Chapitre 02 – Dérivation et Continuité

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 02 – Dérivation et Continuité

I. Dérivabilité

1- Taux de variation

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, soit a un réel appartenant à I et soit h un réel non nul tel que a+h appartienne à I.

On appelle taux de variation de f entre a et a+h le nombre τ_a(h)=f(a+h)−f(a)

h .

Interprétation graphique :

On considère la courbe représentative C

f d’une fonction f dans un repère. Soient A et M les points de C

f d’abscisses respectives a et a+h. Alors le taux de variation τ_a(h) de f entre a et a+h est le coefficient directeur de la droite (AM).

2- Fonction dérivable en un réel a. Nombre dérivé

Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a☻I.

On dit que f est dérivable en a si le taux de variation de f entre a et a+h admet une limite finie lorsque h tend vers 0.

On pose alors f '(a)= lim

h↔0τh(h)= lim

h↔0

f(a+h)−f(a)

h et f′(a) est appelé nombre derivé de f en a.

Remarque : en posant x=a+h alors f est dérivable en a si f(x)−f(a)

x−a admet une limite finie quand x tend vers a et on a alors f ′(a) = lim

x↔a

f(x)−f(a) x−a

3- Interprétation graphique. Tangente

Avec les notations du 1., lorsque h tend vers 0, le point M "tend à se rapprocher" du point A et les droites (AM) "tendent vers une position limite".

Définition : Lorsque f est dérivable en a, on appelle tangente à la courbe représentative de f au point A(a;f(a)), la droite passant pas A et de coefficient directeur f ′(a).

Une équation de cette tangente est y=f ′(a)(x−a)+f(a).

4- Approximation affine locale

Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a☻I.

Si f est dérivable en a alors on peut écrire que pour h voisin de 0, f(a+h)=f(a)+h f ′(a)+hε(h) avec lim

h↔0ε(h)=0 .

On peut donc dire que lorsque h tend vers 0, f(a+h)óf(a)+h f ′(a) .

En effectuant cette approximation, l’erreur commise est f(a+h)−f(a)−h f ′(a) dont la valeur absolue est la distance MP.

5- Fonction dérivée

Définition : Soit f une fonction définie sur une partie I de Ë (càd un intervalle ou une réunion d’intervalles de Ë). On dit que la fonction f est dérivable sur I si f est dérivable en tout réel a de I. La fonction f ′ définie sur I par x→f ′(x) est appelée la fonction dérivée de f.

Remarque : Si f ′ est elle-même dérivable, sa fonction dérivée, appelée dérivée seconde, est notée f ″…

Définition : On appelle ensemble de dérivabilité d’une fonction f, l’ensemble des réels sur lequel f est dérivable. Cet ensemble constitue alors l’ensemble de définition de la fonction f ′.

Fonction f Ensemble de définition de f Ensemble de dérivabilité de f Fonction dérivée f ’ f(x)=k

(

)

f(x)=x f(x)=xⁿ (n☻É*)

Ë Ë f ′(x)=0

f ′(x)=1 f ′(x)=n xⁿ⁻¹ f(a)+f '(a)h

f(a+h)

f(a)

0 1

1

x y

A M

P

a a+h_. h

f(a+h)-f(a)

a a+h

f(a) f(a+h)

0 1

1

x y

A

M

f(x)=1 x f(x)= 1

xⁿ (n☻É*) Ë* Ë*

f ′(x)=-1 x² f ′(x)=- n

xⁿ⁺¹

f(x)= x [0;+õ[ ]0;+õ[ f ′(x)= 1

2 x f(x)=cos(x)

f(x)=sin(x) Ë Ë f ′(x)=-sin(x)

f ′(x)=cos(x)

6- Théorèmes d’opérations

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. soit k un réel

Fonction u+v ku (k☻Ë) u v 1

v

u v

Fonction dérivée u′+v′ ku′ u′v+u v′ -v′

v² * u′v−u v′ v² *

* Ces fonctions sont dérivables sur {x☻I / v(x)ý0}

Propriété : On déduit que :

- tout polynôme est dérivable sur Ë.

- Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

7- Dérivée d’une fonction composée

Théorème (le principe de la démonstration est à savoir mais nécessite des connaissances du II. (cf annexe))

Soit v une fonction dérivable sur un intervalle J et u une fonction dérivable sur un intervalle I tel que ┐x☻I, u(x)☻J.

Alors la fonction f=vo u est dérivable sur I et ┐x☻I, f′(x)=u′(x)×v′[u(x)].

