Chapitre 14
Polynômes à une indéterminée - Fractions rationnelles
Dans tout ce chapitre,KdésigneRou C.
I - Construction de K[X]
I.1 - Suites presque nulles Définition 1 (Suite presque nulle).
Soit (un)n∈N une suite d'éléments deK. La suite u est presque nulle si tous ses termes sont nuls à partir d'un certain rang.
Exercice 1.Montrer que l'ensemble des suites presque nulles est unK-espace vectoriel.
Définition 2 (Produit interne).
Soientu etv deux suites presque nulles. La multiplication interne, notée×, est dénie par (un)n∈N×(vn)n∈N=
n
X
k=0
ukvn−k
!
n∈N
.
Théorème 1 (Structure).
L'ensemble des suites presque nulles muni de l'addition, de la multiplication interne ×et de la multiplication externe est uneK-algèbre commutative.
Exercice 2.Montrer que l'ensemble des suites presque nulles muni des opérations précédentes n'est pas un corps.
I.2 - Polynômes
Définition 3 (Indéterminée).
Le symbole de Kronecker est la fonction de deux variables δij dénie par δij = 1si i=j et0 sinon. On noteX = (0,1,0,· · ·) = (δ1n)n∈N. La suite X est l'indéterminée.
Propriété 1.
Pour tout p∈N, Xp= (δpn)n∈N.
Définition 4 (Polynômes à une indéterminée).
Un polynôme à une indéterminée à coecients dans Kest une suite presque nulle d'éléments de K. L'ensemble des polynômes à une indéterminée est notéK[X].
Théorème 2.
(i). (K[X],+,×,·) est uneK-algèbre commutative.
(ii). Soit P ∈K[X], P 6= 0. Il existe un unique entier naturel net une unique (n+ 1)-liste (a0, . . . , an)∈Kn+1 tels quean6= 0etP =
n
P
k=0
akXk. C'est la représentation canonique de P.
Notation.
Dans toute la suite, sauf mention contraire, P désigne un polynôme de K[X]de représentation canoniqueP =
n
P
k=0
akXk.Qdésigne un polynôme deK[X].
Définition 5.
Soit P ∈K[X]non nul.
(i). nest le degré de P.
(ii). ak est le coecient de degrékde P. (iii). an est le coecient dominant.
(iv). Si an= 1,P est unitaire ou normalisé.
(v). Le degré du polynôme nul est −∞.
(vi). L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à nest noté Kn[X]. Corollaire 3 (Identification polynomiale).
P =Qsi et seulement siP etQont même degré et mêmes coecients.
Exercice 3.Soitn∈N. Montrer que Pn
k=0 n k
2
= 2nn . I.3 - Propriétés élémentaires
Propriété 2 (Degré & Opérations).
Soit λ∈K?.
(i). deg(P +Q)6max{deg(P),deg(Q)}, avec égalité sideg(P)6= deg(Q). (ii). deg(P Q) = deg(P) + deg(Q). (iii). deg(λP) = deg(P).
Exercice 4.Montrer que l'inégalité du(i) peut être stricte sideg(P) = deg(Q). Définition 6 (Composition).
La composée de P etQest le polynôme P ◦Q=
n
P
k=0
akQk.
Exercice 5.
1. SoitQ=X2+ 1etP = (X+ 1)(3X2+ 5). CalculerP◦QetQ◦P. 2. Montrer que la loi◦est associative.
3. Un polynôme P est pair si P(X) = P(−X). Montrer que P est pair si et seulement si ses coecients de degrés impairs dans la décomposition canonique sont nuls.
Propriété 3 (Degré & Composition).
SoientP, Q∈K[X]deux polynômes non nuls.deg(P◦Q) = deg(P)·deg(Q). Théorème 4 (Intégrité).
L'anneau K[X]est un anneau intègre.
II - Diviseurs & Racines II.1 - Divisibilité
Définition 7 (Multiple, Diviseur).
Le polynômeP divise Q, ouQest un multiple deP, s'il existe un polynômeR∈K[X]tel que Q=P×R. On noteP|Q.
