⁰(a)(x−a) +f(a) y

y

C (T) f⁰(x0)

A

×

f(a)

Exercice 2

Lire graphiquement les valeurs de :f⁰(−2),f⁰(0)etf⁰(1).

x y

C ^f

A×

×B

C×

f⁰(−2) = 4 f⁰(0) =−2 f⁰(1) =−1 2

Exercice 2

Lire graphiquement les valeurs de :f⁰(−2),f⁰(0)etf⁰(1).

x y

C ^f

A×

×B

C×

f⁰(−2) = 4

f⁰(0) =−2 f⁰(1) =−1 2

Exercice 2

Lire graphiquement les valeurs de :f⁰(−2),f⁰(0)etf⁰(1).

x y

C ^f

A×

×B

C×

f⁰(−2) = 4

f⁰(0) =−2

f⁰(1) =−1 2

Exercice 2

Lire graphiquement les valeurs de :f⁰(−2),f⁰(0)etf⁰(1).

x y

C ^f

A×

×B

C×

f⁰(−2) = 4 f⁰(0) =−2

f⁰(1) =−1

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

Définition 2 (Fonction dérivée)

f est dérivable surI signifie que pour touta∈I,f est dérivable ena.

On notef⁰ la fonction qui àa∈Iassocie le nombre dérivéf⁰(a).

Théorème 1

Soitf une fonction dérivable surI.

Sif⁰>0surI, alorsf estcroissante surI; Sif⁰60surI, alorsf estdécroissante surI; Sif⁰= 0surI, alorsf estconstante surI.

Définition 2 (Fonction dérivée)

f est dérivable surI signifie que pour touta∈I,f est dérivable ena.

On notef⁰ la fonction qui àa∈Iassocie le nombre dérivéf⁰(a).

Théorème 1

Soitf une fonction dérivable surI.

Sif⁰>0surI, alorsf estcroissante surI; Sif⁰60surI, alorsf estdécroissante surI; Sif⁰= 0surI, alorsf estconstante surI.

Définition 2 (Fonction dérivée)

f est dérivable surI signifie que pour touta∈I,f est dérivable ena.

On notef⁰ la fonction qui àa∈Iassocie le nombre dérivéf⁰(a).

Théorème 1

Soitf une fonction dérivable surI.

Sif⁰>0surI, alorsf est croissante sur I; Sif⁰60surI, alorsf estdécroissante surI; Sif⁰= 0surI, alorsf estconstante surI.

Définition 2 (Fonction dérivée)

f est dérivable surI signifie que pour touta∈I,f est dérivable ena.

On notef⁰ la fonction qui àa∈Iassocie le nombre dérivéf⁰(a).

Théorème 1

Soitf une fonction dérivable surI.

Sif⁰>0surI, alorsf est croissante sur I; Sif⁰60surI, alorsf est décroissante surI; Sif⁰= 0surI, alorsf estconstante surI.

Définition 2 (Fonction dérivée)

f est dérivable surI signifie que pour touta∈I,f est dérivable ena.

On notef⁰ la fonction qui àa∈Iassocie le nombre dérivéf⁰(a).

Théorème 1

Soitf une fonction dérivable surI.

Sif⁰>0surI, alorsf est croissante sur I; Sif⁰60surI, alorsf est décroissante surI; Sif⁰= 0surI, alorsf est constante surI.

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

f(x) f⁰(x) f est dérivable sur l’intervalle

ax+b a

−∞; +∞

x² 2x

−∞; +∞

xⁿ (n∈N, n>2) nxⁿ⁻¹

−∞; +∞

1

x − 1

x²

−∞; 0 ou

0 ; +∞

1

xⁿ (n∈N, n>2) − n xⁿ⁺¹

−∞; 0 ou

0 ; +∞

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Soituetv deux fonctions dérivables sur un intervalleI. Alors les fonctionsu+v, ku,uvsont dérivables surI, et siv ne s’annule pas surI, les fonctions 1

v et u sont aussi dérivables surI : v

fonction fonction dérivée

u+v u⁰+v⁰

ku (k∈R) ku⁰

uv u⁰v+uv⁰

1 −v⁰

Sommaire

1. Rappels sur la dérivation 1.1 Dérivabilité en un point 1.2 Dérivabilité sur un intervalle

2. Formules de dérivation 2.1 Fonctions usuelles 2.2 Nouvelles formules

Propriété 2

Soitn∈N^∗. cas oùn>1

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI, alors la fonctionuⁿ est dérivable surI et :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰ cas oùn60

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI et qui ne s’annule pas sur I, alors la fonctionuⁿ est dérivable sur Iet :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰

Propriété 2

Soitn∈N^∗. cas oùn>1

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI, alors la fonctionuⁿ est dérivable surI et :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰ cas oùn60

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI et qui ne s’annule pas sur I, alors la fonctionuⁿ est dérivable sur Iet :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰

Propriété 2

Soitn∈N^∗. cas oùn>1

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI, alors la fonctionuⁿ est dérivable surI et :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰ cas oùn60

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI et qui ne s’annule pas sur I, alors la fonctionuⁿ est dérivable sur Iet :

(uⁿ)⁰=n uⁿ⁻¹u⁰

Propriété 3

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI telle queu(x)>0surI, alors la fonction√

uest dérivable sur I et on a :(√

u)⁰= u⁰ 2√

u.

Propriété 3

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI telle queu(x)>0surI, alors la fonction√

uest dérivable sur I et on a : (√

u)⁰= u⁰ 2√

u.

Propriété 4

Soitaetbdeux nombres réels aveca6= 0, etf une fonction dérivable sur un intervalleI.

