Dérivation (acte 1)

(1)

Dérivation (acte 1) www.mathGM.fr Les savoir-faire Nombre dérivé - Tangente Fonctions dérivées Dérivées et opérations

Dérivation (acte 1)

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Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Les savoir-faire

210. Calculer un nombre dérivé.

211. Interpréter géométriquement un nombre dérivé.

212. Déterminer l’équation réduite d’une tangente.

213. Connaître les fonctions dérivées des fonctions usuelles.

214. Calculer la fonction dérivée d’une fonction.

(3)

Taux de variation

Définition : taux de variation

Soitf une fonction définie sur un intervalle Ietaun réel appartenant àI. Soithun réel non nul tel quea+h∈I.

Le taux d’accroissement def entreaeta+hest le rapport t(h)défini par :

t(h) = f(a+h)−f(a) h

Remarque : siaetbsont deux réels distincts de l’intervalleI, le taux de variation def entre aetbest le nombre f(b)−f(a)

b−a .

(4)

Taux de variation

Interprétation graphique

AetM sont des points deC_f d’abscisses respectivesaet a+h. Le taux d’accroissement def entre aeta+hest le coefficient directeur de la droite(AM):

y_M−y_A xM −xA

= f(a+h)−f(a) h

O

A

M

a f(a)

a+h f(a+h)

C

_f

∆x=h

∆f =f(a+h)−f(a)

a a

(5)

Nombre dérivé

Définition : nombre dérivé

On dit quef estdérivableen alorsque le taux

d’accroissementt(h)admet comme limite un nombre réel quandhtend vers 0. Ce nombre, noté f^′(a)est appelé nombre dérivé de f ena.

On a ainsi :

hlim→0

f(a+h)−f(a)

h =f^′(a)

(6)

Nombre dérivé

Définition : nombre dérivé

On dit quef estdérivableen alorsque le taux

d’accroissementt(h)admet comme limite un nombre réel quandhtend vers 0. Ce nombre, noté f^′(a)est appelé nombre dérivé de f ena.

On a ainsi :

hlim→0

f(a+h)−f(a)

h =f^′(a)

Exemples

1.Démontrer que la fonctionf définie parf(x) =x²−3x+ 1est dérivable enx= 2. Calculer le nombre dérivé en 2. Vidéo1 2.Soitf la fonction définie sur]− ∞; −2[∪]−2 ; +∞[par :

f(x) = 1 x+ 2 Calculer le nombre dérivé defenx= 1. Vidéo2

(7)

Tangente

Définition : tangente en un point

Soitf une fonction dérivable ena, C_f sa courbe représentative etAle point deC_f d’abscissea.

La tangente à la courbeC_f au pointA est la droite passant par le pointAdont le coefficient directeur est f^′(a).

Tangente àC_f enA

f(a) A

a

a 1 f^′(a)

O

(8)

Propriété : équation d’une tangente

Soitf une fonction définie et dérivable en aetCsa courbe représentative. AlorsC admet en son point d’abscisseaune tangenteT d’équation :y=f^′(a)(x−a) +f(a)

(9)

Propriété : équation d’une tangente

Soitf une fonction définie et dérivable en aetCsa courbe représentative. AlorsC admet en son point d’abscisseaune tangenteT d’équation :y=f^′(a)(x−a) +f(a)

Exemples

Déterminer graphiquement le nombre dérivé et une équation de la tangente enx= 3etx= 6.Vidéo

2 4 6 8 10 12

1 2 3 4 5 6 7 8

a a

0

(10)

Définition

Définition : fonction dérivable

•On dit que f est dérivable sur un intervalleIlorsqu’elle est dérivable pour tout réeladeI.

•La fonction qui, à tout réelxdeI, associe le nombre dérivéf^′(x)est appeléefonction dérivée de f. On la notef^′.

