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Chapitre 9 : Convexité.
I Continuité
Soitf une fonction définie sur un intervalleI.
• SoitaPI. On dit quef estcontinue en alorsque lim
xÑafpxq “fpaq.
• La fonctionf estcontinue surI si, pour tout réeladeI,f est continue ena.
Définition 1(Continuité en un point et sur un segment)
Exemple 1. t.u : R Ñ R x ÞÑ txu
oùtxuest l’entier relatif définie par txu ďxătxu`1. Cette fonction est discontinue en tous points de Zmais continue surRzZ.
• Toutes les fonctions de référence sont continues sur leur ensemble de définition, ainsi que les polynômes et les factions rationnelles.
• Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues sur les intervalles for- mant leur ensemble de définition.
Théorème 1 (Théorèmes dit usuels)
Une fonction dérivable sur un intervalleI est continue surI.
Proposition 2
Soitf une fonction définie surI,aPI etE l’ensemble des suites d’éléments deI convergent versa. Alors : f continue enaô @punq PE,pfpunqq converge versa
Proposition 3(Définition séquentiel de la continuité)
On considère la fonction f définie et continue sur un intervallera;bs.
Pour tout réelkcompris entrefpaqetfpbq, il existe au moins un réelc compris entre a et b tel quefpcq “k.
0 1 2 3
´1
´2 0
´1 1 2 3 4 5 6
b
Cf
a c b
k
Avec les hypothèses précédentes, si la fonction est stric- tement monotone, la solutionc est unique.
0 1 2 3
´1
´2 0
´1 1 2 3 4 5 6
b
Cf
a c b
k
Ces théorèmes s’étend au casa, bPR¯ etf continue sursa, bret admettant une limite enaet une limite enb. Dès lorsk est compris entre lim
xÑafpxqet lim
xÑbfpxq
Théorème 4 (Théorème des valeurs intermédiaires)
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II Complément sur la dérivation : composition
Soitu:EÑF etv:F ÑGdeux fonctions réels définies respectivement surE etF alors l’on définie la fonction composée deuparv surE, notéev˝uparv˝upxq “vpupxqqpour tousxPE.
Attention,on remarquera qu’il faut queuprenne des valeurs dans l’ensemble de définition dev.
Définition 2
Soituune fonction dérivable sur un intervalleI etvune fonction dérivable sur un intervalleJ vérifiantupIq ĂJ. Alors la fonctionv˝uest dérivable surI etpv˝uq1“u1ˆv1˝u
D’où le tableau :
Fonction Dérivée
u2 2u1u
1
u ´u1
u2 un (nPZ˚) nu1un´1
1
un (nPN˚) ´nu1 un`1
eu u1eu
lnpuq u1lnpuq sinpuq u1cospuq cospuq ´u1sinpuq
?u u1
2? u upvpxqq v1pxq ˆu1pvpxqq Proposition 5
III Convexité d’une fonction
A Fonction convexe, fonction concave
f est une fonction continue sur un intervalleIet C est sa courbe représentative dans un repère.
‚ Dire quef estconvexesur I signifie que sur I, la courbeC est entièrementau-dessousde chacune de ses cordes.
‚ Dire que f est concave sur I signifie que sur I, la courbeC est entièrement au-dessusde chacune de ses cordes.
Définition 3
Exemple 2. Parmi les fonctions usuelles, on a :
O x
Cf y
convexe
O x
y
Cf
concave
O x
y Cf
concave
convexe
La fonction carréxÞÝÑx2 est convexe. La fonction racine carréexÞÝÑ?
x La fonction inversexÞÝÑ 1 x
est concave est concave. surs ´ 8; 0ret convexe surs0;`8r
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Soient f est une fonction continue sur un intervalle I, C est sa courbe représentative dans un repère etApa, fpaqqun point deC oùf admet une tangente (c’est-à-dire quef est dérivable ena).
Le pointAdeC est un point d’inflexiondeC si au pointAla courbe C traverse sa tangente en A.
0 1 2 3
´1
´2 0
´1 1 2 3 4 5 6
b
Cf T
Définition 4(Point d’inflexion)
B Convexité d’une fonction dérivable
f est une fonction dérivable sur un intervalleI etC est sa courbe représentative dans un repère.
‚ Dire que f estconvexe sur I signifie que sur I, la courbeC est entièrementau-dessusde chacune de ses tangentes.
‚ Dire quef estconcavesur I signifie que sur I, la courbeC est entièrementau-dessousde chacune de ses tangentes.
Définition 5
Exemple 3. Parmi les fonctions usuelles, on a :
O x
Cf y
convexe
O x
y
Cf
concave
O x
y Cf
concave
convexe
La fonction carréxÞÝÑx2 est convexe. La fonction racine carréexÞÝÑ?
x La fonction inversexÞÝÑ 1 x
est concave est concave. surs ´ 8; 0ret convexe surs0;`8r
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C Convexité d’une fonction et dérivée
1 Convexité et sens de variation de f
1f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
‚ f est convexesur I si, et seulement si,f1 estcroissantesur I.
‚ f est concavesur I si, et seulement si,f1 estdécroissantesur I Proposition 6
2 Convexité et signe de f
2f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Dire quef estdeux fois dérivablesur I signifie quef1est elle-même dérivable sur I. La dérivée def1, notéef2, est appeléedérivée secondedef.
On définie ainsi par itération une fonctionk-dérivableet l’on notera la dérivéek-ièmefpkq. Définition 6
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.
‚ f est convexe sur I si, et seulement si f2est positive sur I.
‚ f est concave sur I si, et seulement sif2 est négative sur I.
Proposition 7
3 Point d’inflexion et dérivée seconde
f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. La courbe de f admet un point d’inflexion au point d’abscisseasi et seulement sif2 s’annule et change de signe ena.
Proposition 8
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