Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 7 (23/11 – 27/11)
Chapitre 7 : Nombres complexes
1. Définition et manipulations algébriques
‚ Définition, commeR2 muni des lois idoines.
‚ Définition de i. Propriétéi2“ ´1.
‚ Identification du réelxàpx,0q. Écriture sous la formez“a`ib. Partie réelle, Partie imaginaire.
‚ Inversibilité et expression algébrique dez´1.
‚ Propriétés de d’addition et de la multiplication (associativité, distributivités etc., vérifications non exigibles) La notion de corps a été évoquée, mais de façon vague pour le moment.
‚ Notion d’affixe.
‚ Conjugué d’un nombre complexe. Propriétés de la conjugaison. Expression de la partie réelle et de la partie imaginaire à l’aide du conjugué.
‚ Module, rapport avec la norme euclidienne canonique deR2. Propriétés du module (multiplicativité, majo- ration deRepzqetImpzq, inégalité triangulaire...)
‚ |z|2“zz.
‚ Expression algébrique d’un quotient.
2. Trigonométrie et exponentielle complexe
‚ Cercle trigonométrique, fonctions trigonométriques (sin,cos,tan,cotan).
‚ Domaines de définition des fonctions trigonométriques, et symétries. Valeurs particulières.
‚ Identitésin2pxq `cos2pxq “1.
‚ Formules de trigonométrie.
˚ Formules d’addition pour sin,cos, tan(non redémontré ; une démonstration géométrique a été évoquée très rapidement, mais n’est pas exigible)
˚ Formules de duplication des angles
˚ Formules de linéarisation des carrés (Carnot)
˚ Formules de transformation de produit en somme
˚ Formules de factorisation (Simpson)
˚ Formules de l’arc moitié
˚ Formule de factorisation deacospxq `bsinpxq, a‰0. 3. Racines d’un nombre complexe
‚ Racinesn-ièmes de1, ensembleUn. Explicitation sous forme exponentielle.
‚ Racinesn-ième de z. Explicitation sous forme trigonométrique, à l’aide d’une racine particulière ; cas où z est connu sous forme trigonométrique.
‚ Somme des puissances des racinesn-ièmes de 1. Somme des racines de 1.
‚ Somme des racinesn-ièmes dez.
‚ Méthode : recherche des racines carrées dezsous forme algébrique.
‚ Résolution des équations du second degré à coefficients dansC.
NB : pas d’exercice sur la géométrie cette semaine
4. Nombres complexes et géométrie
‚ Affixe d’un point, d’un vecteur.
‚ Traduction de la norme, du produit scalaire.
‚ Traduction de la colinéarité, de l’alignement, de l’orthogonalité
‚ Traduction de l’angle
‚ Interprétations des transformations usuelles du plan. Il est notamment important de savoir traduire des rotations simples (multiplication pari, parj...)
‚ Notion d’isométrie, de similitude
‚ Caractérisation des isométries et similitudes vectorielles directes
‚ (HP) Caractérisation des droites et des cercles.
Chapitre 8 : Continuité, dérivation et études de fonctions
Ce chapitre est à vocation essentiellement technique et calculatoire. Les élèves doivent maîtriser les différentes tech- niques de dérivation, avec assurance et efficacité, et savoir mener une démarche complète d’étude de fonction. Le cadre d’étude est celui des fonctions d’un sous-ensemble deRà valeurs dansR, ou éventuellementC.
Uniquement le cours sur ce chapitre 1. Limites et continuité
Le but de ce paragraphe est d’introduire les notions concernant les limites nécessaires pour une bonne définition des dérivées. Certains points seront admis provisoirement et démontrés plus tard.
‚ Limites : point de vue métrique ;
˚ Limite finie ou infinie en un point fini ou infini.
˚ Équivalence des énoncés écrits avec un ordre large ou un ordre strict.
˚ Cas d’une limite en un point du domaine.
‚ Point de vue topologique (par voisinages).
˚ Démonstration de l’équivalence entre les 2 points de vue.
˚ Limite finie implique bornée localement.
˚ Comparaison des limites de deux fonctions coïncidant au voisinage dea.
‚ Unicité de la limite
‚ Limite sur un sous-domaine
˚ Définition générale. Cas des limites à droite et à gauche
˚ Caractérisation de la limite par les limites sur des sous-domaines en nombre fini recouvrant le domaine (Démonstration non exigible)
˚ Cas particulier : caractérisation de la limite par les limites à gauche et à droite.
‚ Propriétés des limites
˚ Pour arriver plus vite au coeur du chapitre, les règles opératoires usuelles sont ADMISES à ce stade à part :
˚ Composition des limites (démonstration à connaître)
˚ Conservation des inégalités (ADMIS à ce stade)
˚ Théorème d’encadrement (ADMIS à ce stade)
‚ Limites de fonctions à valeurs dansC
˚ Caractérisation par les limites des parties réelles et imaginaires.
˚ Cas des fonctions à valeurs dans Rn (muni de la norme euclidienne canonique). Caractérisation de la limite par les coordonnées (démonstration non exigible, cela a juste été évoqué rapidement).
‚ Continuité
˚ Diverses formulations équivalentes
˚ Cas de fonctions coïncidant au voisinage dea.