On a donc f ′=u′×v′ou Conséquences :

o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f=coso u est dérivable sur I et f ′=-u′sinou o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction f=sino u est dérivable sur I et f ′=u′cosou o Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I alors f= u est dérivable sur I et f ′= u′

2 u o Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors f=uⁿ (n☻É*) est dérivable sur I et f ′=nu′uⁿ⁻¹ o Si u est dérivable sur un intervalle I alors f= 1

uⁿ (n☻É*) est dérivable sur {x☻I / u(x)ý0} et f ′=-n u′

uⁿ⁺¹

8- Notation différentielle

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit f ′ sa dérivée.

Pour tout x☻I et pour tout h tel que x+h☻I, on a f(x+h)=f(x)+h f ′(x)+hε(h) avec lim

h↔0ε(h)=0 (1) En posant ∆x=h et ∆y=f(x+h)−f(x), (1) s’écrit ∆y=f ′(x)∆x+∆xε(∆x) où ε tend vers 0 avec ∆x.

Lorsque ∆x devient infinitésimal, on exprime symboliquement l’égalité (2) par d y=f ′(x)d x ou encore f ′=d y d x . 9- Dérivation et sens de variation

Théorèmes (vus en 1^ère S)

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

o f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x)Ã0.

o f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x)Â0.

o f est constante sur un I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x)=0.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

o f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x)>0 (éventuellement nul en des points isolés) o f est strictement décroissante si et seulement si pour tout x de I, f ′(x)<0 (éventuellement nul en des points isolés) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I

II. Continuité

1- Approche graphique

Dire que f est continue sur un intervalle I revient à dire que l’on peut tracer sa courbe représentative "sans lever le crayon".

Exemples:

o La fonction carrée est continue sur Ë

o La fonction partie entière est la fonction notée E, définie sur Ë, qui à tout réel x associe le nombre E(x) égal au plus grand entier inférieur ou égal à x. Par exemple E(1,1)=1, E(-2,01)=-3 et E(4)=4. Cette fonction n’est pas continue sur Ë.

2- Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.

o On dit que f est continue en a lorsque lim

x↔af(x)=f(a)

o On dit que f est continue sur I lorsqu’elle est continue en tout réel de I.

Remarque : On ne peut pas parler de continuité sur une réunion d’intervalles mais seulement sur un intervalle. La fonction inverse est donc continue sur ]-õ;0[ et sur ]0;+õ[ mais pas sur Ë*.

Conséquences : La somme, le produit et la composée de fonctions continues sont continues.

3- Dérivabilité et continuité

Théorème : soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a.

o Si f est dérivable en a alors f est continue en a. Attention : les réciproques sont fausses o Si f est dérivable sur I alors f est dérivable sur I.

Démonstration : on utilise l’approximation affine locale affine de f au voisinage de a.

Exemples :

o La fonction cube est dérivable sur Ë, elle est donc continue sur Ë.

o lim

x↔0 x=0= 0 donc la fonction racine carrée est continue en 0. Mais la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.

Remarque très importante :

Soit f une fonction continue sur [a;b] et dérivable sur ]a;b[.

Si pour tout x de ]a;b[, f ′(x)>0 (resp f ′(x)<0) alors f est strictement croissante (resp décroissante) sur [a;b].

4- Continuité des fonctions usuelles Du théorème du paragraphe 3. on déduit que :

o Les polynômes sont continus sur Ë

o Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition o Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur Ë

o La fonction racine carrée est continue sur [0;+õ[ (voir exemple ci-dessus)

Remarque : toutes les fonctions construites par opérations ou composition à partir des fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

III. Théorème des valeurs intermédiaires

1. Le théorème des valeurs intermédiaires (admis)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a et b.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

Autrement dit, f prend au moins une fois sur [a;b] toute valeur comprise entre f(a) et f(b) Utilisation et limites du théorème des valeurs intermédiaires :

o Ce théorème peut être utilisé pour montrer que l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans un intervalle [a;b].

o Ce théorème assure l’existence d’au moins une solution de l’équation f(x)=k mais il ne donne pas le nombre exact de solution. Il ne donne pas non plus d’indication précise sur la valeur de la (ou les) solutions de cette équation.

2 3

-1 2

-1

0 1

1

x y

2. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à un intervalle [a;b].

Théorème (démonstration à savoir, voir annexe)

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b]

Remarque : Ce théorème est plus précis que le théorème des valeurs intermédiaires. En effet, il assure l’existence et l’unicité de la solution de l’équation f(x)=k.

3. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à d’autres situations

o Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b[ (ou ]b;a]), alors pour tout réel k compris entre f(a) et lim

b f l’équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b[ (ou ]b;a])

o Si f est une fonction continue et strictement monotone sur ]-õ;a] (resp [a;+õ[), alors pour tout réel k compris entre f(a) et lim

-õ f (resp lim

+õ f) l’équation f(x)=k admet une unique solution dans ]-õ;a] (resp [a;+õ[)

o Si f est une fonction continue et strictement monotone sur ]-õ;a[ (resp ]a;+õ[), alors pour tout réel k compris entre lim

a f et lim

-õ f (resp lim

+õ f) l’équation f(x)=k admet une unique solution dans ]-õ;a[ (resp ]a;+õ[).

