Chapitre 1 : Continuité, dérivation Page 1
Chapitre 1 : Continuité, Dérivation
Objectifs :
*Connaitre et savoir utiliser les formules de dérivation des fonctions usuelles
* Connaitre et savoir utiliser les formules d’opérations sur les fonctions dérivées
*Connaitre et savoir utiliser le lien entre dérivée et variations et extremums de fonctions
* Savoir reconnaitre les fonctions continues
*Connaitre et savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires I. Rappels sur la dérivation
Propriété : Soit une fonction affine définie sur R par . On a les tableaux de signes suivant :
Si , alors Si , alors x
f(x) - 0 +
Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur R par Si < 0 :
Si = 0 :
- Si > 0 :
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f Df Dérivée f ' Ensemble de définition de f '
, R R
, R R
, n entier non nul R R n entier non nul R\{0} R\{0}
x f(x) + 0 -
x f(x) Signe de a
x x0 f(x) Signe de a 0 Signe de a
x
f(x) Signe de a O Signe de –a O Signe de a
Chapitre 1 : Continuité, dérivation Page 2 Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
- Si , alors f est décroissante sur I.
- Si , alors f est croissante sur I.
Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Si la dérivée f' de f s'annule et change de signe en un réel c de I alors f admet un extremum en x = c.
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette 2,3,4,6,7,9,10,11p41+2,3p39
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette p37+1,5,8p41
II. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Exemples et contre-exemples :
La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.
Propriétés : Les fonctions (n ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R. La fonction est continue sur . La fonction est continue sur et sur . Les fonctions construites par opérations (somme et produit) des fonctions de référence sont continues sur leur intervalle de définition.
Remarque : Les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.
u+v est dérivable sur I (u+v)’=u’+v’
ku est dérivable sur I, où k est une constante (ku)’=ku’
uv est dérivable sur I (uv)’=u’v+uv’
est dérivable sur I, où v ne s'annule pas sur I
Chapitre 1 : Continuité, dérivation Page 3 Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires :On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre et l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].
Remarque : Dans le cas où f(a) et f(b)sont de signes contraires alors il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)0.
Corollaire : On considère la fonction f définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]. Pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une unique solution dans l'intervalle [a ; b].
Exercice type : Soit f est la fonction définie sur par : a) Etudier les variations de f.
b) Déterminer les extremums de f sur ]-4 ;5[
c) Montrer que l’équation admet une unique solution dans l‘intervalle ]-4 ;5[
d) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de arrondie à l’unité.
a)
d’où x= -4 ou x
x
f ’ + 0 - 0 +
f 306
-423
f(-4)=306 f(5)=-423
b)f admet un minimum en 5 égale à -423 et un maximum en -4 égale à 306 sur ]-4 ;5[
Chapitre 1 : Continuité, dérivation Page 4 c) f est définie , continue et strictement décroissante sur [-4 ;5]
f(-4)>200>f(5)
donc f(x)=200 admet une unique solution sur [-4 ;5]
d) A l’aide de la table de la calculatrice, nous obtenons le tableau suivant :
x f(x)
-1.9 205.45
-1.8 196.61 donc
rappel pour la calculatrice :
Pour dresser la table de valeur d’une fonction : Après avoir rentrée une fonction dans , on peut afficher une table de valeur.
D’abord on règle la première valeur de X que l’on veut afficher et le pas entre deux valeurs.
(ici, on veut afficher une table de valeur qui démarre à 5 puis affiche 5,1 5,2 ,…).
On peut désormais afficher la table :
Pour dresser la table de valeur d’une fonction : Appuyer sur Puis rentrer l’expression de votre fonction (si vous avez rentrer une fonction dans graph, elle apparait aussi ici et
inversement). D’abord on règle la première et la dernière valeur de X que l’on veut afficher et le pas entre deux valeurs.
(ici, on veut afficher une table de valeur de 5 à 8 , de 0,1 en 0,1)
On peut désormais afficher la table
:
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
13,14,15,16p43+26,29,33,35p49+45p50+47,48,52,53,61p52+73p55+76,80p57+84p59+87p60 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
12,17,18p43+ 28,32,36p49+44p50+1,2,3p51+49,50,51,54,55,56,57,58,59p52+62,63,64p54