SoitJ un intervalle. Si pour toutxdeJ,ax+b∈I, alors la fonction g:x7−→f(ax+b)est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

g⁰(x) =a×f⁰(ax+b)

Plus généralement :

Théorème 2

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleJ etf une fonction dérivable sur un intervalleI, et si pour toutxdeJ,u(x)∈I, alors la fonction

g:x7−→f(u(x))est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J : g⁰(x) =u⁰(x)×f⁰(u(x))

Propriété 4

Soitaetbdeux nombres réels aveca6= 0, etf une fonction dérivable sur un intervalleI.

SoitJ un intervalle. Si pour toutxdeJ,ax+b∈I, alors la fonction g:x7−→f(ax+b)est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

g⁰(x) =a×f⁰(ax+b)

Plus généralement :

Théorème 2

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleJ etf une fonction dérivable sur un intervalleI, et si pour toutxdeJ,u(x)∈I, alors la fonction

g:x7−→f(u(x))est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J : g⁰(x) =u⁰(x)×f⁰(u(x))

Propriété 4

Soitaetbdeux nombres réels aveca6= 0, etf une fonction dérivable sur un intervalleI.

SoitJ un intervalle. Si pour toutxdeJ,ax+b∈I, alors la fonction g:x7−→f(ax+b)est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

g⁰(x) =a×f⁰(ax+b) Plus généralement :

Théorème 2

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleJ etf une fonction dérivable sur un intervalleI, et si pour toutxdeJ,u(x)∈I, alors la fonction

g:x7−→f(u(x))est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

Propriété 4

Soitaetbdeux nombres réels aveca6= 0, etf une fonction dérivable sur un intervalleI.

SoitJ un intervalle. Si pour toutxdeJ,ax+b∈I, alors la fonction g:x7−→f(ax+b)est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

g⁰(x) =a×f⁰(ax+b) Plus généralement :

Théorème 2

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleJ etf une fonction dérivable sur un intervalleI, et si pour toutxdeJ,u(x)∈I, alors la fonction

g:x7−→f(u(x))est dérivable surJ et on a, pour toutx∈J :

En résumé :

fonction fonction dérivée

√u u⁰ 2√ u

uⁿ n u⁰uⁿ⁻¹

f(ax+b) a×f⁰(ax+b)

f(u(x)) u⁰(x)×f⁰(u(x))

En résumé :

fonction fonction dérivée

√u u⁰ 2√ u uⁿ n u⁰uⁿ⁻¹

f(ax+b) a×f⁰(ax+b)

f(u(x)) u⁰(x)×f⁰(u(x))

En résumé :

fonction fonction dérivée

√u u⁰ 2√ u uⁿ n u⁰uⁿ⁻¹

f(ax+b) a×f⁰(ax+b)

f(u(x)) u⁰(x)×f⁰(u(x))

En résumé :

fonction fonction dérivée

√u u⁰ 2√ u uⁿ n u⁰uⁿ⁻¹

f(ax+b) a×f⁰(ax+b)

f(u(x)) u⁰(x)×f⁰(u(x))

En résumé :

fonction fonction dérivée

√u u⁰ 2√ u uⁿ n u⁰uⁿ⁻¹

f(ax+b) a×f⁰(ax+b)

f(u(x)) u⁰(x)×f⁰(u(x))

Exemple

Soitf la fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)⁵. f est de la formeuⁿ, avecu(x) = 3x+ 1etn= 5.

Alors,f est dérivable sur Ret, pour toutxréel :

f⁰(x) =5×(3x+ 1)⁰×(3x+ 1)⁴= 5×3×(3x+ 1)⁴= 15 (3x+ 1)⁴

Exemple

Soitf la fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)⁵. f est de la formeuⁿ, avecu(x) = 3x+ 1etn= 5.

Alors,f est dérivable sur Ret, pour toutxréel :

f⁰(x) = 5×(3x+ 1)⁰×(3x+ 1)⁴= 5×3×(3x+ 1)⁴= 15 (3x+ 1)⁴

Exemple

Soitf la fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)⁵. f est de la formeuⁿ, avecu(x) = 3x+ 1etn= 5.

Alors,f est dérivable sur Ret, pour toutxréel :

f⁰(x) = 5×(3x+ 1)⁰×(3x+ 1)⁴ = 5×3×(3x+ 1)⁴= 15 (3x+ 1)⁴

Exemple

Soitf la fonction définie surRparf(x) = (3x+ 1)⁵. f est de la formeuⁿ, avecu(x) = 3x+ 1etn= 5.

Alors,f est dérivable sur Ret, pour toutxréel :

f⁰(x) = 5×(3x+ 1)⁰×(3x+ 1)⁴ = 5×3×(3x+ 1)⁴ = 15 (3x+ 1)⁴

Exercice 3

1.

Soit la fonctionf définie parf(x) =√ 3x+ 1.

Pour toutx∈

−1 3; +∞

, calculerf⁰(x).

2.

Dériver la fonctiongdéfinie surRparg(x) = (x−2)√

x²+ 1 .

Exercice 4 (parité)

Soitf une fonction dérivable surR.

1.

Démontrer que sif est paire alorsf⁰ est impaire.

2.

Démontrer que sif est impaire alorsf⁰ est paire.

Exercice 3

1.

Soit la fonctionf définie parf(x) =√ 3x+ 1.

Pour toutx∈

−1 3; +∞

, calculerf⁰(x).

2.

Dériver la fonctiongdéfinie surRparg(x) = (x−2)√

x²+ 1 .

Exercice 4 (parité)

Soitf une fonction dérivable surR.

1.

Démontrer que sif est paire alorsf⁰ est impaire.

2.

Démontrer que sif est impaire alorsf⁰ est paire.

FIN