Chapitre 7
Dérivation, continuité et convexité
Les savoir-faire
70. Connaître et utiliser les dérivées des fonctions composées.
71. Etudier et utiliser la convexité d’une fonction.
72. Etudier une suite définie par une relation de récurrence.
73. Connaître et utiliser le TVI.
I. Compléments de dérivation
1. Fonctions composées
Soituune fonction définie sur un intervalle I et v une fonction définie sur un intervalleJ tel que pour tout x deI, on aitu(x)∈J.
La fonction composée de usuivie dev, notéev◦u, est la fonction définie par : (v◦u)(x) =v(u(x).
x7→u(x)7→v(u(x))
x v◦u(x)
Définition : composée de deux fonctions
Exemples :
a. On considère la fonctionf définie parf(x) = 1
x2. Identifier la composée de deux fonctions dans la fonction f. Vidéo
b. On considère les fonctionsuet v définies par :u(x) = 1
x et v(x) =√ x.
Exprimer les fonctionsv◦uetu◦v en fonction dex.. Vidéo
2. Dérivée de la composée de deux fonctions
Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleItel que, pour toutxdeI,u(x)∈J etvune fonction définie et dérivable sur J. Alors
f =v◦uest dérivable surI et pour toutx∈I, f′(x) = (v◦u)′(x) =v′[u(x)]×u′(x), Autrement dit,f′= (v′◦u)×u′.
Propriété
Exemple :
Déterminer la dérivée de la fonctionf définie surRparf(x) = ex2+1. Vidéo
3. Fonctions √
u , u
net e
uSoituune fonction dérivable sur un intervalleI etndésigne un entier relatif non nul.
Fonctions composées Dérivées
u2 2uu′
un
(n∈Z∗) etu6= 0 sin <0 nun−1u′
√u(u >0) u′
2√u
eu u′eu
Exemple :
Déterminer la dérivée des fonctions définies par :f(x) =p
3x2+ 4x−1 etg(x) = (2x2+ 3x)4. Vidéo
4. Dérivée seconde
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleI etf′ sa fonction dérivée. La fonctionf est deux fois dérivable sur Isif′ est elle-même dérivable surI.
On notef′′ la dérivée def′. Elle est appelée dérivée seconde def. Définition
II. Convexité d’une fonction
1. Approche graphique
Soitf une fonction définie sur un intervalleIet C sa courbe.
— f est convexe sur I si, pour tous réels aet b de I, la portion de la courbeC située entre les points A(a;f(a)) et B(b;f(b)) esten-dessous de la sécante (AB).
— f estconcave surI si si, pour tous réelsa et b deI, la portion de la courbe C située entre les points A(a;f(a)) et B(b;f(b)) estau-dessusde la sécante (AB).
Définition
a O
f(a)
b f(b)
A
B
a O
f(a)
b f(b)
A
B
f est convexe. f est concave
Exemples :
La fonction carré et la fonction exponentielle sont convexes surR.
La fonction racine carrée est concave sur [0; +∞[.
La fonction inverse est concave sur ]− ∞; 0[ et convexe sur ]0; +∞[.
La fonction cube est concave sur ]− ∞; 0] et convexe sur [0; +∞[.
2. Point d’inflexion
Soitf une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalleI etAun point de sa courbeC. A est un point d’inflexion deC siC admet une tangente enAet si C traverse cette tangente enA.
Définition
1 2
1 2 3 4 5
CONVEXE CONCAVE
O
·
A
3. Convexité et dérivées
Soitf une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalleI.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
— f est convexe surI.
— f′′ est positive surI.
— f′ est croissante surI.
— f est concave surI.
— f′′est négative surI.
— f′ est décroissante surI.
Propriétés
4. Convexité et tangentes
SoitI un intervalle sur lequelf est dérivable.
— f est convexe surI si et seulement siC est au-dessus de toutes ses tangentes.
— f est concave surIsi et seulement siC est en-dessous de toutes ses tangentes.