Exercice 6.
1. Montrer que siP|QetQ6= 0, alors deg(P)6deg(Q). 2. Identier les diviseurs unitaires deX2+ 3X+ 2. Définition 8 (Polynômes associés).
SiP|Q etdeg(P) = deg(Q), les polynômesP etQsont associés.
Exercice 7.Montrer que P etQsont associés si et seulement s'il existe un scalaireλ∈K?tel que P =λQ si et seulement si P|QetQ|P.
II.2 - Division euclidienne Théorème 5 (Division euclidienne).
Soient A, B∈K[X]tels que B 6= 0. Il existe un unique couple de polynômes (Q, R) tels que deg(R)<deg(B) etA=BQ+R.
∗ Cette décomposition est la division euclidienne deA parB.
∗ Qest le quotient de la division euclidienne de AparB.
∗ R est le reste de la division euclidienne deA parB. Exercice 8.
1.Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne deX5+X4+ 2X3+ 1parX2+ 4. 2. Soitn∈N. Déterminer le reste de la division euclidienne deXn parX2−3X+ 2.
3. SoitP ∈K[X]etα∈K. Déterminer le reste de la division euclidienne de P parX−α.
III - Fonctions polynomiales III.1 - Dénitions
Notation.
(A,+,×,·) désigne une K-algèbre.
Définition 9 (Fonction polynomiale).
La fonction polynomiale Pe : A→A est dénie par
∗ SiP = 0,∀x∈A,Pe(x) = 0A.
∗ SiP 6= 0,∀x∈A,Pe(x) =a01A+
n
P
k=1
akxk.
Exercice 9.
1. SoitP =X2−3X+ 2. Calculer a)Pe(0),Pe(1),Pe(2),Pe(3). b)Pe(4i).
c)Pe(02),Pe(I2),Pe
2 0 0 2
,Pe
2 0 0 3
.
2. Proposer des algorithmes permettant d'évaluer une fonction polynomiale réelle.
Propriété 4.
Soientλ∈Ketx∈A.
(i). P^+Q(x) =P(x) +e Q(x)e . (ii). P Q(x) =g P(x)e ·Q(x)e .
(iii). λPf(x) =λPe(x). (iv). P^◦Q(x) =Pe◦Q(x)e .
III.2 - Racines d'un polynôme Définition 10 (Racine).
Soitα∈A.α est un zéro deP dansAsiPe(α) = 0A. LorsqueA=K,α est une racine deP. Exercice 10.
1. Soienta, b, c∈C. Déterminer les racines du polynôme aX2+bX+cdans C.
2. Déterminer les racines du polynômeX2−X dansC.
3. SoitM ∈Mn(K) etP ∈K[X]tel que P(M) = 0. Montrer que si le coecient constant dee P est non nul, alorsMest inversible. Appliquer ce résultat àM =
1 1 1 1 1 0 0 1 0
etP =X3+2X2−1. Théorème 6 (Racine).
Soit α∈K.
(i). α est une racine de P dansKsi et seulement si(X−α)|P.
(ii). Soitn∈N. Un polynôme de degré nadmet au plus nracines distinctes dans K.
Exercice 11.Montrer que la fonction dénie surC parz7→ez n'est pas polynomiale.
Théorème 7.
On rappelle que K= R ou C. Soit (P, Q) ∈K[X]. Si, pour tout x ∈ K, P(x) =e Q(x)e , alors P =Q.
NotonsPol(K,K) l'ensemble des fonctions polynomiales deKdansK. En particulier, l'appli- cation ψ : K[X]→Pol(K,K), P 7→Pe est bijective.
Exercice 12.Soient n ∈ N?, x1, . . . , xn ∈ K distincts et y1, . . . , yn ∈ K. Déterminer l'ensemble des polynômes P tels que pour tout i ∈ J1, nK, P(xi) = yi. Montrer qu'il existe un unique polynôme, le polynôme interpolateur de Lagrange, de degré inférieur ou égal àn−1satisfaisant cette condition
Définition 11 (Racine multiple).