4. Exemple d’utilisation et méthodes de recherche d’une valeur approchée de la solution de l’équation f(x)=k

So it f la fonction définie sur ]-õ;0] par f(x)= x²+2 . Montrer que l’équation f(x)=3 admet une unique solution dans ]-õ;0] et déterminons un encadrement d’amplitude 10^-2 d’une valeur approchée de cette solution par la méthode par balayage.

u : x→x²+2 est dérivable et strictement positive sur ]-õ;0] et x→ x est dérivable sur ]0;+õ[ donc f = u est dérivable donc continue sur ]-õ;0] comme composée de fonctions dérivables et f ′= u′

2 u

┐xÂ0; f ′(x)= 2x

2 x²+2 = x x²+2

┐xÂ0, x²+2>0 donc f ′(x) est du signe de x donc _^f ′(x)<0 si x<0

f ′(0)=0 donc f est strictement décroissante sur ]-õ;0]

lim

x↔-õf(x)= lim

X↔+õ X=+õ et f(0)= 2 donc 3☻

 

 

f(0); lim

+õ f

D’après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on déduit que l’équation f(x)=3 admet une solution unique dans ]-õ;0].

Détermination d’une valeur approchée avec la méthode par balayage :

On commence par conjecturer une valeur approchée à l’aide du graphique proposé par la calculatrice. (La représentation graphique permet de conjecturer la solution dans l’intervalle [-3;-2].

Le mode table de la calculatrice permet alors de dresser la table des valeurs de f(x) sur l’intervalle [-3;-2] avec un pas de 0,1. On constate alors que f(-2,7)>3 et que f(-2,6)<3. La solution cherchée appartient donc à [-2,7;-2,6].

On dresse alors la table des valeurs de f(x) sur l’intervalle [-2,7;-2,6] avec un pas de 0,01. On constate que f(-2,65)>3 et que f(-2,64)<3. La solution α cherchée vérifie donc -2,65<α<-2,64

So it f la fonction définie sur ]-õ;0] par f(x)= x²+2 . Montrer que l’équation f(x)=3 admet une unique solution dans [-3 ;-2 ] et déterminons une valeur approchée à 10^-1 près de cette solution par la méthode par dichotomie.

L’exemple précédent permet de conclure que f est continue sur ]-õ;0] donc sur [-3;-2].

f est strictement décroissante sur ]-õ;0] donc sur [-3;-2]

De plus, f(-3)= 11>3 et f(-2)= 6<3 donc 3☻[f(-2);f(-3)]

D’après le corollaire des valeurs intermédiaires, on déduit que l’équation f(x)=3 admet une solution unique α dans [-3;-2].

Détermination d’une valeur approchée de α avec la méthode par dichotomie :

On sait que α☻[-3;-2], on va donc chercher à savoir si α☻[-3;-2,5] ou si α☻[-2,5;-2]

Or, on constate que f(-3)>3, f(-2,5)<3 donc α☻[-3;-2,5]

On recommence donc en cherchant à savoir si α☻[-3;-2,75] ou si α☻[-2,75;-2,5]

Or, f(-2,75)>3 donc α☻[-2,75;-2,5]

On cherche donc à savoir si α☻[-2,75;-2,625] ou si α☻[-2,625;-2,5]

Or, f(-2,625)<3 donc α☻[-2,75;-2,625]

-1 près de α est donc -2,7

IV. Exercices

Exercice 1

Dans chacun des cas, déterminer l’ensemble de définition, l’ensemble de dérivabilité et calculer la dérivée de la fonction f.

1. f(x)=-5x³+2x−18 2 . f(x )=

(

)

3 . f(x)=x²−3x+2 2−x

4 . f(x)= 1 sin(x)−2 5 . f(x)=cos

 

 

3x−^π 3

6 . f(x)= x²+x−3

Exercice 2 (d’après batterie éducation nationale)

Dans chacun des cas, indiquer si les propriétés peuvent être vérifiées simultanément ou non. Si la réponse est "oui", donner un exemple (graphique accepté) ; dans le cas contraire, justifier la réponse.

On considère une fonction f définie sur un intervalle I contenant le réel a.

- f est continue en a et f est dérivable en a.

- f est continue en a et f n’est pas dérivable en a.

- f n’est pas continue en a et f est dérivable en a.

- f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.

Exercice 3

On considère les fonctions f et g définies sur Ë par

 



 

 

1

x si xý0

f(0)=0 et



 

 

 

1− x²+1

x −1 si xý0 g(0)=m

1. Calculer la limite de f en 0. La fonction f est-elle continue en 0 ? 2. Quelle valeur donner à m pour que la fonction g soit continue sur Ë ? Exercice 4

Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=x⁴

2+x³+x²−2x+11.

