Continuité et dérivation

TS : Continuité et dérivation page 1

Continuité et dérivation

Pour reprendre contact n^o1 à 4 p 35

I. Fonction dérivable, fonction continue (A) Fonction dérivable

Définition 1

Soitf une fonction définie sur un intervalleI contenanta.

Dire que f est dérivable ena, de nombre dérivé f⁰(a), c’est dire quelim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =f⁰(a), ce qui s’écrit aussilim

x→a

f(x)−f(a)

x−a =f⁰(a).

Remarque

f(x)−f(a)

x−a est le coefficient directeur de la droite (AM) oùA(a;f(a)) etM(x;f(x)).

Quandxtend versa, cette droite « tend vers une position limite » : la tangente à la courbe représentative def enA.

Définition 2

Dire que f est dérivable en a, c’est dire que la courbe représentative de f admet au point A(a;f(a)) une tangenteT_Anon verticale. Lecoefficient directeur deT_Aest f⁰(a).

Une équation deTAesty=f⁰(a)(x−a)+f(a).

Exercices n^o13 - 14 p 49

(B) Notion intuitive de continuité

Activité n^o1 p 36

Propriété 1 (admise)

Les fonctions affine, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.

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Propriété 2 (admise)

Une fonction dérivable sur un intervalleI est continue surI.

Remarques

4Les fonctions polynômes sont continues surRet les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition par la propriété 2.

4La réciproque de la propriété 2 est fausse !Par exemple, la fonction valeur absolue est continue surRmais n’est pas dérivable en 0 ; la fonction racine carrée est continue sur [0;+∞[ mais n’est dérivable en 0.

Exercices n^o 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 p 49 - 50

II. Théorème des valeurs intermédiaires

(A) Convention dans un tableau de variation Convention

Une flèche dans le tableau de variation d’une fonction f indique :

+la stricte croissance (ou décroissance) de f sur l’intervalle correspondant.

+la continuité de la fonctionf sur cet intervalle.

(B) Théorème des valeurs intermédiaires : équationf(x)=ksur[a;b] Théorème des valeurs intermédiaires

Soitf une fonctioncontinuesur un intervalleI etaetbdeux réels deI.

Pour tout réelk compris entre f(a) et f(b), ilexiste au moinsun réelc compris entrea etb tel que f(c)=k.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soitf une fonctioncontinueetstrictement monotonesur un intervalle [a;b].

Pour tout réelkcompris entre f(a) etf(b), l’équation f(x)=kadmetune unique solutiondans l’intervalle [a;b].

Démonstration

4Par le théorème des valeurs intermédiaires, on sait que l’équationf(x)=ka au moins une solutioncdans [a;b]. Il reste à prouver l’unicité.

4Deux nombres distincts appartenant à l’intervalle [a;b] n’ont pas la même image parf puisque sia≤x1<x2≤b, on af(x1)<f(x2) dans le cas oùf est strictement croissante, etf(x1)>f(x2) dans le cas oùf est strictement décroissante. Un réelxde [a;b] différent decne peut donc avoir pour imagek. Donccest l’unique solution de l’équationf(x)=k.

Exercices n^o 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 35 p 50 - 52

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(C) Résolution d’équations sur un intervalle ouvert Propriété 3

Soit f une fonctioncontinueetstrictement monotone sur un intervalle ]a;b[ oùa désigne un réel ou−∞etbdésigne un réel ou+∞.

On suppose quef admet des limitesenaetb, finies ou infinies.

Pour toutk de l’intervalle ] lim

x→af(x); lim

x→bf(x)[ ou ] lim

x→bf(x); lim

x→af(x)[, l’équation f(x)=kadmet une unique solutiondans l’intervalle ]a;b[.

Exercices n^o 57 - 58 - 59 - 60 - 63 p 185 - 186

III. Calculs de dérivées (A) Rappels

Siuetvsont dérivables surI

f(x) f⁰(x) xappartient à f f⁰ f est dérivable

k(constante) 0 R u+v u⁰+v⁰ surI

xⁿ nxⁿ⁻¹ Rsin>0,R^∗sin<0 uv u⁰v+uv⁰ surI

px 1

2p

x ]0;+∞[ 1

u −u⁰

u² en toutxdeI tel queu(x)6=0 1

x − 1

x² R^∗ u

v

u⁰v−uv⁰

v² en toutxdeItel quev(x)6=0 (B) De nouveaux résultats : dérivées des composées de fonctions

Propriété 4 (admise)

Soituune fonction dérivable sur une partieDdeR. Si u(x)>0 pour tout x de D, la fonction f =p

u définie par x7→p

u(x) est dérivable surD et f⁰(x)= u⁰(x)

2p u(x).

Exemple Soitf(x)=p

1−x²sur [−1; 1]. On af(x)=p

u(x) avecu(x)=1−x². La fonctionuest dérivable sur [−1; 1] etu(x)>0 sur ]−1; 1[.

Doncf est dérivable sur ]−1; 1[ avecf⁰(x)= u⁰(x) 2p

u(x)= −2x 2p

1−x²= − x p1−x².

Propriété 5 (admise)

Soituune fonction dérivable sur une partieDdeR. Soitnun entier relatif.

Soit la fonctionf =uⁿdéfinie parx7→¡ u(x)¢n

.

4Pourn>0, f est dérivable surD

4Pourn<0, f est dérivable en toutxdeDtel queu(x)6=0 Dans les deux cas,f⁰(x)=nu⁰(x)¡

u(x)¢n−1

Exemple

Soitf(x)=(2x−3)⁴pour toutxréel. On af(x)=¡ u(x)¢4

avecu(x)=2x−3 Commeuest dérivable surR,f l’est aussi etf⁰(x)=4×u⁰(x)ס

u(x)¢3

=4×2×(2x−3)³=8(2x−3)⁴

Propriété 6 (admise)

Soit f(x) = u(ax+b) où u est une fonction dérivable sur une partie D de R et a et b deux constantes réelles.

Alors f est dérivable en tout réelxtel queax+b∈Det f⁰(x)=a×u⁰(ax+b).

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TS : Continuité et dérivation page 4

Remarque

Dans ces trois propriétés, on étudie une fonction f de la formex7→v£ u(x)¤

oùu etv sont deux fonctions.

On a alors f⁰(x)=u⁰(x)×v⁰£ u(x)¤

.

Exercices n^o36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 46 - 47 p 52 - 53

Exercices n^o49 - 50 - 51 - 52 - 53 - 54 p 53

Exercices n^o 80 - 86 - 87 - 89 - 94 p 57 - 58

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