(11)

Dérivées de fonctions usuelles

f(x) = Dérivable surI= f^′(x) =

k (constante) R

mx+p R

x² R

xⁿ(n∈N^∗) R 1

x

]− ∞; 0[et ]0; +∞[

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(12)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R

x² R

xⁿ(n∈N^∗) R 1

x

]− ∞; 0[et ]0; +∞[

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(13)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R

xⁿ(n∈N^∗) R 1

x

]− ∞; 0[et ]0; +∞[

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(14)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R 2x

xⁿ(n∈N^∗) R 1

x

]− ∞; 0[et ]0; +∞[

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(15)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R 2x

xⁿ(n∈N^∗) R nxⁿ⁻¹ 1

x

]− ∞; 0[et ]0; +∞[

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(16)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R 2x

x

]− ∞; 0[et

]0; +∞[ −1

x²

√x ]0; +∞[

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(17)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R 2x

x

]− ∞; 0[et

]0; +∞[ −1

x²

√x ]0; +∞[ 1

2√ x

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

(18)

Dérivées de fonctions usuelles

k (constante) R 0

mx+p R m

x² R 2x

x

]− ∞; 0[et

]0; +∞[ −1

x²

√x ]0; +∞[ 1

2√ x

|x| ]− ∞; 0[et ]0; +∞[

®−1six∈]− ∞; 0[

1six∈]0; +∞[

(19)

Somme et produit

Propriété : dérivées de la somme et du produit

Soientuetv deux fonctions définies et dérivables surIet k∈R. Alors :

(20)

Somme et produit

•La fonctionu+v est dérivable surI et on a : (u+v)^′=

(21)

Somme et produit

•La fonctionu+v est dérivable surI et on a : (u+v)^′=u^′+v^′.

(22)

Somme et produit

•La fonctionkuest dérivable surI et on a :(ku)^′=

(23)

Somme et produit

•La fonctionkuest dérivable surI et on a :(ku)^′=ku^′.

(24)

Somme et produit

•La fonctionuvest dérivable sur Iet on a : (uv)^′=

(25)

Somme et produit

•La fonctionuvest dérivable sur Iet on a : (uv)^′=u^′v+uv^′.

(26)

Somme et produit

•La fonctionuvest dérivable sur Iet on a : (uv)^′=u^′v+uv^′.

Exemples

1.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf définie par : f(x) = 3x²−2√x. Vidéo1

2.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf définie par : f(x) = 3x³+ 2x²−4x+ 7. Vidéo2

3.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf définie par : f(x) = (x+ 1)(3−2x²). Vidéo3

(27)

Inverse et quotient

Propriété : dérivées de l’inverse et du quotient

Soientuetv deux fonctions définies et dérivables surI telles quev ne s’annule pas surI. Alors :

(28)

Inverse et quotient

•La fonction 1

v est dérivable sur Iet on a : Å1

v ã^′

=

(29)

Inverse et quotient

•La fonction 1

v ã^′

=−v^′ v².

(30)

Inverse et quotient

•La fonction 1

v ã^′

=−v^′ v².

•La fonction u

v est dérivable sur Iet on a :

u

v ^′

=

(31)

Inverse et quotient

•La fonction 1

v ã^′

=−v^′ v².

•La fonction u

u

v ^′

=u^′v−uv^′ v² .

(32)

Inverse et quotient

•La fonction 1

v ã^′

=−v^′ v².

•La fonction u

u

v ^′

=u^′v−uv^′ v² .

Exemples

1.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf définie par : f(x) = 1

3x⁴+ 1. Vidéo1

2.Déterminer la fonction dérivée de la fonctionf définie par : f(x) = 1−x²

3x−4. Vidéo2

(33)

Dérivée de x 7−→ g(mx + p)

Propriété : dérivée dex7−→g(mx+p)

Sig est une fonction dérivable sur un intervalleI et siJ est un intervalle tel que pour toutxdeJ,mx+pappartient à I, alors la fonctionf définie parf(x) =g(mx+p)est dérivable surJ etf^′(x) =m×g^′(mx+p).

(34)

Dérivée de x 7−→ g(mx + p)

Propriété : dérivée dex7−→g(mx+p)

Sig est une fonction dérivable sur un intervalleI et siJ est un intervalle tel que pour toutxdeJ,mx+pappartient à I, alors la fonctionf définie parf(x) =g(mx+p)est dérivable surJ etf^′(x) =m×g^′(mx+p).

Exemples

Calculer la dérivée de la fonctiongdéfinie par :g(x) = 1 5x−4. Vidéo