Soientα∈Ketk∈N?.α est une racine d'ordre k deP si(X−α)k|P et(X−α)k+16 |P. Si k = 1, α est racine simple ; si k = 2, racine double ; si k = 3 racine triple. De manière générale, sik>2,α est racine multiple.
Exercice 13.Déterminer les racines du polynômeX5−X4−X+ 1avec leur ordre de multiplicité.
III.3 - Polynôme dérivé Définition 12 (Dérivée).
Soit P ∈ K[X]. Le polynôme dérivé, noté P0, est le polynôme déni par P0 =
n
P
k=1
kakXk−1. On dénit successivementP(0) =P et pour toutn>1,P(n)= (P(n−1))0. Pour toutn∈N, le polynômeP(n) est la dérivée nème deP.
Exercice 14.Soit P un polynôme de degré n.
1. DéterminerP(n) etP(n+1) = 0.
2. Pour tout(i, j)∈N2, déterminer(Xi)(j). 3. En déduire, pour touti∈N, P(i)(0).
Propriété 5.
SoientD : K[X]→K[X], P 7→P0 etλ∈K.
(i). ∀(P, Q)∈K[X]2,(P+λQ)0 =P0+λQ0. (ii). Im(D) =K[X].
(iii). Ker(D) ={P ∈K[X] ; deg(P)60}={λ, λ∈K}. Propriété 6 (Dérivation & Opérations).
Soit n∈N.
(i). (P Q)0 =P0Q+P Q0.
(ii). Formule de Leibniz.(P×Q)(n) =
n
P
k=0 n k
P(k)Q(n−k). (iii). (P ◦Q)0 =Q0×(P0◦Q).
Théorème 8 (Formule de Taylor polynomiale). Soit α∈K. Alors,P(X+α) =
+∞
P
k=0 P(k)(α)
k! Xk. Corollaire 9 (Caractérisation de l’ordre d’une racine).
SoientP ∈K[X]un polynôme non nul,α∈Ketr∈N?.α est une racine d'ordrer de P si et seulement siP(α) =P0(α) =· · ·=P(r−1)(α) = 0 etP(r)(α)6= 0.
Exercice 15.
1. Déterminer l'ordre de multiplicité de1 dansX4+ 3X3−3X2−7X+ 6.
2. Soit P ∈R[X]. Montrer que α ∈ C est racine d'ordre r de P si et seulement si α est racine d'ordrer de P.
3.Soitn∈N. Déterminer une condition nécessaire et susante pour queX2+ 1diviseXn+ 1. IV - Polynômes scindés
IV.1 - Dénitions Définition 13 (Scindé).
Soit P ∈K[X] tel quedeg(P) = n>0. Le polynôme P est scindé sur Ks'il est constant ou s'il existeα1, . . . , αn∈Ketλ∈K? tels queP =λ
n
Q
k=1
(X−αk). Exercice 16.Soit n∈N?. Montrer que le polynôme Xn−1 est scindé.
Théorème 10 (Relations coefficients / racines). Soit P =λ
n
Q
k=1
(X−αk) =
n
P
k=0
akXk. Alors,
λ=an σ1 =
n
X
k=1
αk=−an−1
an
,
σn=
n
Y
k=1
αk= (−1)na0 an
, σk= X
16j1<···<jk6n
αj1· · ·αjk = (−1)kan−k
an
. Les fonctions des racinesσk sont les fonctions symétriques élémentaires des racines deP. Exercice 17.Soientx1, x2, x3 les racines complexes de l'équation x3+px+q = 0. Montrer que x21+x22+x23 =σ12−2σ2=−2p.
IV.2 - Théorème fondamental de l'algèbre Définition 14 (Polynômes irréductibles).
SoitP ∈K[X]tel quedeg(P)>1. Le polynômeP est irréductible si l'ensemble de ses diviseurs est {α, λP ; α, λ∈K?}.
Exercice 18.
