Chapitre5 : Dérivation et problèmes Page 1
Chapitre 5 : Dérivation et problèmes
Objectifs :
* Connaitre la définition du nombre dérivée en un point et de la tangente à une courbe en un point.
*Savoir utiliser le nombre dérivée et la tangente.
*Connaitre les formules de dérivation des fonctions usuelles
* Connaitre les formules d’opérations sur les fonctions dérivées
*Savoir utiliser toutes les formules de dérivation I. Dérivabilité en un point
Exemple: Soit la fonction f définie sur par . L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de lorsque x se rapproche de 0.
x -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 … 0,001 0,01 0,1 0,5
?
On constate que f(x) se rapproche de lorsque x se rapproche de 0. On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à et on note : .
Principe : Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Soit un réel a appartenant à I. Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h 0.
1) Quelle est l’ordonnée du point M ? du point A ?
2) En déduire le coefficient directeur de la droite (AM) . 3) Que se passe-t-il lorsque le point M se rapproche du point A pour la valeur de h ? pour le coefficient directeur de la droite (AM), (on pourra utiliser la notion de limite vue précédemment)?
Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que :
L est appelé le nombre dérivé de f en a et se note f’(a).
Chapitre5 : Dérivation et problèmes Page 2 Exemple : Soit la fonction trinôme f définie sur R par . Démontrer que f est
dérivable en .
f(2+h)=
f(2)=
f(2+h)-f(2)=
Définition : La tangente à la courbe au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).
Exemple : Soit A(a ;f(a)) et T la tangente à la courbe passant par A, on donc : T a pour équation : y=f’(a)x+b
De plus , étant donné que A est sur la tangente, on a : f(a)=f’(a) a+b
d’où b=
d’où y=
Propriété : L’équation de la tangente au point A à la courbe Cf est donc f’(a)(x- a)+f(a)
Exemple :On considère la fonction trinôme f définie sur R par dont la dérivabilité en 2 a été étudiée précédemment. Déterminer le coefficient directeur puis l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2.
On a vu que f’(2)=6. Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est la droite passant par A et de coefficient directeur 6.
De plus f(2)=5 donc l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est : y=f’(2)(x-2)+f(2)
Exercices :10à14,16à18p70+19à23p71Hyperbole ES/L 2011 Nathan
II. fonction dérivée
Exemple : Soit la fonction f définie sur R par et x un réel quelconque.
f(x+h)=
f(x)=
Chapitre5 : Dérivation et problèmes Page 3 Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f Ensemble de
définition de f
Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
, R R
, R R
, n entier non nul R R
n entier non nul R\{0} R\{0}
Exemples :
1) Soit la fonction f définie sur R par alors on a pour tout x de R, . 2) Soit f définie sur R\{0} par
alors on a pour tout x de R\{0},
.
III. Opérations sur les fonctions dérivées
Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Exercices :24,25p71+27à30,32,33,35p72+37à42p73+46p75+48,50,51p76+54,55p77+68à70p80+
72p81 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
Exercices supplémentaires : p60,63,65,67à69+9,15p70+26,34,36p72+43p73+p78,79 Hyperbole ES/L 2011 Nathan
u+v est dérivable sur I (u+v)’=u’+v’
ku est dérivable sur I, où k est une constante (ku)’=ku’
uv est dérivable sur I (uv)’=u’v+uv’
est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I