Propriétés
O x
Cf y
convexe convexe
O x
y Cf
concave
convexe
Remarque : Une fonction croissante et convexe sur un intervalleI est une fonction qui croît "de plus en plus vite" surI. Les pentes des tangentes à sa courbe augmentent quand les abscisses augmentent.
Pour une fonction croissante et concave, c’est le contraire : elle croît "de moins en moins vite".
5. Point d’inflexion
Soient f une fonction deux fois dérivable sur un intervalleI,C sa courbe etaun réel deI.
— Sif′ change de sens de variation ena, alorsC admet un point d’inflexion au point d’abscissea.
— Sif′′s’annule et change de signe ena, alorsCf admet un point d’inflexion au point d’abscissea.
Propriétés
Exemple :
Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.
Le coût de fabrication (en milliers d’euros) dexmilliers de clés USB est : C(x) = 0,05x3−1,05x2+ 8x+ 4 Etudier la convexité deC. Interpréter. Vidéo
III. Fonctions continues
La fonctionf est continuesur l’intervalle I si elle est définie sur I et si sa courbe représentative se trace d’un
« trait continu » sans lever le crayon sur cet intervalle.
Définition
−1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4
O
fn’est pas continue sur [−1 ; 4]
−1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4
O
f est continue sur [−1 ; 4]
Remarque :
f est continue en un réelalorsquef est définie enaet admet une limite enaégale àf(a).
Autrement dit,f est continue enalorsque lim
x→af(x) =f(a).
Sinon, on dit quef est discontinue en a.
Toute fonction dérivable enaest continue ena. (la réciproque est fausse) Propriété : continuité et dérivabilité
Soientf une fonction continue sur un intervalleI,aun réel appartenant àI et (un) une suite à valeurs dansI.
Si (un) converge versa, alors la suite (f(un) converge versf(a).
Propriété : continuité et suites convergentes
— Les fonctions polynômes et la fonction racine carrée sont continues sur leur ensemble de définition.
— Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont des fonctions continues sur les intervalles formant leur ensemble de définition.
Propriété : continuité des fonctions usuelles
Exemple :
Soitf la fonction définie surRparf(x) =
−x+ 2 pourx <3 x−4 pour 36x <5
−2x+ 13 pourx>5 .
La fonctionf est-elle continue surR? Vidéo
IV. Théorème des valeurs intermédiaires
1. Cas d’un intervalle fermé
Soitf une fonction continue sur un intervalle [a; b].
Alors pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l’équationf(x) =kadmet au moins une solution dans [a; b].
Théorème des valeurs intermédiaires
a f(a)
b f(b)
x1 x2 x3
k y=k
0
L’équationf(x) =kadmet trois solutions :x1, x2 etx3.
2. Cas d’un intervalle fermé
Soitf une fonction continueet strictement monotonesur un intervalle [a; b].
Alors pour tout réelkcompris entref(a) et f(b), l’équationf(x) =kadmet une unique solution dans [a; b].
Corollaire du TVI
0 a
f(a)
b
f(b)
x0
k
y=k
3. Extension à d’autres intervalles
Soit aun réel ou−∞, b un réel ou +∞et f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a;b[ et dont les limites enaet bexistent.
Alors pour tout réelkcompris entre lim
x→af(x) et lim
x→bf(x), l’équationf(x) =kadmet une unique solution dans l’intervalle ]a;b[.
Théorème
Exemple :
x
f(x)
0 +∞
1 1
−∞
−∞
α
k
Pour tout réelk∈]− ∞; 1[, l’équationf(x) =kadmet une unique solution dans [0 ; +∞[. S
¯oitf la fonction définie surRparf(x) =x3−4x2+ 6.
Montrer que l’équationf(x) = 2 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1 ; 4]. Vidéo Exemple :
Soitf la fonction définie surRparf(x) =x3−3x2+ 2.
1.Démontrer quef′(x) = 3x(x−2) et en déduire les variations def sur ]2 ; 3[.
2.Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solutionαsur ]2 ; 3[.
3.Donner un encadrement deαau centième. Vidéo