1. Etude d’une fonction auxiliaire : soit g la fonction définie sur Ë par g(x)=2x³+3x²+2x−2 a. Déterminer les limites de g en l’infini.

b. Déterminer le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.

c. Calculer g

 

 

1

2 et déterminer le signe de g sur Ë.

2. Etude de la fonction f

a. Déterminer les limites de f en l’infini.

b. Montrer que pour tout réel x, f ′(x)=g(x).

c. En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation Exercice 5

Soit f la fonction définie par f(x)= x²−6x+8 et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(

)

1. Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.

2. a. Déterminer la limite de f en +õ.

b. Justifier que f est dérivable sur ]4;+õ[ et calculer alors f ′(x) pour x☻]4;+õ[.

c. Déterminer alors le sens de variation de f sur ]4;+õ[

3. a. Etudier la dérivabilité de f en 4.

b. Etudier la continuité de f en 4.

c. En déduire le sens de variation de f sur [4,+õ[.

4. A l’aide de considérations graphiques, donner le sens de variation de f sur ]-õ;2].

5. Dresser le tableau de variation de f sur D_f.

6. a. Démontrer que la droite ∆ d’équation y=x−3 est asymptote à C au voisinage de +õ.

Etudier la position de C par rapport à ∆ pour xÃ4.

b. C admet aussi une asymptote oblique au voisinage de –õ. Conjecturer son équation réduite et sa position par rapport à C pour xÂ2.

7. Tracer C (on commencera évidemment par ses asymptotes et éventuelles tangentes horizontales)

Exercice 6

Soit f la fonction définie par f(x)=-x³+4

x²−1 et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

(

)

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction g définie sur Ë par g(x)=-x³+3x−8.

1. a. Déterminer les limites de g en l’infini

b. Déterminer le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations.

2. a. Démontrer que l’équation g(x)=0 admet dans ]-õ;-1] une solution unique α.

b. Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10^-1. 3. Déterminer le signe de g sur Ë.

Partie B : Etude de la fonction f.

1. Déterminer l’ensemble de définition D_f de f et ses limites aux bornes ouvertes de D_f. Interpréter géométriquement lorsque c’est possible.

2. a. Démontrer que ┐x☻D

f, f ′(x) et xg(x) sont de même signe.

b. En déduire le sens et le tableau de variation de f.

3. a. Démontrer que ┐x☻D_f, f(x)=-x+-x+4 x²−1 . b. Montrer que C admet une asymptote ∆.

c. Démontrer que C et ∆ ont un point d’intersection unique I.

4. Démontrer que C admet des tangentes parallèles à ∆ en deux points A et B.

5. a. Montrer que f(α)=-3

2α en calculant d(α)=f(α)−

 

 

-³ 2α . b. En déduire un encadrement de f(α).

6. Représenter C_. Exercice 7

Soit f la fonction définie par f(x)=cos(x). On se propose de montrer que l’équation f(x)=x admet dans [0;π] une solution unique.

On considère la fonction φ définie sur [0;π] par φ(x)=f(x)−x.

1. Etudier les variations de φ sur [0;π].

2. Montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique α dans [0;π].

3. Déterminer un encadrement de α à 10^-1 près.

4. Interpréter graphiquement α.

Exercice 8 : La fonction tangente

On considère la fonction tangente, notée ta n définie par tan(x)=sin(x)

cos(x). Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Montrer que l’ensemble de définition de tan est





 x☻Ë / xýπ 

2+kπ avec k☻Î 2. Montrer que la fonction ta n est π périodique et interpréter graphiquement.

3. Démontrer que la fonction ta n est impaire et interpréter graphiquement.

4. Justifier que l’on peut se contenter d’étudier la fonction ta n sur

 

 

0;π 2 . 5. a. Déterminer la limite de ta n à gauche de π

2 et interpréter graphiquement.

b. Montrer que ┐x☻

 

 

0;π

2 , tan′(x)=1+tan²(x)= 1 cos²(x).

c. Déterminer le sens et le tableau de variation de la fonction tan sur

 

 

0;π 2 .

6. On se propose d’étudier la position de C par rapport à sa tangente T au point d’abscisse 0.

On considère la fonction φ définie sur

 

 

0;π

2 par φ(x)=tan(x)−x.

a. Déterminer une équation de T.

b. Déterminer le sens et le tableau de variation de φ.

c. En déduire le signe de φ puis la position de C par rapport à T.

7. a. Représenter T puis C _sur

 

 

0;π 2

b. En déduire la construction de C sur l’ensemble de définition de tan.