1. Montrer que tout polynôme de degré1est irréductible.
2.Montrer que tout polynôme irréductible deK[X]possédant une racine dansKest de degré1. 3. Montrer qu'il existe des polynômes non irréductibles surR[X]et ne possédant pas de racine réelle.
4.Soit P ∈K[X]un polynôme de degré2 ou3. Montrer que si P ne possède pas de racine dans K, alorsP est irréductible.
Théorème 11 (d’Alembert-Gauss).
Tout polynôme non nul deC[X]est scindé surC.
Corollaire 12 (Irréductibilité dansC).
Les polynômes irréductibles de C[X]sont les polynômes de degré1. Corollaire 13 (Irréductibilité dansR).
Les polynômes irréductibles deR[X]sont les polynômes de degré 1et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Exercice 19.Décomposer en produit de facteurs irréductibles dansRet dansCles polynômes 1. X5−X4−X+ 1. 2. X4+X3+X2+X+ 1.
V - Arithmétique dans K[X]
V.1 - Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple Notation.
A∈K[X].
D(A) est l'ensemble des diviseurs deA.
M(A)est l'ensemble des multiples de A.
AetB désignent deux polynômes deK[X].
Théorème 14 (Algorithme d’Euclide).
Soient B un polynôme non nul et R le reste de la division euclidienne de A par B. Alors, D(A)∩D(B) =D(B)∩D(R).
Exercice 20.En déduire une description de l'algorithme d'Euclide pour les polynômes.
Définition 15 (pgcd, ppcm).
(i). Il existe un unique polynôme nul ou unitaire Dtel que D(A)∩D(B) =D(D).
(ii). Il existe un unique polynôme M nul ou unitaire tel que que M(A)∩M(B) =M(M).
(iii). Il existe deux polynômesU, V tels queAU +BV =D.
Le polynôme D est le plus grand commun diviseur de A et B, noté A∧B. Le polynôme M est le plus petit commun multiple de AetB, notéA∨B.
Exercice 21.Déterminer deux polynômes U etV tels queU(X4−1) +V(X3−1) =X−1. Définition 16 (Polynômes premiers entre eux).
Les polynômes A etB sont premiers entre eux si A∧B = 1. Exercice 22.
1. Soient (α, β)∈K2 et(p, q) ∈N2. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que (X−α)p∧(X−β)q= 1.
2. Montrer que Qn
i=1
(X−ai)∧Q= 1si et seulement si pour touti∈J1, nK,Q(ai)6= 0.
3. Montrer que si deux polynômes ont une racine commune, alors ils ne sont pas premiers entre eux.
4. SoitP ∈C[X]. Montrer que P etP0 sont premiers entre eux si et seulement si les racines de P sont de multiplicité1.
Théorème 15 (Théorème de Bézout).
A∧B= 1 si et seulement s'il existe deux polynômesU, V tels queAU +BV = 1.
Exercice 23.Soit(A, B)∈C[X]2. Montrer queAetBsont pas premiers entre eux si et seulement s'ils ne possèdent pas de racine commune dansC.
Propriétés 7.
Soit P un polynôme unitaire.
(i). (P A)∧(P B) =P(A∧B). (ii). (P A)∨(P B) =P(A∨B). Propriété 8.
Il existe trois polynômesA1, B1, D tels que
A=DA1, B=DB1 etA1∧B1= 1.
V.2 - Théorème de Gauss Théorème 16 (Théorème de Gauss).
Soient(A, B, C)∈K[X]2 tels queA divise BC etA∧C= 1. Alors,A divise B.
Exercice 24.Soit(A, B)∈K[X]2 tel queA∧B = 1. Décrire l'ensemble des couples(U, v)∈K[X]2 tels queAU +BV = 1.
Théorème 17 (pgcd & ppcm).
Les polynômes A∧B·A∨B etABsont associés.
Propriété 9.
SoientA, B, P trois polynômes. SiA∧B = 1,A|P etB|P, alorsAB divise P. Propriété 10.
Un produit de polynômes est premier avec A si et seulement si chacun de ses facteurs est premier avecA.
V.3 - Décomposition en produit de facteurs irréductibles Propriété 11.
Un polynôme P irréductible est premier avec tous les polynômes qu'il ne divise pas.
Théorème 18 (Décomposition en produit de facteurs irréductibles).
Tout polynôme non constant est le produit d'un scalaire par un produit de polynômes irréduc- tibles unitaires deK[X]. De plus, cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
Corollaire 19 (Valuation).
Notons, sous forme de produit de polynômes irréductibles unitaires distincts,
A=λ
n
Y
i=1
Piαi etB =µ
n
Y
i=1
Piβi. (i). A|B ⇔ ∀ i∈J1, nK, αi 6βi.
(ii). A∧B =
n
Q
k=1
Pkmin{αk,βk}. (iii). A∨B =
n
Q
k=1
Pkmax{αk,βk}. V.4 - Généralisation
Propriété 12 (Associativité).
SoientA, B, C trois polynômes.
(i). A∧(B∧C) = (A∧B)∧C. (ii). A∨(B∨C) = (A∨B)∨C. Définition 17.
Soientn un entier supérieur ou égal à2 etA1, . . . , An des polynômes.
(i). A1∧ · · · ∧An est le pgcd des polynômesA1, . . . , An. (ii). A1∨ · · · ∨An est le ppcm des polynômesA1, . . . , An. Exercice 25.
1. En notantD=A1∧ · · · ∧An, montrer que D(D) =D(A1)∩ · · · ∩D(An).
2. En notantM =A1∨ · · · ∨An, montrer queMK[X] =A1K[X]∩ · · · ∩AnK[X]. Propriété 13 (Relation de Bézout).
Soient n un entier supérieur ou égal à 2, A1, . . . , An une famille de n polynômes et D leur pgcd. Il existe des polynômes U1, . . . , Untels que
A1U1+· · ·+AnUn=D.
Définition 18 (Premiers entre eux dans leur ensemble).
Soientnun entier supérieur ou égal à2,A1, . . . , Anune famille denpolynômes. Ces polynômes sont premiers entre eux dans leur ensemble si leur pgcd vaut 1.
Exercice 26.Montrer qu'il existe une famille de polynômes premiers entre eux dans leur ensemble mais pas premiers entre eux2 à 2.
Théorème 20 (Théorème de Bézout).
Soientnun entier supérieur ou égal à2,A1, . . . , An une famille denpolynômes. Les proposi- tions suivantes sont équivalentes.
(i). Les polynômes A1, . . . , An sont premiers entre eux dans leur ensemble.
(ii). Il existe des polynômes U1, . . . , Un tels queA1U1+· · ·+AnUn= 1. VI - Fractions rationnelles
VI.1 - Dénitions
Définition 19 (Fractions rationnelles).
K(X) est le corps des fractions deK[X]. Ses éléments s'appellent des fractions rationnelles.
Soit F ∈ K(X). Il existe (P, Q) ∈ K[X]×K[X] tels que F = PQ. Le couple (P, Q) est un représentant de F.
(i). PQ = QP1
1 si et seulement siP Q1=QP1. (ii). PQ+QP1
1 = P QQQ1+QP1
1 . (iii). PQ×QP1
1 = QQP P1
1. Ces opérations sont indépendantes du représentant choisi.
Notation.
F désigne une fraction rationnelle de représentant PQ. Définition 20 (Degré).
SiFest non nulle, alorsdeg(P)−deg(Q)est indépendant du représentant choisi. Cette quantité est le degré de F. Par convention,deg(0) =−∞.
Propriété 14.
SoientF, F1 ∈K(X), λ∈K?.
(i). deg(F +F1)6max{deg(F),deg(F1)} avec égalité sideg(F)6= deg(F1). (ii). deg(F F1) = deg(F) + deg(F1).
(iii). deg(λF) = deg(F).
(iv). deg(F1) =−deg(F).
Corollaire 21 (Forme irréductible d’une fraction rationnelle).
Soit F une fraction rationnelle non nulle. Il existe un couple (P, Q) ∈ (K[X]\{0})2 tel que P ∧Q= 1etF = PQ. Ce couple est un représentant irréductible deF.
Si (R, T) est un autre représentant irréductible de F, alors il existe un scalaire λ tel que R=λP etT =λQ.
Exercice 27.Soit F ∈C(X). Montrer queF =F si et seulement siF ∈R(X). VI.2 - Décomposition en éléments simples
Théorème 22 (Partie entière).
Il existe un unique couple (E, F1)∈K[X]×K(X) tel queF =E+F1 etdeg(F1) <0. E est la partie entière de F.
Exercice 28.Déterminer la partie entière de la fraction rationnelle (X4−1)(XX7 2+3). Définition 21 (Pôle).
Soit F ∈ K(X) de forme irréductible PQ. Les racines de Q sont les pôles de F. Siα est une racine d'ordrek deQ, on dit queα est un pôle d'ordre k deF.
Lemme 1 (Décomposition des pôles).
Soit α un pôle d'ordrekde F. Il existe un unique (A, F1)∈K[X]×K(X) tel que (i). F = (X−α)A k +F1,
(ii). deg(A)< k,
(iii). α n'est pas un pôle deF1.
Exercice 29.
1. Montrer que siα est un pôle d'ordre 1 deF, alors F = X−αa +F1, où a= [(X−α)F]X=α. 2. Illustrer le lemme précédent sur la fraction rationnelleF = (X−1)2X22(X−3)+1 .
Théorème 23 (Partie polaire).
SoitF ∈K(X)etαun pôle deFd'ordrer. Alors,Fs'écrit de manière uniqueF =
r
P
j=1 λj
(X−α)j+ F1, où(λ1, . . . , λr)∈Kr etF1 est une fraction rationnelle qui n'admet pas αcomme pôle. La fraction Pr
j=1 λj
(X−α)j est la partie polaire de F relative au pôleα.
Théorème 24 (Décomposition en éléments simples dansC(X)).
Soit F ∈ C(X) et (αi)i∈J1,nK ∈ Cn les pôles de F d'ordres (rk)k∈J1,nK. F s'écrit de manière unique F = E+
n
P
k=1 rk
P
j=1 λk,j
(X−αk)j, où E est la partie entière de F et pour tout k ∈ J1, nK,
rk
P
j=1 λk,j
(X−αk)j est la partie polaire deF relative àαk. C'est sa décomposition en éléments simples.
Exercice 30. (Dérivée logarithmique)Montrer que siP =λ
p
Q
k=1
(X−αk)nk, alors PP0 =
p
P
k=1 nk X−αk. En pratique.
1. λi,ri = QP(αi)
i(αi), où Q(X) = (X−αi)riQi(X).
2. SiP, Q∈R[X], les coecients correspondant à αi etαi sont égaux.
3. SiF est paire, on obtient également des informations sur les coecients.
4. Sideg(Q)>deg(P), on étudie la limite à l'inni de XqF(X). 5. Substituer des valeurs simples.
6. Réduire au même dénominateur et utiliser l'identication polynomiale.
Théorème 25 (Décomposition en éléments simples dansR(X)).
Soit F = PQ une fraction rationnelle à coecients réels, écrite sous forme irréductible. Notons Q = λ
p
Q
k=1
(X−αk)rk
q
Q
k=1
(X2 +βkX+γk)sk la factorisation de Q en produits de polynômes irréductibles dansR[X]. AlorsF s'écrit de manière unique
F =E+
p
X
k=1 rk
X
j=1
λk,j
(X−αk)j +
q
X
k=1 sk
X
j=1
ck,jX+dk,j
(X2+βkX+γk)j,
où E est la partie entière de F et les λk,j, ck,j, dk,j sont des réels. C'est la décomposition en éléments simples de F dansR(X).
Exercice 31.Décomposer en éléments simples dansR(X) etC(X).
1. F = X3
. 2.F2= 1
.
3. F3 = X5+ 1
X(X−1)2. 4.F4= (X−1)21(X+2)2. 5.F5= 1
X5−1.
6. F6= 1 X3−1.
